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10.1.2　事件的关系和运算
【课标要求】　了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算．
【导学】
学习目标一　事件的关系
师问：在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
生答：
例1 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，列举出符合包含关系、相等关系的事件．
总结：判断事件之间的关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系．
跟踪训练1　抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．
学习目标二　事件的运算
师问：(1)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
(2)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
生答：
例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
事件间运算的方法
跟踪训练2　(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件．事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C
B．D∪B是必然事件
C．A∪B＝B
D．A∪D＝C
学习目标三　互斥事件与对立事件
师问：把红、蓝、黑、白4张除颜色不同其他均相同的纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得1张．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”能同时发生吗？“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件？
生答：
例3 从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
总结：判断互斥事件、对立事件的两种方法
(1)定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
跟踪训练3　抛掷一枚骰子，记事件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D＝“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．A与D B．A与B
C．B与C D．B与D
【导练】
1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．非互斥事件
D．以上都不对
3．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶
B．只有一次中靶
C．两次都中靶
D．两次都不中靶
4．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个不重复的两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为___________________________________________________________．
【导思】
掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件A＝“点数为1”，B＝“点数为偶数”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
(2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？
(3)用集合形式表示事件∪C，.
10．1.2　事件的关系和运算
导　学
学习目标一　生答：因为1为奇数，所以A B.
例1　解析：因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，
所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3，
所以事件D3包含事件C1，C2，C3，C4.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；
事件D2包含事件C4，C5，C6；
事件F包含事件C2，C4，C6；
事件G包含事件C1，C3，C5.
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
跟踪训练1　解析：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；
当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，
事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系．
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
学习目标二　生答：(1)D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}．{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.
(2)E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，C2＝{2}．{1，2}∩{(2，3)}＝{2}，即E1∩E2＝C2.
例2　解析：(1)由题意，3个球中既有红球又有白球，包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球，由此可得D＝A∪B.
(2)3个球中至少有1个红球中包括3个球中有1个红球、2个白球，∴C∩A＝A.
跟踪训练2　解析：A∪B表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确；D∪B表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确．故选AB.
答案：AB
学习目标三　生答：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，因为红牌只有一张．
“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥事件，但不是对立事件．
例3　解析：(1)从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如下基本事件：
3个白球、2个白球1个红球、1个白球2个红球、3个红球．
事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：3个白球、2个白球1个红球、1个白球2个红球，
故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件．
(2)根据(1)中所求，显然“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件．
(3)“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：2个白球1个红球、1个白球2个红球、3个红球，
故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：3个红球．同时，也不是对立事件．
跟踪训练3　解析：事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选A.
答案：A
导　练
1．解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，(A∪)B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
答案：C
2．解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.
答案：A
3．解析：射击两次中靶的次数可能是0，1，2，至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次．故选C.
答案：C
4．答案：{10，20，30，40，50，32，42，52，54}
导　思
解析：(1)由题意，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}且A＝{1}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}，D＝{3，4，5，6}，E＝{3，6}．
(2)由(1)知A是C的子事件，E是D的子事件，
C∪D＝Ω且C∩D＝ ，即C，D是对立事件．
(3)由(1)，＝{2，3，4，5，6}，＝{1，3，5}，＝{1，2}，＝{1，2，4，5}，
所以＝{1，2}，C＝{2}，∪C＝{1，2，3，5}，+＝{1，2，4，5}．

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