资源简介

2.2简单事件的概率
【知识点1】概率的意义 1
【知识点2】概率公式 1
【题型1】根据概率进行判断 2
【题型2】用树状图求概率（两步实验） 2
【题型3】用列举法求概率 4
【题型4】判断游戏公平性 4
【题型5】根据概率公式求几何中的概率 6
【题型6】根据概率求数量 7
【题型7】概率的意义 8
【题型8】用列表法求概率 9
【题型9】根据概率公式求代数中的概率 10
【题型10】用树状图求概率（三步或四步实验） 11
【知识点1】概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
【知识点2】概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【题型1】根据概率进行判断
【典型例题】李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A.摸到黄球、红球的概率均为
B.摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为
C.摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、
D.摸到黄球、红球、白球的概率都是
【举一反三1】现有足够多的红球、白球、黑球，它们除颜色外无其它差别，从中选12个球（三种颜色的球都要选），设计摸球游戏，要求摸到红球和白球的概率相等，则选红球的个数的情况有（　　）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
【举一反三2】一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是，那么添加的球是 ．
【举一反三3】利用一个口袋和8个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为，摸到黄球和白球的概率都是．你能选取7个除颜色外完全相同的球设计满足以上条件的游戏吗？
【题型2】用树状图求概率（两步实验）
【典型例题】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为 ．

【举一反三3】设a，b，c是三角形的三边，．从1，2，3这三个数中任取一个数作为a的值，再从余下的两个数中任取一个数作为b的值，则以a，b，c为边能构成三角形的概率是 ．
【举一反三4】每年4月至5月，昆明的蓝花楹陆续盛开．一条条平日里不起眼的街道在披上了蓝紫色的轻纱后摇身一变，成了大家纷纷前往打卡的“网红”路．游客小迅从住宿的A地出发，要先经B地再到“网红”路C地游览．如图，从A地到B地共有三条路线，长度分别为，，，从B地到C地共有两条路线，长度分别为，．
(1)小迅从A地到B地所走路线长为的概率为______；
(2)请用画树状图法中的一种方法，求小迅从A地经B地再到C地所走路线总长度为的概率．
【题型3】用列举法求概率
【典型例题】如图，在1×3的正方形网格上确定了两个格点（网格线的交点），从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】从这三个数中任选两个不同的数作为点A的坐标，则点A在第二象限的概率为 ．
【举一反三3】如果关于x的一元二次方程中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率是 ．
【举一反三4】已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛．
(1)若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛；
(2)若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率．
【举一反三5】某校3男2女共5名学生参加黄石市教育局举办的“我爱黄石”演讲比赛．
（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法，列出所有可能情形；
（2）若抽取的3名学生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？
【题型4】判断游戏公平性
【典型例题】桌上放着25粒棋子，小明和小刚两人轮流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算输，该游戏（ ）
A.公平 B.不公平 C.对小明有利 D.不确定
【举一反三1】小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（ ）
A.小晶赢的机会大
B.小红赢的机会大
C.小晶、小红赢的机会一样大
D.不能确定
【举一反三2】甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”）
【举一反三3】在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”）
【举一反三4】疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，专门为学生设计了一个数学游戏，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．
(1)若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；
(2)若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y，点M的坐标记作．规定：若点在反比例函数的图像上，则学生胜；若点M在反比例函数的图象上，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【举一反三5】小影和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，第一组牌面数字分别是2和3，第二组牌面数字分别是5和6；将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸到两张牌的牌面数字之积能被3整除，则小颖胜，否则小刚胜．这是一个对参与双方公平的游戏吗？请借助列表或画树状图的方法说明理由．
【题型5】根据概率公式求几何中的概率
【典型例题】如图，小明有一个边长为4 cm的正方形靶盘，其中点A，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点M、N、P、Q分别是菱形各边的中点，连接、交于点O，从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是（　　）

