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11.2 正弦定理
第1课时 正弦定理
探究点一 已知两角及一边解三角形
探究点二 已知两边及一边的对角解三
角形
探究点三 正弦定理的应用
【学习目标】
1.了解利用向量和三角形边角关系推导正弦定理的过程.
2.掌握正弦定理及其变形的结构特征和功能，并能用正弦定理解
决三角形中边、角等问题.
3.能用正弦定理解决简单的实际应用问题并证明平面几何的相关
结论.
知识点一 正弦定理
1.正弦定理
文字语言 三角形的各边与它所对角的______的比相等
符号语言
正弦
2.正弦定理的常见变形（其中为 外接圆的半径）
（1） ;
（2） ;
（3）,, ;
（4）,， ;
（5） .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正弦定理适用于任意三角形.( )
√
[解析] 正弦定理适用于任意三角形.
（2）在中，等式 总能成立.( )
√
[解析] 由正弦定理知，即 .
（3）在某个确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比值是一个
定值.( )
√
[解析] 根据正弦定理，在一个确定的三角形中，各边与它所对角的
正弦的比等于该三角形的外接圆直径，其值是一个定值.
知识点二 利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题:
（1）已知两角和任一边,求________________；
（2）已知两边和其中一边的对角,求______________（从而进一步求
出其他的边和角）.
其他两边和一角
另一边的对角
2.在中，已知，和，用正弦定理求 时的各种情况如下：
图 形 ____________________________ ____________________________ ____________________________________ _____________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________________________________________________________
关系 式
解的个数 一解 两解 无解 一解 无解
续表
【诊断分析】
在中，，， ，则满足条件的三角形有___个.
2
[解析] ，，， 根据，得 ，
解得.
， 的值有2个，即满足条件的三角形有2个.
知识点三 正弦定理在实际生活中的应用
1.仰角与俯角
名称 定义 图形说明
仰角 与俯 角 在同一铅垂面内,视线在________ ____时与水平线的夹角叫仰角,视 线在____________时与水平线的 夹角叫俯角 ______________________________________________________________________
水平线上方
水平线下方
2.两点中一点不可到达如图，可选取与点 同侧的
点，测出以及和 ，先应用内角和
定理求出，再利用正弦定理求出 .
探究点一 已知两角及一边解三角形
例1 在中，已知， ， ，求 的值.
解：根据三角形内角和定理，得 ，
根据正弦定理，得 .
变式（1） 在中,,,,则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 因为,,所以 ,
由正弦定理可得 .故选C.
√
（2）[2024·安徽宿州高一期中]在中，内角,, 的对边分别
为,,，若,,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，由 ，得
.故选D.
√
［素养小结］
正弦定理实际上是三个等式：;； .每
个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
探究点二 已知两边及一边的对角解三角形
例2 在中，已知， ， ，解三角形.
解：，，
或 .
当 时， ，；
当 时， ，.
综上，， ，
或， ， .
变式 在中，若，，，求，， .
解：由，得，或 .
，，， ，
.
［素养小结］
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的
正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定
该角有一个值还是两个值．
拓展 （多选题）在中，内角,,的对边分别为,, ，则下
列对 的解的情况判断正确的是 ( )
A.当,, 时，有两解
B.当,, 时，有一解
C.当,, 时，无解
D.当,, 时，有两解
√
√
[解析] 对于A，由正弦定理得，即 ，
所以，因为 ,，所以 或 ，
三角形有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得 ，
三角形无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得 ，
三角形无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又 ，所以B为锐角，三角形只有一解，故D错误.故选 .
探究点三 正弦定理的应用
角度1 正弦定理的实际应用
例3 如图所示，在山顶铁塔上 处测得地面上
一点的俯角为 ，在塔底处测得点 的俯角
为 ，已知，求山高 .
解：在中， ， ，
根据正弦定理得 ,
即 ,
所以 .
在中， .
变式 [2024·南通高一期中]一艘船以的速度从 处向正北
方向航行，从处看灯塔位于船北偏东 的方向上， 后船
航行到处，从处看灯塔位于船北偏东 的方向上，则灯塔 与
处之间的距离为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，由题意知， ，
，
由正弦定理得 ，
解得 .故选B.
角度2 利用正弦定理证明平面几何中的结论
例4 在中，平分，点在边 上,用正弦定理证明：
.
证明：由正弦定理知，在中， ，
在中，，
因为 ，，
所以, ，所以 .
变式 如图所示，四边形是由与 拼接而成的，已
知，，求证： .
证明：在中，， ，
，
， .
