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(共52张PPT)
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
探究点一 测量两个不可到达的点之间的
距离
探究点二 测量角度问题
探究点三 正余弦定理在物理学中的应用
探究点四 正余弦定理在平面图形中的应用
【学习目标】
1.能运用解三角形知识解决简单的测量问题.
2.能用解三角形的知识解决物理与平面几何知识.
3.强化正余弦定理的应用.
知识点一 测量不可到达的两点间距离的方法
测量都不可到达的两点间距离的方法
图形 ________________________________
方法 先用正弦定理,再用余弦定理
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知三角形的三个角，能够求其三条边.( )
×
[解析] 解一个三角形，至少要知道这个三角形的一条边的长.
（2）两个不可到达的点之间的距离无法求得.( )
×
[解析] 两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个
点来量出相应的角度和距离求得.
2.如何测量地面上两个不能到达的两点之间的距离？
解：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，
把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形
的边长问题，
然后把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点
之间的距离问题.
如图所示，不可到达的，是地面上两点，要测量， 两点之间
的距离，一般步骤是：
（1）取基线 ；
（2）测量，，， ，
；
（3）分别在和 中，利用正弦定
理求得和 ；
（4）在中，利用余弦定理求得 .
知识点二 与测量高度有关的概念
1.水平距离、垂直距离、坡面距离
如图,代表__________， 代表________
___， 代表__________.
水平距离
垂直距离
坡面距离
2.坡度、坡角
如图，坡面的___________和__________的
比叫作坡度（或叫作坡比），用字母 表示，
即.坡度一般写成 的形式，
如.坡面与水平面的夹角 叫作坡角，坡角与坡度
之间有如下关系：_____________.
铅直高度
水平距离
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）坡面与水平面的夹角叫作坡角.( )
√
[解析] 由坡角的定义可知正确.
（2）坡面的水平距离与坡面的铅直高度之比叫作坡比.( )
×
[解析] 坡比是坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比.
探究点一 测量两个不可到达的点之间的距离
例1 如图，隔河看两目标， ，但不能到
达，在岸边选取相距的， 两点，并
测得 ， ，
，（，，，
在同一平面内），求两目标， 之间的距离.
解：在中， ， ，
， .
在 中， ，
由正弦定理，得 .
在 中，由余弦定理，得
，
，故两目标，之间的距离为 .
变式（1） 如图，一名学生在河岸紧靠岸边
笔直行走，开始在 处，经观察，在河的对
岸有一参照物，与学生前进方向成
角，学生前进后到达点，测得 与
前进方向成 角.①点与参照物 间的距
离为____________；②河的宽度为______________ .
[解析] ①由已知，得 ，
.
在中，由正弦定理，得 ，
所以 ，
即点与参照物间的距离为 .
②河的宽度为 .
（2）如图，为了测量两座山峰上， 两点之间
的距离，选择山坡上一段长度为 且和
，两点在同一平面内的路段 的两个端点作
为观测点，现测得
，则， 两点间
的距离为_____ .
900
[解析] ， ， .
在 中， ， ，
又 ， .
由正弦定理，得，.
在 中，可得
，
又 ，是等边三角形，
，，两点间的距离为 .
［素养小结］
求可视不可达的两点间的距离时，如要求图中河
彼岸两点， 间的距离：可先在此岸一侧选取两
点，，测出，， ，
，，再在中求出，在
中求出，最后在中，由余弦定理求出 .
探究点二 测量角度问题
例2 某货船在索马里海域航行时遭海盗袭击，
发出求救信号，如图，我国海军护航舰在 处
获悉后，立即测出该货船在方位角为 ，距
离为10海里的 处，并测得货船正沿方位角为
的方向，以10海里/时的速度行驶，海军
护航舰立即以 海里/时的速度，沿直线行
驶前去营救，求海军护航舰航行的方位角和追
上货船所需的时间.
解：如图，设海军护航舰在 处追上货船，
所需的时间为小时，
则 海里， 海里.
在中， ，
根据余弦定理得
，
即
追上货船所需的时间为1小时.
海里，海里，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以海军护航舰航行的方位角为 .
变式 如图，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的
处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在
其南偏西 ，相距20海里的 处的乙船，乙船立刻沿北偏东 的
方向前往处救援，求 的值.
解：在中，由题知 海里，海里， ，
由余弦定理得， 海里，
由正弦定理得 ，
,
，
.
［素养小结］
测量角度问题需要注意3个问题：
①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;
②求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值;
③在解应用题时,要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际
问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正、
余弦定理综合使用的优点.