A. B. C. D.
【举一反三2】用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【举一反三3】一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率．
【举一反三4】如图，从一个大正方形中截去面积为3 cm 和12 cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率．
【题型6】根据概率求数量
【典型例题】口袋里有除颜色不同外其他都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个，摸到红球的概率是，摸到蓝球的概率是，则袋子里有白球（ ）个．
A.15 B.10 C.5 D.6
【举一反三1】一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有4个，若从袋中任意取出一个球，取出黄色球的概率为，则黑色球的个数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.8
【举一反三3】口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为，放入个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是 ．
【举一反三4】某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有8元的小球有14个，标有2元的小球有27个，标有0元的小球有5个，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个，摸到0元小球则没有奖品．根据以上信息回答下列问题：
(1)已知小明购买了指定商品，小明获得奖品的概率是_________，获得8元奖品的概率是_________．
(2)假设从箱子里拿出3个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到标有2元小球的概率是多少？
(3)为吸引顾客，儿童用品商店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球．
【举一反三5】围棋盒中有x颗白色棋子，y颗黑色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，若它是白色棋子的概率是，
（1）试写出y与x的函数关系；
（2）第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为，求x和y的值．
【题型7】概率的意义
【典型例题】如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A.邗江区明天将有的时间下雨
B.邗江区明天将有的地区下雨
C.邗江区明天下雨的可能性较大
D.邗江区明天下雨的可能性较小
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.做抛掷硬币的试验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的试验结果是一致的
B.抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖
D.天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的
【举一反三2】简洁的说，在随机现象中，一个事件发生的 叫概率.
【举一反三3】一般地，如果一个试验有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： ．必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ，随机事件A发生的概率是 ．
【举一反三4】概率为的随机事件在一次实验中是否会发生？为什么？
【举一反三5】有人说“买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票最多只能有2注中奖”．这种说法对吗，为什么？
【题型8】用列表法求概率
【典型例题】从写有数字1，2，3的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】从分别写有“大”“美”“河”“北”汉字的四张卡片中，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【举一反三3】已知都是一位数的自然数，则点在直线上的概率为 ．
【举一反三4】桌上放着4张纸牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2张是“大王”．
(1)随机翻开1张纸牌，翻开的牌是“大王”的概率为_________．
(2)随机翻开2张纸牌，求翻开的2张牌中至少有1张是“大王”的概率．
【举一反三5】2023年11月19日，中国载人航天工程办公室发布2024年度“天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务”四次飞行任务标识．小明是个航天爱好者，他收集了如图所示的四枚飞行任务标识（除正面内容不同外，其余均相同），现将飞行任务标识的背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一枚飞行任务标识是“天舟八号飞行任务”的概率是多少？
(2)小明从中随机抽取一枚飞行任务标识记下后放回，再随机抽取一枚，请你用列表的方法求抽到的两枚飞行任务标识恰好是“神舟十九号载人飞行任务”的概率．
【题型9】根据概率公式求代数中的概率
【典型例题】任意投掷一枚质地均匀的骰子，点数大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】小明去朋友家做客，在客厅入口处有四个开关按钮（如图所示），四个完全相同的开关按钮从左到右分别是过道、客厅、餐厅、厨房的灯光开关．小明任意按一个开关按钮恰好是客厅开关的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】将9枚黑棋子和6枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除了颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑子的概率是 ．
【举一反三3】一个口袋中装有3个白球和5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球．
(1)如果将这个白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果将这个白球不放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
【举一反三4】从一副扑克牌中随机抽取一张．
（1）它是王牌的概率是多少？
（2）它是Q的概率是多少？
（3）它是梅花的概率是多少？
【题型10】用树状图求概率（三步或四步实验）
【典型例题】小明邀请小红玩一个转盘游戏，准备下图三个可以自由转动的转盘，小明转动转盘，小红记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算小明赢，否则就算小红赢．请你计算小明赢的概率是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】体育课，甲、乙、丙、丁四人在练习踢足球，足球从一人踢向另一人记为踢一次，若第一次由甲踢出足球，则踢三次后足球回到甲处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】数轴上一动点P开始时在原点，每次运动都是等可能地向右平移1个单位或向左平移2个单位，第三次运动结束后，点P回到原点位置的概率为 ．
【举一反三4】把两张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀成三堆，从这三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ．