在中，由正弦定理得 ，
即，
，， .
［素养小结］
（1）测量高度的两类问题：
①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形进行求解；
②底部不可到达，但仍在同一铅垂直内，此类问题中两次观测点和
所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.
（2）处理以多边形和圆为代表的基本几何图形的关系时，利用正弦
定理是非常重要的处理手段.
1.正弦定理的特点
（1）分式连等形式,各边对应各角,分子均为边长,分母均为角的正弦值;
（2）正弦定理对任意三角形都成立;
（3）正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系,是
边和角的和谐统一.
2.正弦定理的适用范围
（1）正弦定理给出了任意三角形中三条边及其对应角的正弦之间的
对应关系;
（2）正弦定理实现了三角形中边角关系的转化.
3.应用正弦定理解决两类三角形问题的疑难点
（1）利用正弦定理，可以解决以下两类三角形的问题：
①已知两角和一边，求第三个角和其他两边；
②已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两角.
（2）对于第一类问题,其解是唯一确定的,一般先由三角形的内角和
为 求得第三个角,再利用正弦定理求其他两边;对于第二类问题,
其解不一定唯一,由于三角形的形状不能唯一确定,因而会出现两解、
一解或无解三种情况.
1.解决已知两角及一边类型问题的解题方法是:
（1）若所给边是已知角的对边,则先由正弦定理求另一已知角的对边,
再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边;
（2）若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个
角,再由正弦定理求另外两边.
[解析] 因为 ，所以 ，
所以最大的边为,
由正弦定理得,即,所以 .
例1 在中， ， ， ，则此三角形的最
大边的长为_____.
2.应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形.
例2 （多选题）已知的内角，，的对边分别为,, ,则下
列说法正确的是( )
A.若 ，，，则 有一解
B.若 ，，，则 无解
C.若 ，，，则 有两解
D.若 ，，则 有两解
√
√
[解析] 对于A，由得,此时三角形显然不存在，
即 无解，故A错误；
对于B，由正弦定理得,则 ,显然角B不存在，
所以 无解，故B正确；
对于C，由正弦定理得,所以，因为,所以,
所以 或 ，所以有两解，故C正确；
对于D，若 ，,则为等边三角形，
所以 有一解,故D错误.故选 .
3.正弦定理与三角恒等变换结合的综合问题.
例3 在中，内角，，所对的边分别是，， ，若
，求 的取值范围.
解： .
由正弦定理得 ，
因为，所以解得 ,
所以 ，所以,所以，
所以 的取值范围是 .11.2　正弦定理
第1课时　正弦定理
【课前预习】
知识点一
1.正弦　　
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)正弦定理适用于任意三角形.
(2)由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
(3)根据正弦定理,在一个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比等于该三角形的外接圆直径,其值是一个定值.
知识点二
1.(1)其他两边和一角　(2)另一边的对角
诊断分析
2　[解析] ∵a=3,b=5,sin A=,∴根据=,得=,解得sin B=.∵b>a,∴B的值有2个,即满足条件的三角形有2个.
知识点三
1.水平线上方　水平线下方
【课中探究】
探究点一
例1　解:根据三角形内角和定理,得A=180°-(60°+75°)=45°,
根据正弦定理,得b===4.
变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)因为A=,B=,所以C=π--=,由正弦定理可得c===3.故选C.
(2)由cos C=,可得sin C=,由=,得c===.故选D.
探究点二
例2　解:∵=,∴sin C===,∴C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,b===+1;当C=120°时,B=15°,b===-1.综上,b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
变式　解:由=,得sin A==,∴A=或A=.∵c>a,∴C>A,∴A=,∴B=π--=,
∴b===+1.
拓展　AC　[解析] 对于A,由正弦定理得=,即=,所以sin C=,因为0°a,所以C=45°或C=135°,三角形有两解,故A正确;对于B,由正弦定理得sin B===>1,三角形无解,故B错误;对于C,由正弦定理得
sin B===>1,三角形无解,故C正确;对于D,由正弦定理得
sin B===<,又b探究点三
例3　解:在△ABC中,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,
根据正弦定理得=,
即=,
所以AC==.
在Rt△ACD中,CD=ACsin β=.
变式　B　[解析] 如图,由题意知AB=32×=16(n mile),∠BAS=45°,∠ASB=30°,由正弦定理得=,解得BS=16 n mile.故选B.
例4　证明:由正弦定理知,在△ABD中,=,
在△ADC中,=,因为∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,
所以sin∠ADB=sin∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC,所以=.