探究点三 正余弦定理在物理学中的应用
例3 在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，
失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向北偏东 的方向刮
去，风速是，水向正东方向流去，流速是 .若不考虑
其他因素，求救生艇在洪水中漂行的速度.
解：如图所示，由题意知四边形 为菱形，， ， ，
由余弦定理知 ，所以，
又 ，
所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向为
北偏东 , 大小为 .
变式 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的
垂直弹射高度：如图， ，，三地位于同一水平面上，在 处进行
该仪器的垂直弹射，观测点， 两地相距100米， ，
在地听到弹射声音的时间比在地晚秒，
在地测得该仪器弹至最高点时的仰角为 .
求该仪器的垂直弹射高度 （声音的传播速度
为340米/秒）．
解：由题意，设 米，则（米）.
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 .
在中，米， ，
所以 （米），
故该仪器的垂直弹射高度为 米．
［素养小结］
应用解三角形知识解决实际问题的步骤：
（1）分析题意，准确理解题意；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
（3）将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、
余弦定理等有关知识正确求解；
（4）检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正
确答案．
探究点四 正余弦定理在平面图形中的应用
例4 如图，为拓展旅游业务，现准备在湖边建造一个观景台 ，已知
射线，为湖两边夹角为 的公路（长度均超过2千米），在
两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，
建造两条观光线路，，测得千米， 千米.
（1）求线段 的长度；
解：在 中，由余弦定理得
，所以 千米.
（2）若 ，求两条观光线路与 之和的最大值.
解：设 ，因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 .
因为，
所以 千米，
千米，
所以
，
又 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值，·
故两条观光线路与之和的最大值为 千米.
变式 [2024·南京中华中学高一期中] 如图，，，， 四个小岛
在同一个圆上，小岛与小岛、小岛都相距5海里，小岛 与小岛
相距海里，为钝角，且 .
（1）求小岛与小岛 之间的距离；
解：，且 为钝角， .
在 中，
由余弦定理可得 ，
即，
，
解得或（舍去），
小岛与小岛 之间的距离为2海里.
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积.
解：，，， 四点共圆， ，
， .
在 中，由余弦定理得
，
即 ，
，解得 （舍去）或 ，
，
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
［素养小结］
（1）依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方
程思想在解三角形中的体现．
（2）①三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；
②数形结合、等价转化等思想．
1.关于基线的问题
（1）测量时一定要选用基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解
三角形,至少应已知一边的长度;
（2）基线越长,测量的精确度越高.
2.解三角形的应用问题一般有以下题型:
（1）距离问题,如求一个可到达点与一个不可到达点之间的距离,或
两个不可到达点之间的距离;
（2）高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题,一般的
解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形.
3.余弦、正弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中
在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学
模型的解.
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解.
4.解三角形应用题常见的几种情况
（1）实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形
中,可用正弦定理或余弦定理解之.
（2）实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个
三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解.
（3）实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知
条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.
1.解决求一个可到达点与一个不可到达点之间的距离问题,转化为应
用正弦定理求三角形的边长问题即可.
例1 如图所示,设,两点在河的两岸,一测量者在
所在的河岸边选定一点,测出， 之间的距离为
, , ,则, 两点之间
的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知 ,由正弦定理得 ,
.
2.在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常根据题意从实际
问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形得出实际问
题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
例2 如图所示，有两个兴趣小组同时
测量一个小区内的假山高度，已知该
小区每层楼高 ．
（1）兴趣小组1借助测角仪进行测量，在与山底在同一水平面上
的 点（一楼）测得山顶的仰角为 ，在六楼点（点在 点
正上方）处测得山顶的俯角为 ，
求假山的高度（精确到 ）；
解：由题意可知， ， ， ，
则 ， ，
在 中，由正弦定理得，即 ,
所以 .
因为
， ，
所以 ，
故假山的高度约为 .
（2）兴趣小组2借助测距仪进行测量，
可测得， ，
求假山的高度 ．附： ．
解：由题可知，在 中，
根据余弦定理可得
，
则 ，
所以在中， ，
故假山的高度为 ．
3.航海问题:解决航海问题主要是在三角形内利用正弦定理和余弦定
理求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出角或边.
例3 某海域的东西方向上分别有， 两个观
测点（如图），它们相距 海里.现有一艘
轮船在点发出求救信号，经探测得知 点位
于点北偏东 方向上，点北偏西 方
向上，这时位于点南偏西 方向上且与
点相距80海里的 点有一艘救援船，其航行速度为35海里/时.
（1）求，两点间的距离 ；
解：由题意知， 海里，
，
，
所以 .
在中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 （海里）.
