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12.3 复数的几何意义
探究点一 复数与复平面内的点
探究点二 复数的模
探究点三 复数加、减法的几何意义
【学习目标】
1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、
复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念,理解
复数模的概念.
2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单
数学问题.
知识点一 复平面的定义
如图所示,点的横坐标为,纵坐标为 ,我们把
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作
________,轴叫作______, 轴叫作______.实
轴上的点都表示______;除原点外,虚轴上的点
都表示纯虚数.
复平面
实轴
虚轴
实数
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )
√
（2）在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上.( )
√
（3）在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数.( )
√
（4）在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
×
（5）在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限内.( )
×
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 复平面内的点对应的复数是 ,是纯虚数.
√
知识点二 复数的几何意义
（1）复数的几何意义:复数
、复平面内的点
_______和平面向量____之间的关系
可用图表示.
（2）向量 的____叫作复数__________的模（或绝对值）,
记作或.如果，那么 就是实数___，它的模
等于____（即实数的绝对值）.由模的定义可知
_________，可以表示点 到原点的距离.
模
【诊断分析】
复数与复平面内的向量怎样建立对应关系
解：当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,从而可与该终
点对应的复数建立一一对应关系.
知识点三 复数加（减）法的几何意义
（1）
1.如图（1）所示,设向量, 分别与复数
,对应，且,
不共线，以, 为两条邻边画平行四边形
,则对角线 所表示的向量____就是
与复数_________________对应的向量.这就是
复数加法的几何意义，即若 ,
，则 .
__________________________，故
____________________. 这表明：两个复数的差的模就是复平面内与这
两个复数对应的两点间的______.
（2）
2.如图（2）所示,若向量,分别与复数, 对
应，则它们的差 对应着向量___________，
即向量.如果作，那么点 对应的复
数就是________.这就是复数减法的几何意义.
设,，，，， ，则
距离
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个复数求和时,可以利用向量的平行四边形法则.( )
√
（2）对复数减法的几何意义的理解：设复数, 在复平面内对应的
点分别为,,则表示与 两点间的距离.( )
√
探究点一 复数与复平面内的点
例1（1） 已知在复平面内，是坐标原点，复数 对应的点
是，如果点与点关于虚轴对称，点与点 关于原点对称，分
别求与 对应的复数.
解：由题意知，与关于虚轴对称，，
与 关于原点对称， ,
， ，
，对应的复数分别为， .
（2）当实数 满足什么条件时,复数
在复平面内对应的点:①在虚轴上;②在第二象限;③在直线 上.
解：①复数的实部为 ,
虚部为 .由复数在复平面内对应的点在虚轴上,
得 ,解得或 .
②由复数在复平面内对应的点在第二象限,得 即
.
③由复数在复平面内对应的点在直线 上,得
, .
变式（1） 在复平面内,将复数对应的向量绕原点 按逆时针
方向旋转得到向量,那么 对应的复数是____.
[解析] 由题意得,则.
将绕原点 按逆时针方向旋转得到向量,
则点在虚轴上,且 ,
所以,所以对应的复数是 .
（2）当实数 满足什么条件时,复数
在复平面内对应的点：①位于第四象限；②位于实轴的负半轴上.
解：①由题意得即 .
②由题意得即 .
［素养小结］
（1）由复数集中的数与复平面内的点的一一对应关系，知每一个复
数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对
所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值.
（2）由复平面内适合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是
根据对应关系，列出方程（组）或不等式（组）求解．
探究点二 复数的模
例2（1） 求复数, 的模，并比较它们的模
的大小.
解： ,，
所以 .
（2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限.若 的实部与虚部
之和为7，且，求 .
解：依题意可设 ，
因为的实部与虚部之和为7，且，
所以 解得故 .
（3）求满足条件的复数 在复平面内表示的图形.
解：复数在复平面内对应的点 的集合构成的图形是半径为2的圆与
半径为3的圆之间的部分，包含半径为2的圆周，不包含半径为3的圆
周，如图所示.
变式（1）[2024·南京六校联合体高一期末]若，则 ( )
A. B.3 C. D.5
[解析] 方法一：因为
，所以 .故选C.
方法二： .故选C.
√
（2）若复数的共轭复数的模等于,则实数 的值
为_______.
或
[解析] 方法一:由题意得,
, ,
两边同时平方得 ,
,或 .
方法二:, ,两边同时平方得
,,或 .
（3）[2024·浙江重点中学四校高一期末] 若，则
的最大值为___.
3
[解析] 令且，，因为，所以 在复
平面上对应的点与复数对应的点 间的距离为1，
所以复数对应的点在以 为圆心，1为半径的圆上，
又 表示圆上的点到原点的距离，而圆心到原点的距离
为，所以的最大值为 .