【举一反三5】有两部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看．
(1)甲、乙两人都选择A电影的概率是______；
(2)用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率．
【举一反三6】在三胎奖励政策的鼓励下，李明夫妇有了生三胎的打算，请用树状图分析生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率．2.2简单事件的概率
【知识点1】概率的意义 1
【知识点2】概率公式 1
【题型1】根据概率进行判断 2
【题型2】用树状图求概率（两步实验） 3
【题型3】用列举法求概率 7
【题型4】判断游戏公平性 9
【题型5】根据概率公式求几何中的概率 12
【题型6】根据概率求数量 14
【题型7】概率的意义 17
【题型8】用列表法求概率 18
【题型9】根据概率公式求代数中的概率 23
【题型10】用树状图求概率（三步或四步实验） 25
【知识点1】概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
【知识点2】概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【题型1】根据概率进行判断
【典型例题】李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A.摸到黄球、红球的概率均为
B.摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为
C.摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、
D.摸到黄球、红球、白球的概率都是
【答案】B
【解析】A.；
B.，不成立；
C.;
D.;
故选：B．
【举一反三1】现有足够多的红球、白球、黑球，它们除颜色外无其它差别，从中选12个球（三种颜色的球都要选），设计摸球游戏，要求摸到红球和白球的概率相等，则选红球的个数的情况有（　　）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
【答案】C
【解析】当红球和白球都有1个的时候，摸到红球和白球的概率相等，当红球和白球都有2个、3个、4个、5个的时候都可以，所以选红球的个数的情况有5种，故选C．
【举一反三2】一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是，那么添加的球是 ．
【答案】红球或黄球
【解析】∵，
∴原来白颜色的球被抽到的可能性是；
∵＞，
∴添加的球是红球或黄球．
故答案为：红球或黄球．
【举一反三3】利用一个口袋和8个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为，摸到黄球和白球的概率都是．你能选取7个除颜色外完全相同的球设计满足以上条件的游戏吗？
【答案】解：P（摸到红球），
P（摸到黄球），
P（摸到白球）．
当口袋中装有7个球时，
∵摸到红球的概率为，
∴袋中红球的个数应为：（个），
同理，口袋中黄球个数应为：（个），
白球的个数应为：（个）．
∵小球的个数应为整数，
∴用7个球不能设计出符合条件的游戏．
【题型2】用树状图求概率（两步实验）
【典型例题】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图为：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两次取出小球标号的积是6的倍数的共有4种情况，
∴两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为．
故选：A.
【举一反三1】如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设梅花K剪开的两张分别为A和B，红桃K剪开的两张分别为C和D，根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的有4种，
则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是．
故选：B.
【举一反三2】色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为 ．

【答案】
【解析】根据题意画树状图如解图，

由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，
∴．
【举一反三3】设a，b，c是三角形的三边，．从1，2，3这三个数中任取一个数作为a的值，再从余下的两个数中任取一个数作为b的值，则以a，b，c为边能构成三角形的概率是 ．
【答案】
【解析】由题意可画出树形图如下：
由图可知，共有6种等可能情况，其中以a，b，c为边能构成三角形的有四种情况，
∴以a，b，c为边能构成三角形的概率是．
故答案为：．
【举一反三4】每年4月至5月，昆明的蓝花楹陆续盛开．一条条平日里不起眼的街道在披上了蓝紫色的轻纱后摇身一变，成了大家纷纷前往打卡的“网红”路．游客小迅从住宿的A地出发，要先经B地再到“网红”路C地游览．如图，从A地到B地共有三条路线，长度分别为，，，从B地到C地共有两条路线，长度分别为，．
(1)小迅从A地到B地所走路线长为的概率为______；
(2)请用画树状图法中的一种方法，求小迅从A地经B地再到C地所走路线总长度为的概率．
【答案】解：（1）由题意得，小迅从地到地所走路线长为的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小讯从A地到地所走路线总长度为的结果有：，，，共3种，
小迅从A地到地所走路线总长度为的概率为．
【题型3】用列举法求概率
【典型例题】如图，在1×3的正方形网格上确定了两个格点（网格线的交点），从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在的正方形网格中共有8个格点，确定了两个格点，
∴从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率为，
故选：B．
【举一反三1】某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设名男同学分别为A，，，2名女同学分别为，，从成绩优秀的名男同学和名女同学中，随机选取名同学参加全国实践技能大赛，基本事件有AB,AC,Ad,Ae,BC,Bd,Be,Cd,Ce,de，共种，它们是等可能性的，选取的名同学恰好都是男同学的事件有，，，共种，所以选取的名同学恰好都是男同学的概率为
故选C．
【举一反三2】从这三个数中任选两个不同的数作为点A的坐标，则点A在第二象限的概率为 ．
【答案】
【解析】依题意，，共有6种结果,
满足在第二象限的有，这两种结果,
∴则点A在第二象限的概率为,
故答案为：.
【举一反三3】如果关于x的一元二次方程中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率是 ．
【答案】
【解析】二次方程有两个不等实数根，由根的判别式可得，
，，不符合题意；
，，不符合题意，
，，符合题意，
，，符合题意；
，，符合题意；
，，符合题意．
共有6种等可能的结果，4种符合题意，所以二次方程有两个不等实数根的概率是：，
故答案为：．
【举一反三4】已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛．
(1)若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛；
(2)若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率．
【答案】解：（1）四位选手进行单循环比赛的情况为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6种情况；
所以，一共要打6场比赛.