变式　证明:在△ACD中,∵∠ADC=,∴∠DAC<,
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC=,
∴∠BAC>,∴sin∠BAC>.
在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,∴AC·sin∠BAC=BC,
∴BC>AC,∴AC第1课时　正弦定理
【学习目标】
　　1.了解利用向量和三角形边角关系推导正弦定理的过程.
　　2.掌握正弦定理及其变形的结构特征和功能,并能用正弦定理解决三角形中边、角等问题.
　　3.能用正弦定理解决简单的实际应用问题并证明平面几何的相关结论.
◆ 知识点一　正弦定理
1.正弦定理
文字语言 三角形的各边与它所对角的　　　　的比相等
符号语言 =　　　　=　　　　
2.正弦定理的常见变形(其中R为△ABC外接圆的半径)
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)====2R;
(3)=,=,=;
(4)sin A=,sin B=,sin C=;
(5)A【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形. (　 )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. (　 )
(3)在某个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值是一个定值. (　 )
◆ 知识点二　利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题:
(1)已知两角和任一边,求　　　　　　;
(2)已知两边和其中一边的对角,求　　　　　　(从而进一步求出其他的边和角).
2.在△ABC中,已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况如下:
A为锐角 A为钝角或直角
图 形
关系 式 ①a=bsin A 且ab a≤b
解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解
【诊断分析】 在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则满足条件的三角形有　　　　个.
◆ 知识点三　正弦定理在实际生活中的应用
1.仰角与俯角
名称 定义 图形说明
仰角与 俯角 在同一铅垂面内,视线在　　　　　　时与水平线的夹角叫仰角,视线在　　　　　　时与水平线的夹角叫俯角
2.两点中一点不可到达
如图,可选取与点A同侧的点C,测出AC以及∠BAC和∠BCA,先应用内角和定理求出
∠ABC,再利用正弦定理求出AB.
◆ 探究点一　已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求b的值.
变式 (1)在△ABC中,a=3,A=,B=,则c= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.
C.3 D.
(2)[2024·安徽宿州高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,A=,cos C=,则c= (　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
正弦定理实际上是三个等式:=;=;=.每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
◆ 探究点二　已知两边及一边的对角解三角形
例2 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
变式 在△ABC中,若c=,C=,a=2,求A,B,b.
[素养小结]
已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.
拓展 (多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对△ABC的解的情况判断正确的是 (　 )
A.当a=2,c=4,A=30°时,有两解
B.当a=5,b=7,A=60°时,有一解
C.当a=,b=4,A=30°时,无解
D.当a=6,b=4,A=60°时,有两解
◆ 探究点三　正弦定理的应用
角度1　正弦定理的实际应用
例3 如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得点A的俯角为β,已知BC=h,求山高CD.
变式 [2024·南通高一期中] 一艘船以32 n mile/h的速度从A处向正北方向航行,从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上,30 min后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上,则灯塔S与B处之间的距离为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.8 n mile B.16 n mile
C.16 n mile D.16 n mile
角度2　利用正弦定理证明平面几何中的结论
例4 在△ABC中,AD平分∠BAC,点D在边BC上,用正弦定理证明:=.
变式 如图所示,四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的,已知∠BAD=∠ABC=,∠ADC=,求证:AC[素养小结]
(1)测量高度的两类问题:
①底部可到达,此类问题可直接构造直角三角形进行求解;
②底部不可到达,但仍在同一铅垂直内,此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,观测者一直向“目标物”前进.
(2)处理以多边形和圆为代表的基本几何图形的关系时,利用正弦定理是非常重要的处理手段.11.2　正弦定理
第1课时　正弦定理
一、选择题
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A∶sin B=2∶3,则a∶b= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3∶2 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶4
2.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC= (　 )
A.4 B.2
C. D.
3.[2024·扬州一中高一月考] 在△ABC中,BC=8,A=60°,则△ABC的外接圆的面积为 (　 )
A. B.64π
C. D.256π
4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2asin B=b,则A= (　 )
A. B.
C. D.
5.已知在△ABC中,AB=2,AC=2,C=,则B= (　 )
A. B.
C.或 D.
6.[2024·海安高一期中] 已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A船沿北偏东30°的方向航行,B船沿正北方向航行.若A船的航行速度为40 n mile/h,1 h后,测得A船位于B船的北偏东45°方向上,则此时A,B两船的距离是 (　 )
A.20 n mile B.20 n mile
C.20 n mile D.20 n mile
7.[2024·如皋高一期中] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足条件A=,c=2的△ABC有两个,则a的取值范围为 (　 )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.[1,2) D.(1,2]
8.(多选题)[2024·广东云浮高一期末] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,A=,则 (　 )
A.c=3
B.sin B=
C.sin C=
D.△ABC的外接圆的面积为3π
9.(多选题)[2024·江苏无锡高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若A=30°,a=1,b=4,则△ABC无解
B.若A>B,则sin A>sin B
C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a=2,A=30°,则△ABC的外接圆半径是4
二、填空题
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a=2b,则=　　　　.