［素养小结］
一般地，欲求一个复数的模，通常先设出复数的代数形式
，然后利用已知条件列出关于， 的方程组，解出
， ，即求得复数，最后代入公式计算.
探究点三 复数加、减法的几何意义
例3 如图所示，在复平面内，平行四边形
的顶点，， 分别对应复数0，
， .求：
（1） 对应的复数；
解：因为，所以 对应的复数为
.
（2） 对应的复数；
解：因为，所以 对应的复数
为 .
（3） 对应的复数.
解：因为，所以 对应的复
数为 .
变式 已知复数在复平面内对应的点在直线上，且复数
为实数.
（1）求复数 ；
解： 复数在复平面内对应的点在直线 上，
设 ，
为实
数，，解得 ，
或 .
（2）设，，在复平面内对应的点分别为，，，若点 在
第二象限，求 的面积.
解： 点在第二象限，，故 ，
，则， ，
则，的长为2，点到的距离 ，
.
［素养小结］
（1）根据复数的几何意义可知，复数的加、减运算可以转化为点的
坐标运算或向量的加、减运算；
（2）复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应
用提供了可能.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的
问题，将复数与点及向量加以转化可有助于问题的解决.
解：由复数模的几何意义及 可
知在复平面内对应的点在以 为圆心，1
为半径的圆上，
而表示复数 在复平面内对应的点到原点的距离，
由图可知， .
拓展 [2024·菏泽一中高一月考] 设是复数且 ，求
的最小值.
1.根据复数的几何意义,复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算
或向量的加、减法运算,复数的加、减运算用向量进行时,同样满足平
行四边形法则和三角形法则.
2.复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提
供了可能,对于一些比较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问题,
将复数转化为点或向量有助于问题的解决.
3.设, ,则
的几何意义为复平面内复数对应的点到复数 对应的点的
距离;
②在复平面内，中所对应的点为以复数 所对应
的点为圆心, 为半径的圆上的点.
4.复数与平行四边形的关系
在复平面内,,对应的点分别为,,对应的点为, 为坐标
原点,则四边形 为平行四边形.
若,则四边形 为矩形;
若,则四边形 为菱形;
若且,则四边形 为正方形.
1.复数模的几何意义
例1 设,则满足下列条件的复数 在复平面内对应的点的集合是
什么图形
（1） ;
解：满足的复数在复平面内对应的点的集合是以 为
圆心,1为半径的圆.
（2） .
解：, 复数在复平面内对应的点到 和
的距离相等,即复数在复平面内对应的点的集合是以 和
为端点的线段的中垂线.
例2 在复平面内,的三个顶点所对应的复数分别为,, ,复数
满足,则对应的点是 的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
[解析] 设复数在复平面内对应的点为,由 的三个顶点所对应
的复数分别为,,及,可知点 到
的三个顶点的距离相等,
由三角形外心的定义,可知点 为 的外心,故选A.
√
例3 已知,,求证: .
证明:设复平面上的点,分别是复数, 所对应的点,则向量,
分别是复数,所对应的向量,其中 为坐标原点,
, .
当,不共线时,如图所示,以, 为邻边
作平行四边形，则 ,
向量是复数 所对应的向量,
.
在 中,由“三角形两边之和大于第三边”和 “三角形两边之差小于第
三边”可得,
,
,
.
当,共线且方向相同,即且 时, .
当,共线且方向相反,即且 时, .
综上所述, .
2.复数的模在乘、除法中的应用
例4 已知复数,是的共轭复数,则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一:
,, .
方法二:, , .
√
例5 [2024·江苏泰州兴化期中]已知，若 ，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，则，解得 .故选A.
√12.3　复数的几何意义
【课前预习】
知识点一
复平面　实轴　虚轴　实数
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　[解析] 复平面内的点(0,-2)对应的复数是-2i,是纯虚数.
知识点二
(1)Z(a,b)　　(2)模　z=a+bi　a　|a|　
诊断分析
解:当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.
知识点三
1.　(a+c)+(b+d)i
2.-　z1-z2　z1-z2=(a-c)+(b-d)i　　距离
诊断分析
(1)√　(2)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由题意知Z(2,1),∵Z1与Z关于虚轴对称,∴Z1(-2,1),∵Z2与Z关于原点对称,∴Z2(-2,-1),
∴=(-2,1),=(-2,-1),
∴,对应的复数分别为-2+i,-2-i.
(2)复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
①由复数z在复平面内对应的点在虚轴上,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
②由复数z在复平面内对应的点在第二象限,得即∴-1③由复数z在复平面内对应的点在直线y=x上,得m2-m-2=m2-3m+2,∴m=2.
变式　(1)i　[解析] 由题意得=(1,1),则||=.将绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,则点M1在虚轴上,且||=,所以=(0,),所以对应的复数是i.
(2)解:①由题意得即
∴-7②由题意得即
∴m=4.