（2）若命令处的救援船立即前往 点营救（救援船沿直线航行），
求该救援船到达 点需要的时间.
解：在中， ，海里，
海里，
由余弦定理可得
，
所以海里，
又 ，所以救援船到达 点需要的时间为2小时.11.3　余弦定理、正弦定理的应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)解一个三角形,至少要知道这个三角形的一条边的长.
(2)两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个点来量出相应的角度和距离求得.
2.解:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形的边长问题,然后把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.如图所示,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距离,一般步骤是:
(1)取基线CD;
(2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA;
(3)分别在△ACD和△BCD中,利用正弦定理求得AC和BC;
(4)在△ABC中,利用余弦定理求得AB.
知识点二
1.水平距离　垂直距离　坡面距离
2.铅直高度h　水平距离l　i==tan α
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)由坡角的定义可知正确.
(2)坡比是坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比.
【课中探究】
探究点一
例1　解:在△ACD中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD= km.
在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°,
由正弦定理,得BC==(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=()2+-2××cos 75°=5,∴AB= km,故两目标A,B之间的距离为 km.
变式　(1)①100(+1)　②50(+1)　(2)900
[解析] (1)①由已知,得∠ABC=105°,∠ACB=180°-30°-105°=45°.在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC==100(+1)(m),即点A与参照物C间的距离为100(+1)m.
②河的宽度为ACsin 30°=100(+1)×=50(+1)(m).
(2)∵∠PAB=90°,∠PAQ=60°,∴∠BAQ=30°.在△ABQ中,∵∠PBA=∠PBQ=60°,∴∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,∴∠AQB=180°-120°-30°=30°.由正弦定理,得=,∴AQ=900.在Rt△ABP中,可得AP=ABtan 60°=900.∴AQ=AP=900,又∠PAQ=60°,∴△APQ是等边三角形,∴PQ=900,∴P,Q两点间的距离为900 m.
探究点二
例2　解:如图,设海军护航舰在B处追上货船,所需的时间为t小时,则AB=10t海里,CB=10t海里.
在△ABC中,∠ACB=120°,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去),所以海军护航舰追上货船所需的时间为1小时.AB=10海里,BC=10海里,在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin∠CAB===,所以∠CAB=30°,所以海军护航舰航行的方位角为75°.
变式　解:在△CBA中,由题知AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=402+202-2×40×20×cos 120°=2800,∴BC=20海里,
由正弦定理得=,∴sin ∠ACB=,
∴cos∠ACB==,
∴cos θ=cos(30°+∠ACB)=×-×=.
探究点三
例3　解:如图所示,由题意知四边形OACB为菱形,||=20 km/h,||=20 km/h,∠OAC=120°,由余弦定理知||2=202+202-2×20×20×cos 120°=1200,所以||=20 km/h,又∠COA=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东60°,大小为20 km/h.
变式　解:由题意,设AC=x米,则BC=x-×340=x-40(米).在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+AC2-2BA·AC·cos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.
在Rt△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°,
所以CH=AC·tan∠CAH=140(米),
故该仪器的垂直弹射高度CH为140米.
探究点四
例4　解:(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=22+22-2×2×2×=12,
所以MN=2千米.
(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α,在△PMN中,由正弦定理得==.因为==4,所以PM=4sin(120°-α)千米,PN=4sin α千米,所以PM+PN=4sin(120°-α)+4sin α=4+4sin α=6sin α+2cos α=4sin(α+30°),
又0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°,
所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取得最大值,
故两条观光线路PM与PN之和的最大值为4千米.
变式　解:(1)∵sin∠BAD=,且∠BAD为钝角,
∴cos∠BAD=-=-.
在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2AD×AB×cos∠BAD,即(3)2=AD2+52-2AD×5×,∴AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),∴小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
(2)∵A,B,C,D四点共圆,∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴sin∠BCD=,cos∠BCD=cos(180°-∠BAD)=-cos∠BAD=.
在△BDC中,由余弦定理得CD2+CB2-2CD·CB·cos∠BCD=BD2,即CD2+52-2CD×5×=(3)2,
∴CD2-8CD-20=0,解得CD=-2(舍去)或CD=10,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sin ∠BAD+CB·CD·sin∠BCD
=×5×2×+×5×10×=3+15=18,∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.11.3　余弦定理、正弦定理的应用
1.D　[解析] 由已知得BC=AC=4 m,∠ACB=120°,所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=42+42-2×4×4×cos 120°=48,所以AB=4 m.
2.D　[解析] 由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°.因为∠BCD=60°,所以
∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°的方向上.