11.小明在整理笔记时发现有一道题的部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知b=2,A=,求c.显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c只有一解,则a的取值范围为　　　　　.
12.在△ABC中,B=120°,AB=4,D在BC边上,AD平分∠BAC,且AD=2,则AC=　　　　.
三、解答题
13.在△ABC中,已知a=4,c=2,A=45°,求b,B和C.
14.在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2.
(1)求角C的大小;
(2)若C为锐角,求a.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cos A,cos B),n=(a,c-b),若m∥n,则角A的大小为 (　 )
A. B.
C. D.
16.如图,一艘船在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在船的东北方向,船的速度为30 n mile/h,0.5 h后在B处望见灯塔在船的北偏东30°方向上,当船行至D处望见灯塔在船的西北方向时,求A,D两点之间的距离(精确到0.1 n mile).11.2　正弦定理
第1课时　正弦定理
1.B　[解析] 由=,可得==.故选B.
2.B　[解析] 由正弦定理得=,所以AC===2.故选B.
3.A　[解析] 由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r===,所以△ABC的外接圆的面积S=πr2=π=.故选A.
4.A　[解析] 因为2asin B=b,所以由正弦定理可得2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.故选A.
5.C　[解析] 由正弦定理得=,即=,解得sin B=,又06.A　[解析] 如图所示,由题意可知∠ABC=135°,∠BCA=30°,AC=40×1=40(n mile),由正弦定理可知=,即=,可得AB==20(n mile).故选A.
7.A　[解析] 在△ABC中,由正弦定理得=,则sin C===,由满足条件A=,c=2的△ABC有两个,得8.AC　[解析] 对于A,由a2=b2+c2-2bccos A=4+c2-2×2ccos=7,得c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去),故A正确.对于B,C,因为==,所以==,解得
sin B=,sin C=,故B错误,C正确.对于D,设△ABC的外接圆的半径为R,因为=2R,所以R=,则△ABC的外接圆的面积为πR2=,故D错误.故选AC.
9.AB　[解析] 对于A,由正弦定理得=,则sin B=2,显然角B不存在,故A正确;对于B,由A>B,得a>b,根据正弦定理可得sin A>sin B,故B正确;对于C,由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径),又acos A=bcos B,
所以2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B,可得sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误;对于D,设△ABC的外接圆半径是R,则根据正弦定理可得2R===4,解得R=2,故D错误.故选AB.
10.-　[解析] 依题意得=,由正弦定理得==2-1=2×-1=-.
11.{2}∪[2,+∞)　[解析] 由正弦定理得=,则 =,所以sin B=.因为A=,所以012.4　[解析] 在△ABD中,B=120°,AB=4,AD=2,由正弦定理得=,所以sin∠ADB=,可得∠ADB=45°,所以∠BAC=2×(180°-120°-45°)=30°,所以C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形,所以BC=4,所以AC==4.
13.解:由正弦定理得=,
∴sin C===,
∵C∈(0°,180°),且c>a,即C>A,∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,∴sin B=,由=,得b==2(+1);
当C=120°时,B=15°,∴sin B=,由=,得b==2(-1).
综上,b=2(+1),B=75°,C=60°或b=2(-1),B=15°,C=120°.
14.解:(1)由正弦定理得=,即=,
所以sin C=,
又c>b,所以C>B,所以C=45°或C=135°.
(2)因为C为锐角,所以C=45°,
所以A=180°-45°-30°=105°,sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°
=×+×=,由正弦定理得=,即=,解得a=+1.
15.D　[解析] 因为m∥n,所以cos A·(c-b)=acos B,由正弦定理得cos A(sin C-
sin B)=sin Acos B,即sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即sin Ccos A
=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,因为00,所以cos A=1,所以cos A=,又016.解:在△ABC中,AB=30×0.5=15(n mile),∠CAB=45°,∠ABC=120°,所以∠ACB=15°,
由正弦定理得=,所以AC===(n mile).
在△ACD中,∠CAD=45°,∠CDA=45°,所以∠ACD=90°,所以AD==45+15≈71.0(n mile).
所以A,D两点之间的距离约为71.0 n mile.

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