探究点二
例2　解:(1)|z1|==10,
|z2|==,所以|z1|>|z2|.
(2)依题意可设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因为z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,所以解得故z=12-5i.
(3)复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆与半径为3的圆之间的部分,包含半径为2的圆周,不包含半径为3的圆周,如图所示.
变式　(1)C　(2)或-1　(3)3
[解析] (1)方法一:因为z=====-1+2i,所以|z|==.故选C.
方法二:|z|====.故选C.
(2)方法一:由题意得=(a+2)+2ai,∵||=,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
方法二:∵|z|=||,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
(3)令z=x+yi且x,y∈R,因为|z++i|=1,所以z在复平面上对应的点Z与复数--i对应的点(-,-1)间的距离为1,所以复数z对应的点Z在以(-,-1)为圆心,1为半径的圆上,又|z|=表示圆上的点到原点的距离,而圆心到原点的距离为=2,所以|z|的最大值为2+1=3.
探究点三
例3　解:(1)因为=-,所以对应的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+,所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
变式　解:(1)∵复数z在复平面内对应的点在直线y=-x上,
∴设z=a-ai(a∈R),
∵z+=a-ai+=a-ai+=+i为实数,∴-a=0,解得a=±1,
∴z=1-i或z=-1+i.
(2)∵点A在第二象限,∴z=-1+i,故A(-1,1),z2=(-1+i)2=-2i,则B(0,-2),i·z=i·(-1+i)=-1-i,则C(-1,-1),∴AC的长为2,点B到AC的距离d=1,
∴S△ABC=×2×1=1.
拓展　解:由复数模的几何意义及|z-1+2i|=1可知z在复平面内对应的点在以(1,-2)为圆心,1为半径的圆上,而|z|表示复数z在复平面内对应的点到原点的距离,
由图可知,|z|min=-1=-1.12.3　复数的几何意义
1.B　[解析] z=-3+2i在复平面内对应的点的坐标为(-3,2),该点位于第二象限.故选B.
2.B　[解析] z====-,则|z|==.故选B.
3.C　[解析] 由题意得A,则B,所以向量对应的复数为--i,所以向量对应的复数的共轭复数为-+i,故选C.
4.A　[解析] 复数z=1+i的共轭复数为=1-i,它们在复平面内对应的点的坐标分别为(1,)与(1,-),而点(1,)与点(1,-)关于实轴对称,故选A.
5.A　[解析] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2,知=2,解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+i.
6.C　[解析] (1+i)2=2i,故A(0,2),由题得B(3,4),C(-1,m),则=-=(3,2),=(-1,m),因为⊥,所以-3+2m=0,解得m=.故选C.
7.B　[解析] 因为|z|-|z0|≤|z-z0|=,所以|z|-≤,所以|z|≤2,所以|z|的最大值为2.故选B.
8.ACD　[解析] 因为z=i+3i2=-3+i,所以=-3-i,故A正确;z·i=(-3+i)·i=-1-3i,故B错误;z=-3+i在复平面内对应的点为(-3,1),位于第二象限,故C正确;|z+2|=|-1+i|=,故D正确.故选ACD.
9.BC　[解析] 对于A,因为z2=2+i9=2+i2×4+1=2+i,所以=(2+i)2=3+4i,故A错误;对于B,因为|z2|==,|z1|=3,所以|z1z2|=|z1||z2|=3,故B正确;对于C,设z1=x+yi(x,y∈R),则z1-z2=x+yi-(2+i)=(x-2)+(y-1)i,又|z1|=3,所以z1在复平面内对应的点(x,y)在以(0,0)为圆心,3为半径的圆上,又|z1-z2|=表示点(x,y)与点(2,1)间的距离,点(2,1)与点(0,0)间的距离为=,所以|z1-z2|=≤+3,故C正确;对于D,设复平面内z1对应的向量为,z2对应的向量为,因为|z1+z2|=4,即|+|=4,所以(+)2=+2·+=32+2·+()2=16,所以2·=2,所以(-)2=-2·+=32-2+()2=12,所以|-|=2,即|z1-z2|=2,故D错误.故选BC.
10.-1-3i　[解析] 由题意可知,z1=-2-i,z2=1+i,则z1·z2=(-2-i)(1+i)=-2-i-2i-i2=-1-3i.
11.4π　[解析] 由题可知z在复平面内对应的点所构成的图形为半径为2和2的两个同心圆所围成的圆环,其面积为π×[(2)2-22]=4π.
12.4-2i　[解析] 设B(a,b)(a,b∈R),由题知A(2,1),=(1,2),故(2-a,1-b)=(1,2),解得a=1,b=-1,故B(1,-1).设C(x,y)(x,y∈R),由题知=(3,-1),故(x-1,y+1)=(3,-1),解得x=4,y=-2,则点C对应的复数为4-2i.