3.A　[解析] ∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠ABC=180°-105°-45°=30°.在△ABC中,由正弦定理得=,∴AB===50(m).
4.C　[解析] 如图所示,设山高为AB,塔高为CD,四边形ABEC为矩形.设CD=x m,由题意得 tan 30°===,∴BE=(200-x)m,tan 60°===,∴BE= m,∴=(200-x),∴x=,故选C.
5.D　[解析] 设该建筑物的高度PO=h m,则易知OA=h m,OB=h m.在△AOB中,由余弦定理得402=(h)2+h2-2×h×h×cos 30°,可得h=40.故选D.
6.A　[解析] 如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,B=45°,由正弦定理得=,∴BC===60,∴船与灯塔的距离为60 km.故选A.
7.D　[解析] 在△BCD中,∠BDC=60°+30°=90°,∠BCD=45°,∴∠CBD=90°-45°=45°,∴BD=CD=40,∴BC==40.在△ACD中,∠ADC=30°,
∠ACD=60°+45°=105°,∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理,得AC==20.在△ABC中,由余弦定理,
得AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠BCA=(40)2+(20)2-2×40×20×cos 60°=2400,∴AB=20,即A,B两点间的距离为20米.
8.AB　[解析] 由题知AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得3=x2+9-2×3×x×cos 30°,解得x=或x=2.故选AB.
9.37.3 m　[解析] 设CM=x,在Rt△ACE中,tan 30°==,则AE=(x-10).在Rt△ADE中,tan 45°==,则AE=x+10,故x+10=(x-10),解得x==5(4+2)≈37.3,故这朵云距湖面的高度CM约为37.3 m.
10.4　[解析] 如图,在平行四边形OABC中,表示水流的速度,表示船的速度,∠AOC=120°,表示船的实际速度.在△OAB中,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2·OA·AB·cos 60°=22+42-2×2×4×=12,∴OB=2,∴该船的实际速度为2 km/h.经过2 h,该船实际航程为2×2=4(km).
11.300　[解析] 如图,由题知△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.在△BCD中,由余弦定理可得cos 2θ==,∴2θ=30°,则4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin 4θ=200×=300(m),∴该山峰的高度为300 m.
12.解:设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得cos β==-,∴sin β=,
∴sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60°cos β=×+×=.
在△ACD中,由正弦定理得=,∴AD==15,∴此人再走15千米才可到达城A.
13.解:(1)在△BCD中,由余弦定理可知cos C===,
所以sin C==,所以S△BCD=CD·BC·sin C=×100×200×=1875,即烧烤区的面积为1875平方米.
(2)由S△BCD=CD·BC·sin C=×100×200×sin C=9600,解得sin C=,
因为C是钝角,所以cos C=-,
所以BD==60,
故需要修建60米的隔离防护栏.
(3)S△BCD=BC·CD·sin C≤BC·CD=10 000,
当且仅当C=时取等号,此时BD=100.
设∠ABD=α,α∈,当烧烤区的面积最大时,
在△ABD中,===,
解得AD=sin α,AB=sin,
花卉观赏区的面积为S△ABD=AD·AB·sin A=sin αsin
=sin α==
,
因为α∈,所以2α-∈,
故当2α-=0,即α=时,cos取得最大值1,
所以S△ABD≤×=12 500,
当且仅当α=时取等号,此时AB=AD=100,
故修建观赏步道时应使AB=AD=100米,C=.11.3　余弦定理、正弦定理的应用
【学习目标】
　　1.能运用解三角形知识解决简单的测量问题.
　　2.能用解三角形的知识解决物理与平面几何知识.
　　3.强化正余弦定理的应用.
◆ 知识点一　测量不可到达的两点间距离的方法
测量都不可到达的两点间距离的方法
图形
方法 先用正弦定理,再用余弦定理
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边. (　 )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得. (　 )
2.如何测量地面上两个不能到达的两点之间的距离
◆ 知识点二　与测量高度有关的概念
1.水平距离、垂直距离、坡面距离
如图,BC代表　　　　　,AC代表　　　　　,AB代表　　　　　.
2.坡度、坡角
如图,坡面的　　　　和　　　　　的比叫作坡度(或叫作坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成h∶l的形式,如i=1∶4.
坡面与水平面的夹角α叫作坡角,坡角与坡度之间有如下关系:　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)坡面与水平面的夹角叫作坡角. (　 )
(2)坡面的水平距离与坡面的铅直高度之比叫作坡比. (　 )
◆ 探究点一　测量两个不可到达的点之间的距离
例1 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,AC与学生前进方向成30°角,学生前进200 m后到达点B,测得BC与前进方向成75°角.①点A与参照物C间的距离为　　　　m;②河的宽度为　　　　 m.
