资源简介

4.6相似多边形
【知识点1】相似多边形的性质 1
【题型1】相似多边形的周长之比等于相似比 1
【题型2】相似多边形的面积之比等于相似比的平方 3
【题型3】相似多边形定义 5
【题型4】相似多边形实际应用 7
【知识点1】相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
【题型1】相似多边形的周长之比等于相似比
【典型例题】两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（　　）
A.40cm B.50cm C.60cm D.70cm
【答案】C
【解析】由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，
则有：5x﹣3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.
故选：C．
【举一反三1】已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（　　）
A.3：4 B.3：5 C.4：3 D.5：3
【答案】C
【解析】∵四边形EFGH∽四边形ABCD，∴相似比.
故选：C．
【举一反三2】已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的周长是　　cm．
【答案】30
【解析】已知四边形的周长为：3+4+5+8＝20cm，
根据题意，两相似多边形的相似比为，
设另一个四边形的周长为x，则，解得x＝30cm．
【举一反三3】如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【答案】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，
根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解关于a的方程得：a1b，a2b（不符合题意，舍去），
∴原矩形的长和宽的比为.
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴，∴．
【举一反三4】如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长．
【答案】解：（1）∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，它们都是相似的矩形，
∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得，
∴.
（2）∵A1纸的周长为286厘米，，
∴A2纸的周长＝286143．
【题型2】相似多边形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】两个相似多边形的面积比是9：25，若较小多边形的周长为6cm，则较大多边形的周长为（　　）
A.16cm B.cm C.10cm D.25cm
【答案】C
【解析】∵两相似多边形的面积比是9：25，∴两相似多边形的相似比为3：5，
∴两相似多边形的周长比为3：5，
∵较小多边形的周长为6cm，∴较大多边形的周长为10cm．
故选：C．
【举一反三1】一个长8cm，宽6cm的长方形，按1：2缩小得到的长方形的周长和面积分别是（　　）
A.12cm 14cm2 B.14cm 28cm2 C.28cm 48cm2 D.14cm 12cm2
【答案】D
【解析】∵一个长8cm，宽6cm的长方形，∴此长方形的周长为：2×（8+6）＝28（cm），
长方形的面积为：6×8＝48（cm2），
∴按1：2缩小得到的长方形的周长是：2814（cm）；
按1：2缩小得到的长方形的面积是：4812（cm2）．
故选：D．
【举一反三2】已知五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且五边形ABCDE的面积是五边形A'B'C'D'E'面积的4倍，则AB：A'B'＝　　．
【答案】2：1
【解析】∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，五边形ABCDE的面积是五边形A'B'C'D'E'面积的4倍，
∴AB：A′B′＝2：1．
【举一反三3】如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　　．
【答案】
【解析】设AF＝a，AD＝b，
∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，∴EC＝2a，NCb，∴CD＝3a，
∵矩形AFED∽矩形ABCD，∴，即，∴ba，
∴原矩形的较长边与较短边的比值为：．
【举一反三4】已知一个矩形的长和宽分别为8cm和4cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．
【答案】解：设与它相似的矩形的另一条边长x cm，
①当矩形的长为12cm时，，解得：x＝6，此时这个矩形的面积为：12×6＝72（cm2）；
②当矩形的宽为12cm时，，解得：x＝24，此时这个矩形的面积为：12×24＝288（cm2）．
综上所述：这个矩形的面积为72cm2或288cm2．
【题型3】相似多边形定义
【典型例题】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A.两个等腰三角形 B.两个正五边形 C.两个矩形 D.两个平行四边形
【答案】B
【解析】A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；
B、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确；
C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确；
D、两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确．
故选：B．
【举一反三1】在下面的三个矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】B
【解析】由于三个图形都为矩形，所以只看他们的边长比例即可，
甲图形两边比例为4：3，乙图形两边比例为2：1，丙图形两边比例为4：3.
故选：B．
【举一反三2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A.两个等腰三角形 B.两个正五边形 C.两个矩形 D.两个平行四边形
【答案】B
【解析】A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；
B、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确；
C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确；
D、两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确．
故选：B．
【举一反三3】在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】A
【解析】∵都是矩形，∴所有对应角相等；
∵甲与乙：，故相似；甲与丙：，故不相似；∴乙与丙也不相似．
故选：A．
【题型4】相似多边形实际应用
【典型例题】如图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图（由图中粗实线表示），它的宽度为5.18米，那么它的长大约在（　　）
A.12米至13米之间 B.13米至14米之间 C.14米至15米之间 D.15米至16米之间
【答案】B
【解析】测量得，示意图长约为61cm，宽约为24cm，于是设羽毛球单打场地的长为l，则．
解得l≈13.17．
故选：B．
【举一反三1】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【答案】C
【解析】由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴，∴，解得a＝12.
故选：C．
【举一反三2】如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　　m．
【答案】1.8
【解析】设每条纵向小路的宽为x m．
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得x＝1.8，
或，解得x＝25.8（不符合实际意义）.
【举一反三3】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
（1）每块地砖的长与宽分别为多少？
（2）这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明理由．
【答案】解：（1）设每块地砖的长与宽分别为x cm，y cm．
由题意：，解得．
答：每块地砖的长与宽分别为45cm，15cm．
（2）矩形地面的长为90，宽为60，∴，
∴地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似．
【举一反三4】如图，矩形草坪的长是30m，宽是10m，现要修建一条平行于草坪边缘的矩形小路，使得小路的形状与原来草坪的形状相似，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x m，
则根据相似三角形的性质得：，解得：x，
即小路的宽为m．4.6相似多边形
【知识点1】相似多边形的性质 1
【题型1】相似多边形的周长之比等于相似比 1
【题型2】相似多边形的面积之比等于相似比的平方 3
【题型3】相似多边形定义 5
【题型4】相似多边形实际应用 7
【知识点1】相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
【题型1】相似多边形的周长之比等于相似比
【典型例题】两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（　　）
A.40cm B.50cm C.60cm D.70cm
【答案】C
【解析】由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，
则有：5x﹣3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.