（2）甲、乙、丙、丁4位同学共有6种配对情况：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），其中甲、乙两位同学配对的有1种，
所以，甲、乙两位同学配对的概率．
【举一反三5】某校3男2女共5名学生参加黄石市教育局举办的“我爱黄石”演讲比赛．
（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法，列出所有可能情形；
（2）若抽取的3名学生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？
【答案】解：（1）从5名学生中任意抽取3名，共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；
（2）共有10种不同的抽法，其中必有1女生的有9种，
则必有1女生的概率是．
【题型4】判断游戏公平性
【典型例题】桌上放着25粒棋子，小明和小刚两人轮流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算输，该游戏（ ）
A.公平 B.不公平 C.对小明有利 D.不确定
【答案】B
【解析】因为1、2、3的最小公倍数为6，
所以小明和小刚两人轮流拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子的总数为6的倍数，
而25=4×6+1，则小明和小刚两人轮流拿后，最后总是剩下一粒棋子，
所以先拿的那个人必定要拿最后一粒棋子，则它必输，即先拿的人输，后拿的人赢，
所以这个游戏不公平．
故选B．
【举一反三1】小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（ ）
A.小晶赢的机会大
B.小红赢的机会大
C.小晶、小红赢的机会一样大
D.不能确定
【答案】B
【解析】列表如下：
共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，∴P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即P（小晶赢）＜P（小红赢），所以小红赢的机会大．
故选B．
【举一反三2】甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【解析】∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为，
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为，
故游戏规则对甲有利．
故答案为：不公平.
【举一反三3】在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，
∴三个人摸到每个球的概率均相等，
即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率，
故答案为：．
【举一反三4】疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，专门为学生设计了一个数学游戏，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．
(1)若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；
(2)若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y，点M的坐标记作．规定：若点在反比例函数的图像上，则学生胜；若点M在反比例函数的图象上，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【答案】解：（1）小红使用该软件生成一个随机数字，则这个数字是2的概率为；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，点在反比例函数图象上的结果有4个，点在反比例函数图象上的结果有4个，
学生胜的概率为，老师胜的概率为，
学生胜的概率老师胜的概率，
这个游戏公平．
【举一反三5】小影和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，第一组牌面数字分别是2和3，第二组牌面数字分别是5和6；将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸到两张牌的牌面数字之积能被3整除，则小颖胜，否则小刚胜．这是一个对参与双方公平的游戏吗？请借助列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】解：画树状图，如下：
一共有4种情况，积是3的倍数的有3种情况，
∴小颖获胜的概率为，
∴小刚获胜的概率为，
∵，
∴这是一个对参与双方不公平的游戏．
【题型5】根据概率公式求几何中的概率
【典型例题】如图，小明有一个边长为4 cm的正方形靶盘，其中点A，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：D．
【举一反三1】如图，点M、N、P、Q分别是菱形各边的中点，连接、交于点O，从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵图中四边形的总个数为9个，其中菱形的个数为5个，
∴从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是．
故选：C．
【举一反三2】用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【解析】,
设,
则,
,
,
故答案为：．
【举一反三3】一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率．
【答案】解：由图可知，黑色方砖6块，总共有方砖16块，
∴．
【举一反三4】如图，从一个大正方形中截去面积为3 cm 和12 cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率．
【答案】解：∵两个空白正方形的面积分别为12 cm 和3 cm ，
∴边长分别为 cm和 cm，
∴大正方形的边长为 cm，
∴大正方形的面积为 cm ，
∴阴影部分的面积为27-12-3=12 cm ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率．
【题型6】根据概率求数量
【典型例题】口袋里有除颜色不同外其他都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个，摸到红球的概率是，摸到蓝球的概率是，则袋子里有白球（ ）个．
A.15 B.10 C.5 D.6
【答案】C
【解析】因为摸到红球的概率是，摸到蓝球的概率是，
所以红球的个数为，蓝球的个数为，
所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5．
故选C．
【举一反三1】一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有4个，若从袋中任意取出一个球，取出黄色球的概率为，则黑色球的个数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】根据题意可求得黄球个数为：15×=6个，
所以黑球个数为：15-6-4=5个，
故选：C．
【举一反三2】在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴，