(2)如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　m.
[素养小结]
求可视不可达的两点间的距离时,如要求图中河彼岸两点A,B间的距离:可先在此岸一侧选取两点C,D,测出CD=m,∠ACB,∠ACD,∠BDC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后在△ABC中,由余弦定理求出AB.
◆ 探究点二　测量角度问题
例2 某货船在索马里海域航行时遭海盗袭击,发出求救信号,如图,我国海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测得货船正沿方位角为105°的方向,以10海里/时的速度行驶,海军护航舰立即以10海里/时的速度,沿直线行驶前去营救,求海军护航舰航行的方位角和追上货船所需的时间.
变式 如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,乙船立刻沿北偏东θ的方向前往B处救援,求cos θ的值.
[素养小结]
测量角度问题需要注意3个问题:
①测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义;
②求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值;
③在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点.
◆ 探究点三　正余弦定理在物理学中的应用
例3 在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向北偏东30°的方向刮去,风速是20 km/h,水向正东方向流去,流速是20 km/h.若不考虑其他因素,求救生艇在洪水中漂行的速度.
变式 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:如图,A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒,在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒).
[素养小结]
应用解三角形知识解决实际问题的步骤:
(1)分析题意,准确理解题意;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解;
(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.
◆ 探究点四　正余弦定理在平面图形中的应用
例4 如图,为拓展旅游业务,现准备在湖边建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湖两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
变式 [2024·南京中华中学高一期中] 如图,A,B,C,D四个小岛在同一个圆上,小岛B与小岛A、小岛C都相距5海里,小岛B与小岛D相距3海里,∠BAD为钝角,且sin ∠BAD=.
(1)求小岛A与小岛D之间的距离;
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积.
[素养小结]
(1)依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用,也是函数与方程思想在解三角形中的体现.
(2)①三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法;②数形结合、等价转化等思想.11.3　余弦定理、正弦定理的应用
一、选择题
1.学校体育馆的“人字形”屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为 (　 )
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
2.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C南偏西40°的方向上,灯塔B在观察站C南偏东60°的方向上,则灯塔A在灯塔B (　 )
A.北偏东10°的方向上
B.北偏西10°的方向上
C.南偏东80°的方向上
D.南偏西80°的方向上
3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为 (　 )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
4.在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为 (　 )
A. m B.100 m
C. m D.90 m
5.如图,有一建筑物OP,为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB,若在点A处测得点P的仰角为30°,在点B处测得点P的仰角为45°,且∠AOB=30°,则该建筑物的高度为 (　 )
A.20 m B.20 m
C.20 m D.40 m
6.一艘船以15 km/h的速度向正东方向行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°方向上,这时船与灯塔的距离为 (　 )
A.60 km B.60 km
C.30 km D.30 km
7.如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点间的距离是 (　 )
A.20米 B.20米
C.40米 D.20米
8.(多选题)某人从点A向正东方向走x km后到达B点,向右转150°,然后朝新方向走3 km后到达C点,结果他离出发点A恰好是 km,那么x的值为 (　 )
A. B.2
C.2 D.3
二、填空题
9.如图,在湖面上高为10 m的A处测得天空中一朵云C的仰角为30°,测得湖中之影D的俯角为45°,则这朵云距湖面的高度CM约为　　　　.(≈1.732,结果精确到0.1 m)
10.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知水流的速度为2 km/h,则经过2 h,该船实际航程为　　　　km.
11.在某个位置测得某山峰的仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m后测得山峰的仰角为2θ,继续在地面上前进200 m后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为　　　　m.
三、解答题
12.如图,某观测站在城A南偏西20°方向上的C处,由城A出发的一条公路的走向是南偏东40°,在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,此人再走多少千米才可到达城A
13.[2024·江苏连云港高一期中] 在某公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地, 如图所示.考虑到露营客人娱乐休闲的需求,在四边形ABCD区域中,将三角形ABD区域设立成花卉观赏区,三角形BCD区域设立成烧烤区,沿AB,BC,CD,DA修建观赏步道,沿BD修建隔离防护栏,其中CD=100米,BC=200米,A=.
(1)若BD=150米,求烧烤区的面积.
(2)如果烧烤区是一个面积为9600平方米的钝角三角形,那么需要修建多长的隔离防护栏
(3)考虑到烧烤区的安全性,在规划四边形ABCD区域时,首先保证烧烤区的面积最大,再使花卉观赏区的面积尽可能大,则应如何设计观赏步道

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