故选：C．
【举一反三1】已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（　　）
A.3：4 B.3：5 C.4：3 D.5：3
【答案】C
【解析】∵四边形EFGH∽四边形ABCD，∴相似比.
故选：C．
【举一反三2】已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的周长是　　cm．
【答案】30
【解析】已知四边形的周长为：3+4+5+8＝20cm，
根据题意，两相似多边形的相似比为，
设另一个四边形的周长为x，则，解得x＝30cm．
【举一反三3】如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【答案】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，
根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解关于a的方程得：a1b，a2b（不符合题意，舍去），
∴原矩形的长和宽的比为.
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴，∴．
【举一反三4】如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长．
【答案】解：（1）∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，它们都是相似的矩形，
∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得，
∴.
（2）∵A1纸的周长为286厘米，，
∴A2纸的周长＝286143．
【题型2】相似多边形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】两个相似多边形的面积比是9：25，若较小多边形的周长为6cm，则较大多边形的周长为（　　）
A.16cm B.cm C.10cm D.25cm
【答案】C
【解析】∵两相似多边形的面积比是9：25，∴两相似多边形的相似比为3：5，
∴两相似多边形的周长比为3：5，
∵较小多边形的周长为6cm，∴较大多边形的周长为10cm．
故选：C．
【举一反三1】一个长8cm，宽6cm的长方形，按1：2缩小得到的长方形的周长和面积分别是（　　）
A.12cm 14cm2 B.14cm 28cm2 C.28cm 48cm2 D.14cm 12cm2
【答案】D
【解析】∵一个长8cm，宽6cm的长方形，∴此长方形的周长为：2×（8+6）＝28（cm），
长方形的面积为：6×8＝48（cm2），
∴按1：2缩小得到的长方形的周长是：2814（cm）；
按1：2缩小得到的长方形的面积是：4812（cm2）．
故选：D．
【举一反三2】已知五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且五边形ABCDE的面积是五边形A'B'C'D'E'面积的4倍，则AB：A'B'＝　　．
【答案】2：1
【解析】∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，五边形ABCDE的面积是五边形A'B'C'D'E'面积的4倍，
∴AB：A′B′＝2：1．
【举一反三3】如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　　．
【答案】
【解析】设AF＝a，AD＝b，
∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，∴EC＝2a，NCb，∴CD＝3a，
∵矩形AFED∽矩形ABCD，∴，即，∴ba，
∴原矩形的较长边与较短边的比值为：．
【举一反三4】已知一个矩形的长和宽分别为8cm和4cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．
【答案】解：设与它相似的矩形的另一条边长x cm，
①当矩形的长为12cm时，，解得：x＝6，此时这个矩形的面积为：12×6＝72（cm2）；
②当矩形的宽为12cm时，，解得：x＝24，此时这个矩形的面积为：12×24＝288（cm2）．
综上所述：这个矩形的面积为72cm2或288cm2．
【题型3】相似多边形定义
【典型例题】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A.两个等腰三角形 B.两个正五边形 C.两个矩形 D.两个平行四边形
【答案】B
【解析】A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；
B、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确；
C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确；
D、两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确．
故选：B．
【举一反三1】在下面的三个矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】B
【解析】由于三个图形都为矩形，所以只看他们的边长比例即可，
甲图形两边比例为4：3，乙图形两边比例为2：1，丙图形两边比例为4：3.
故选：B．
【举一反三2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A.两个等腰三角形 B.两个正五边形 C.两个矩形 D.两个平行四边形
【答案】B
【解析】A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；
B、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确；
C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确；
D、两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确．
故选：B．
【举一反三3】在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】A
【解析】∵都是矩形，∴所有对应角相等；
∵甲与乙：，故相似；甲与丙：，故不相似；∴乙与丙也不相似．
故选：A．
【题型4】相似多边形实际应用
【典型例题】如图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图（由图中粗实线表示），它的宽度为5.18米，那么它的长大约在（　　）
A.12米至13米之间 B.13米至14米之间 C.14米至15米之间 D.15米至16米之间
【答案】B
【解析】测量得，示意图长约为61cm，宽约为24cm，于是设羽毛球单打场地的长为l，则．
解得l≈13.17．
故选：B．
【举一反三1】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【答案】C
【解析】由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴，∴，解得a＝12.
故选：C．
【举一反三2】如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　　m．
【答案】1.8
【解析】设每条纵向小路的宽为x m．
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得x＝1.8，
或，解得x＝25.8（不符合实际意义）.
【举一反三3】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
（1）每块地砖的长与宽分别为多少？
（2）这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明理由．
【答案】解：（1）设每块地砖的长与宽分别为x cm，y cm．
由题意：，解得．
答：每块地砖的长与宽分别为45cm，15cm．
（2）矩形地面的长为90，宽为60，∴，
∴地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似．
【举一反三4】如图，矩形草坪的长是30m，宽是10m，现要修建一条平行于草坪边缘的矩形小路，使得小路的形状与原来草坪的形状相似，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x m，
则根据相似三角形的性质得：，解得：x，
即小路的宽为m．

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