故选：C．
【举一反三3】口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为，放入个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是 ．
【答案】30
【解析】设口袋中白球的个数为，则黑球的个数为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴口袋中白球的个数是30，
故答案为：30．
【举一反三4】某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有8元的小球有14个，标有2元的小球有27个，标有0元的小球有5个，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个，摸到0元小球则没有奖品．根据以上信息回答下列问题：
(1)已知小明购买了指定商品，小明获得奖品的概率是_________，获得8元奖品的概率是_________．
(2)假设从箱子里拿出3个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到标有2元小球的概率是多少？
(3)为吸引顾客，儿童用品商店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球．
【答案】解：（1）标有50元的小球有4个，标有8元的小球有14个，标有2元的小球有27个，标有0元的小球有5个，
所以“获奖”的概率为，
共有50个小球，标有“8元”的有14个，
因此获得“8元”的概率为，
故答案为：；
（2）从箱子里拿出3个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到标有2元小球的概率为：．
（3）设需要把个标有“2元”的小球改为“8元”，由题意得，．
解得，
因为原来有27个标有“2元”的小球，，
所以需要将6个标有“2元”的小球改为“8元”的小球．
【举一反三5】围棋盒中有x颗白色棋子，y颗黑色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，若它是白色棋子的概率是，
（1）试写出y与x的函数关系；
（2）第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为，求x和y的值．
【答案】解：（1）∵白色棋子的概率是，
∴黑色棋子的概率是，
∴黑色棋子与白色棋子之比为：，
∴y=x；
（2）=，
解得x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴x=30，
∴y=×30=18．
【题型7】概率的意义
【典型例题】如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A.邗江区明天将有的时间下雨
B.邗江区明天将有的地区下雨
C.邗江区明天下雨的可能性较大
D.邗江区明天下雨的可能性较小
【答案】C
【解析】 “扬州市邗江区明天的降水概率为”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：C．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.做抛掷硬币的试验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的试验结果是一致的
B.抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面
C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖
D.天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的
【答案】D
【解析】A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是不一样的，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次不一定掷出背面，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的，原说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【举一反三2】简洁的说，在随机现象中，一个事件发生的 叫概率.
【答案】可能性大小
【解析】概率：表示某件事发生的可能性大小的一个量.
根据概率的定义可知核心是可能性大小.
【举一反三3】一般地，如果一个试验有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： ．必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ，随机事件A发生的概率是 ．
【答案】P（A）＝；1；0；0与1之间的一个常数
【举一反三4】概率为的随机事件在一次实验中是否会发生？为什么？
【答案】解：不一定会发生．因为这一事件是随机事件，其发生概率是多次重复实验所得的结果，所以仅一次实验事件不一定会发生．
【举一反三5】有人说“买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票最多只能有2注中奖”．这种说法对吗，为什么？
【答案】解：这种说法不对，因为概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，所以买彩票中奖的可能性是，买1000注彩票不一定能中奖．
【题型8】用列表法求概率
【典型例题】从写有数字1，2，3的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
一共有6种等可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中摆出的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种，
摆出的两位数是3的倍数的概率为．
故选：B．
【举一反三1】从分别写有“大”“美”“河”“北”汉字的四张卡片中，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下,
由表知，共有种等可能结果，其中抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的有种结果，
所以抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的概率为，
故选：B．
【举一反三2】为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【答案】
【解析】列表如下：
共有种等可能结果，其中一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故答案：．
【举一反三3】已知都是一位数的自然数，则点在直线上的概率为 ．
【答案】
【解析】列表得：
共有100种等可能的结果，其中点在直线上的有9种结果，分别为，，，，，
点在直线上的概率为，
故答案为：.
【举一反三4】桌上放着4张纸牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2张是“大王”．
(1)随机翻开1张纸牌，翻开的牌是“大王”的概率为_________．
(2)随机翻开2张纸牌，求翻开的2张牌中至少有1张是“大王”的概率．
【答案】解：（1）一共有4张牌，“大王”有2张，所以翻开的牌是“大王”的概率是.
