资源简介

4.4两个三角形相似的判定
【知识点1】相似三角形的判定与性质 1
【知识点2】相似三角形的判定 1
【知识点3】射影定理 2
【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 2
【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 4
【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 5
【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 6
【题型5】动点中的相似三角形 8
【题型6】由平行判定两个三角形相似 10
【题型7】相似三角形判定定理的综合 10
【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 12
【知识点1】相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【知识点2】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【知识点3】射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　）
A.且∠B＝∠E
B.且∠A＝∠E
C.且∠A＝∠D
D.且∠A＝∠E
【举一反三1】如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四种添加条件的方法，正确的是（　　）
A. B.BP2＝AP PC C.AB2＝AP AC D.
【举一反三2】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　）
A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D.
【举一反三3】如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△DEF.
【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似
【典型例题】有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　）
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为2，5，6．△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为（　　）
A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12
【举一反三2】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）：
（1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　；
（3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　．
【举一反三4】如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．求证：△DEF∽△ABC.
【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用
【典型例题】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（ ）
A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米
【举一反三1】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（ ）
A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里
【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为 m．
【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）．
【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用
【典型例题】“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（　　）
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
【举一反三1】如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　）
A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m
【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 　　米．
【举一反三3】如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是 m．
【举一反三4】2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
【举一反三5】某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
【题型5】动点中的相似三角形
【典型例题】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，沿CB﹣BA运动，时间t为（　　）时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似．
A. B. C.或 D.或或4
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）
A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似．
【举一反三4】如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t s（0＜t＜5）．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【题型6】由平行判定两个三角形相似
【典型例题】如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【举一反三1】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【举一反三2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【举一反三3】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　　．
【举一反三4】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连接AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连接DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连接CG，交AD于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△AGH∽△AFD．
【题型7】相似三角形判定定理的综合
【典型例题】下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　）
A.
B.，∠B＝∠B′
C.，∠A＝∠A′
D.
【举一反三1】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC
【举一反三2】点P是△ABC的边AB上一点，过P点的直线l与△ABC的边界的另一个交点为D，则使△APD与△ABC相似的直线l可能有　　（把正确的结论的代号都填上）．
①1条；②2条；③3条；④4条．
【举一反三3】已知：△ABC，P是边AB上的一点，连接CP．
（1）当∠ACP＝　　时，△ACP∽△ABC．
（2）当AC：AP＝　　时，△ACP∽△ABC．
【举一反三4】如图，△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF.
（1）△ADF、△BED、△CFE相似吗？为什么？
（2）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列各种图形中，有可能不相似的是（　　）
A.有一个角是45°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.有一个角是110°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
【举一反三1】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角
【举一反三2】两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形　　相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”）
【举一反三3】如图，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，则图中相似三角形是 　　．
【举一反三4】如图所示，在⊙O中，D是中点，BD，AC相交于点E，求证：△ABD∽△EBC．4.4两个三角形相似的判定
【知识点1】相似三角形的判定与性质 1
【知识点2】相似三角形的判定 1
【知识点3】射影定理 2
【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 2
【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 5
【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 7
【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 8
【题型5】动点中的相似三角形 12
【题型6】由平行判定两个三角形相似 16
【题型7】相似三角形判定定理的综合 18
【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 20
【知识点1】相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【知识点2】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【知识点3】射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　）
A.且∠B＝∠E
B.且∠A＝∠E
C.且∠A＝∠D
D.且∠A＝∠E
【答案】A
【解析】选项A，∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△FED，故选项A符合题意；
选项B，C，D不符合题意．
故选：A．
【举一反三1】如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四种添加条件的方法，正确的是（　　）
A. B.BP2＝AP PC C.AB2＝AP AC D.
【答案】C
【解析】∵AB2＝AP AC，∴，
又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB.
故选：C．
【举一反三2】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　）
A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，∠A＝∠A，
若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△AED，故C选项符合题意；
A、B、D选项均不能判定△ABC∽△AED，故不符合题意.