故答案为：；
（2）记这4张纸片为A，a，B，b（设B，b为大王）．列表如下：
随机翻开2张纸牌，共有12种可能出现的结果，即(A,a)、、(A,b)、、、、、(B,a)、(B,b)、、、,这些结果出现的可能性相同．所有的结果中，满足抽到的2张牌中至少有1张是大王的结果有10种，所以P（至少1张是大王）．
【举一反三5】2023年11月19日，中国载人航天工程办公室发布2024年度“天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务”四次飞行任务标识．小明是个航天爱好者，他收集了如图所示的四枚飞行任务标识（除正面内容不同外，其余均相同），现将飞行任务标识的背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一枚飞行任务标识是“天舟八号飞行任务”的概率是多少？
(2)小明从中随机抽取一枚飞行任务标识记下后放回，再随机抽取一枚，请你用列表的方法求抽到的两枚飞行任务标识恰好是“神舟十九号载人飞行任务”的概率．
【答案】解：（1）依题意，小明从中随机抽取一枚飞行任务标识是“天舟八号飞行任务”的概率为．
（2）设“天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务”标识分别为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中抽到的两枚飞行任务标识恰好是“神舟十九号载人飞行任务”的结果有1种，
∴P（抽到的两枚飞行任务标识恰好是“神舟十九号载人飞行任务”）．
【题型9】根据概率公式求代数中的概率
【典型例题】任意投掷一枚质地均匀的骰子，点数大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于2的有4种情况，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于2的概率是：．
故选：C．
【举一反三1】小明去朋友家做客，在客厅入口处有四个开关按钮（如图所示），四个完全相同的开关按钮从左到右分别是过道、客厅、餐厅、厨房的灯光开关．小明任意按一个开关按钮恰好是客厅开关的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四个开关按钮，小明任意按一个开关按钮恰好是客厅开关的概率为，
故选：B．
【举一反三2】将9枚黑棋子和6枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除了颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑子的概率是 ．
【答案】
【解析】盒子里总的棋子数为：（枚）,
取出的棋子是黑子的概率是：，
故答案为：．
【举一反三3】一个口袋中装有3个白球和5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球．
(1)如果将这个白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果将这个白球不放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
【答案】解：（1）根据题意得：再摸出一球是白球的概率是．
（2）根据题意得：再摸出一球是白球的概率是．
【举一反三4】从一副扑克牌中随机抽取一张．
（1）它是王牌的概率是多少？
（2）它是Q的概率是多少？
（3）它是梅花的概率是多少？
【答案】解：(1)一副扑克牌中共有54张牌，王牌有两张，
所以，P(任意抽取一张是王牌) ＝＝．
(2)一副扑克牌中共有54张牌，Q牌有4张，所以，P(任意抽取一张是Q)＝＝．
(3)一副扑克牌中共有54张牌，梅花牌有13张，所以，P(任意抽取一张是梅花) ＝．
【题型10】用树状图求概率（三步或四步实验）
【典型例题】小明邀请小红玩一个转盘游戏，准备下图三个可以自由转动的转盘，小明转动转盘，小红记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算小明赢，否则就算小红赢．请你计算小明赢的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图如下：
由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．
则小明获胜的概率，
故选：D．
【举一反三1】体育课，甲、乙、丙、丁四人在练习踢足球，足球从一人踢向另一人记为踢一次，若第一次由甲踢出足球，则踢三次后足球回到甲处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图如下：
共有27种等可能的情况，其中踢三次后足球回到甲处的共有6次，故踢三次后足球回到甲处的概率是．
故选：C.
【举一反三2】新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图，
由图可知，所有可能组成的数有共有24种，其中恰好是“回文数”的共有8种，
∴从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是，
故选：B．
【举一反三3】数轴上一动点P开始时在原点，每次运动都是等可能地向右平移1个单位或向左平移2个单位，第三次运动结束后，点P回到原点位置的概率为 ．
【答案】
【解析】根据题意画出树状图如下：
由树状图可知共有8种等可能结果，点P回到原点位置的结果数为3，则点P回到原点位置的概率为．
故答案为．
【举一反三4】把两张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀成三堆，从这三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ．
【答案】
【解析】将第一张图片的上、中、下三段分别记为，第二张图片的上、中、下三段分别记为，则有；；三堆，
则画树状图如下：

由图可知，从这三堆图片中随机各抽出一张共有8种等可能的结果，其中，这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果有2种，
则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为，
故答案为：．
【举一反三5】有两部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看．
(1)甲、乙两人都选择A电影的概率是______；
(2)用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率．
【答案】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知共有4种可能结果，
其中甲、乙两人都选择A电影的有1种结果，
∴甲、乙两人都选择A电影的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，
其中三人选择同一部电影的有2种结果，
∴三人选择同一部电影的概率为．
【举一反三6】在三胎奖励政策的鼓励下，李明夫妇有了生三胎的打算，请用树状图分析生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率．
【答案】解：用树状图表示三胎后所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中男女的有种，
∴三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率为，
答：生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率为．

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