故选：C．
【举一反三3】如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　　．
【答案】∠D＝∠C或∠E＝∠B或
【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠C或∠E＝∠B或时，△ADE∽△ACB．
【举一反三4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，∴，∴△BCD∽△BDE．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△DEF.
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，∴，
∵DF＝DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF.
【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似
【典型例题】有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　）
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断
【答案】A
【解析】因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似．
故选：A．
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为2，5，6．△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为（　　）
A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12
【答案】B
【解析】∵△ABC的三边长分别为2，5，6，且，
∴要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为6，15，18．
故选：B．
【举一反三2】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据勾股定理，BC，AC，AB2．
所以AB2+AC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，
且∠B＝90°，所以夹直角的两边的比为2，
观察各选项，只有C选项中的三角形与所给图形的三角形相似．
故选：C．
【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）：
（1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　；
（3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　．
【答案】不相似；相似；相似
【解析】（1）∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1；
∴，∴△ABC与△DEF不相似；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，
∴，∴△ABC与△A1B1C1相似；
（3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），
∴AO＝2，AB，A1B1＝2，OB，OA1＝4，OB1＝2，A1B1＝2，
∴，∴△AOB与△A1OB1相似．
【举一反三4】如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．求证：△DEF∽△ABC.
【答案】证明：∵D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴DFAC，
同理EFBC，DEAB，则，∴△DEF∽△ABC.
【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用
【典型例题】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（ ）
A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米
【答案】C
【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．
解得：AB＝100米．
故选：C．
【举一反三1】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（ ）
A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里
【答案】C
【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，
解得FH＝1.05里．
故选：C．
【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为 m．
【答案】0.9
【解析】由题意可得出：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD，∴△EBF∽△DCF，∴＝，
∴＝，解得：BF＝0.9．
【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）．
【答案】解：∵根据反射定律知：∠FEB＝∠FED，∴∠BEA＝∠DEC，
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴，
∵CE＝2.5米，DC＝1.6米，∴，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高为12.8米．
【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用
【典型例题】“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（　　）
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
【答案】B
【解析】由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，∴△GFE∽△BCE，∴，
即，解得：CB＝2（米），∴AB＝AC+CB＝1+2＝3（米）.
故选：B．
【举一反三1】如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　）
A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m
【答案】B
【解析】∵BN∥AM，∴△BCN∽△ACM，∴，
∵BC＝1m，BNm，AC＝4.5m，∴，∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 　　米．
【答案】1.6
【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，
解得BC＝1.6.
【举一反三3】如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是 m．
【答案】14
【解析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42 m，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m，
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴AB＝14（m），
即铁塔的高度为14 m．
【举一反三4】2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
【答案】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米，
∵CD∥AB，∴△OAB∽△ODC，∴，∴，∴OC＝400．
答：CO的大致距离为400米．
【举一反三5】某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
【答案】解：过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M，
由题意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米），
∵CM∥EN，∴△ACM∽△AEN，∴，∴，解得：EN＝15.4，
则EF＝15.4+1.6＝17（米），
答：旗杆EF的高度为17米．
【题型5】动点中的相似三角形
【典型例题】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，沿CB﹣BA运动，时间t为（　　）时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似．
A. B. C.或 D.或或4
【答案】D
【解析】BC，
当△ACB∽△PCA时，则，∴，∴CP，
∵点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度运动，∴t（秒）；
如图，当△ACB∽△APC时，
则，∴，∴CP，∴BP，
∴BP+BC，
∵点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，∴t（秒），
当点P与B重合时，t＝4秒，
综上所述，时间t为秒或秒或4秒时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似．
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】①当∠DPC＝∠A时，△ABC∽△PDC，
②当∠PDC＝∠A时，△ABC∽△DPC，
③当∠APD＝∠B时，△ABC∽△APD，
④当∠APD＝∠C时，△ABC∽△ADP，
综上：一共有4个.
故选：D．
【举一反三2】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）
A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s
【答案】D
【解析】如果两点同时运动，设运动t s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝10﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，∴t：5＝（10﹣2t）：10，∴t＝2.5；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，∴t：10＝（10﹣2t）：5，∴t＝4．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5s或4s．
故选：D．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
【举一反三4】如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t s（0＜t＜5）．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC10（cm），
∵∠PCQ＝∠ACB，
∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则，即，解得t；
当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则，即，解得t；
∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似.
（2）四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．理由如下：
作PH⊥BC于H，如图，
∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴，即，
∴PH（cm），
当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，
S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2 t 6 8，
整理得t2﹣5t+20＝0，此时方程无实数解，
∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．
【题型6】由平行判定两个三角形相似
【典型例题】如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．
∴图中相似三角形的对数是：3对．
故选：C．
【举一反三2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】C
【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴△AEF∽△ADC，
∵全等是特殊的相似，∴图中相似的三角形共有3组.
故选：C．
【举一反三3】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　　．
【答案】相似
【解析】∵DE∥BC．∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）.
【举一反三4】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连接AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连接DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连接CG，交AD于点H．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△AGH∽△AFD．
【答案】证明：（1）∵EG∥BC，∴∠2＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
由旋转的性质得到：∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2.
（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝EB，
由旋转的性质得到：CD＝BE，∴EG＝CD，
∵GE∥CD，∴四边形DCGE是平行四边形，∴GH∥FD，∴△AGH∽△AFD．
【题型7】相似三角形判定定理的综合
【典型例题】下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　）
A.
B.，∠B＝∠B′
C.，∠A＝∠A′
D.
【答案】C
【解析】A，D中只有对应边成比例，角不确定，A，D错；
B中∠B不是AB，AC的夹角，所以B错；
C中对应边成比例，且夹角相等，所以C可判定其相似，C对.
故选：C．
【举一反三1】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】A、∵∠A＝∠A，，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】点P是△ABC的边AB上一点，过P点的直线l与△ABC的边界的另一个交点为D，则使△APD与△ABC相似的直线l可能有　　（把正确的结论的代号都填上）．
①1条；②2条；③3条；④4条．
【答案】④
【解析】如图所示，
①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC；
②作∠APE＝∠C，则△APE∽△ACB；
③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC；
④在∠BPG＝∠C，则△PBG∽△CBA．
【举一反三3】已知：△ABC，P是边AB上的一点，连接CP．
（1）当∠ACP＝　　时，△ACP∽△ABC．
（2）当AC：AP＝　　时，△ACP∽△ABC．
【答案】（1）∠B，（2）AB：AC
【解析】∵∠A是公共角，
（1）当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
（2）当AC：AP＝AB：AC时，△ACP∽△ABC．
【举一反三4】如图，△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF.
（1）△ADF、△BED、△CFE相似吗？为什么？
（2）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
【答案】解：（1）△ADF、△BED、△CFE相似．
理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED和△CFE中，，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴△ADF、△BED、△CFE相似.
（2）相似．
理由：∵△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝DF，
即△DEF是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，∴△DEF∽△ABC．
【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列各种图形中，有可能不相似的是（　　）
A.有一个角是45°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.有一个角是110°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
【答案】A
【解析】A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；
B、各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C、各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D、两个等腰直角三角形，两角对应相等，此三角形必相似，故此选项不合题意.
故选：A．
【举一反三1】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角
【答案】C
【解析】因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似，故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选：C．
【举一反三2】两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形　　相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”）
【答案】不一定；一定
【解析】由于45°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
根据三角形的内角和定理：等于95°的角只能是顶角，即△ABC和△DEF的顶角∠A＝∠D＝95°，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝42.5°，∠E＝∠F（180°﹣∠D）＝42.5°，∴∠B＝∠E，
∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF．
【举一反三3】如图，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，则图中相似三角形是 　　．
【答案】△ABC∽△ECD
【解析】∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°，∠BCD＝60°，∴∠ACB+∠DCE＝120°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∴∠DCE＝∠B，
又∵∠A＝∠E，∴△ABC∽△ECD.
【举一反三4】如图所示，在⊙O中，D是中点，BD，AC相交于点E，求证：△ABD∽△EBC．
【答案】证明：∵D是中点，∴，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∴△ABD∽△EBC．

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