13.解:(1)∵A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,
∴A(1,0),B(2,1),C(-1,2),
∴=(1,1),=(-2,2),=(-3,1),∴向量,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)设D(x,y),则=(x-1,y),又=,∴(x-1,y)=(-3,1),∴x=-2,y=1,
故点D对应的复数为-2+i.
14.解:(1)复数z1=1-ai,z2=3-4i,则z1+z2=4+(-a-4)i,由z1+z2是实数,得-a-4=0,解得a=-4,
则z1=1+4i,因此z1·z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.
(2)=(1-ai)2=1-a2-2ai在复平面内对应的点为(1-a2,-2a),因为(1-a2,-2a)在第二象限,所以解得a<-1,
所以实数a的取值范围是(-∞,-1).
(3)|z-z2|=1表示复平面内复数z对应的点Z与复数z2对应的点Z2(3,-4)间的距离为1,
因此点Z在以点Z2(3,-4)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示点Z到原点O的距离,|OZ2|==5>1,所以|OZ|min=|OZ2|-1=4,
所以|z|的最小值是4.
15.[4-2,4+2]　[解析] 设复数2+2i在复平面内对应的点为Z1,则Z1(2,2).因为|z-2-2i|≤2,即||≤2,所以点Z在以Z1(2,2)为圆心,2为半径的圆内(包括边界),因为=(1,1),=(2,2),即=2,所以O,A,Z1三点共线,且||=2||=2.设在方向上的投影向量为a,则|a|∈[2-2,2+2],则·=|||a|=|a|∈[4-2,4+2],所以·的取值范围为[4-2,4+2].
16.解:设2z1,3z2对应的点分别为Z'1,Z'2,则四边形OZ'1ZZ'2为平行四边形,
如图,设平行四边形OZ'1ZZ'2的面积为S0,
则△Z1Z2O的面积S=×S0=,所以S0=12S,
则=×S0=S0,=×S0=S0,
故△Z1Z2Z的面积为+-S=S0-S0=S0=4S.12.3　复数的几何意义
【学习目标】
　　1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念,理解复数模的概念.
　　2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单数学问题.
◆ 知识点一　复平面的定义
如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作　　　　,x轴叫作　　　　,y轴叫作　　　　.实轴上的点都表示　　　　;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上. (　 )
(2)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上. (　 )
(3)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数. (　 )
(4)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. (　 )
(5)在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限内.(　 )
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知识点二　复数的几何意义
(1)复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点　　　　和平面向量　　　　之间的关系可用图表示.
(2)向量=(a,b)的　　　　叫作复数　　　　的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi就是实数　　　　,它的模等于　　　　(即实数a的绝对值).由模的定义可知|z|=|a+bi|=　　　　,可以表示点Z(a,b)到原点的距离.
【诊断分析】 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系
◆ 知识点三　复数加(减)法的几何意义
1.如图(1)所示,设向量,分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,且,不共线,以,为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ所表示的向量　　　　就是与复数　　　　　　对应的向量.这就是复数加法的几何意义,即若=(a,b),=(c,d),则=+=(a+c,b+d).
2.如图(2)所示,若向量,分别与复数z1,z2对应,则它们的差z1-z2对应着向量　　　　,即向量.如果作=,那么点Z对应的复数就是　　　　.这就是复数减法的几何意义.
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则　　　　　　　　,故|z1-z2|=||=||=　　　　　　.这表明:两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个复数求和时,可以利用向量的平行四边形法则. (　 )
(2)对复数减法的几何意义的理解:设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|表示Z1与Z2两点间的距离. (　 )
◆ 探究点一　复数与复平面内的点
例1 (1)已知在复平面内,O是坐标原点,复数z=2+i对应的点是Z,如果点Z1与点Z关于虚轴对称,点Z2与点Z关于原点对称,分别求与对应的复数.
(2)当实数m满足什么条件时,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点:①在虚轴上;②在第二象限;③在直线y=x上.
变式 (1)在复平面内,将复数1+i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,那么对应的复数是　　　　.
(2)当实数m满足什么条件时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:①位于第四象限;②位于实轴的负半轴上.
[素养小结]
(1)由复数集中的数与复平面内的点的一一对应关系,知每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值.
(2)由复平面内适合某种条件的点的集合求参数的取值时,通常是根据对应关系,列出方程(组)或不等式(组)求解.
◆ 探究点二　复数的模
例2 (1)求复数z1=6+8i,z2=--i的模,并比较它们的模的大小.
(2)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z.
(3)求满足条件2≤|z|<3的复数z在复平面内表示的图形.
变式 (1)[2024·南京六校联合体高一期末] 若z=,则|z|= (　 )
A. B.3
C. D.5
(2)若复数z=(a+2)-2ai的共轭复数的模等于,则实数a的值为　　　　.
(3)[2024·浙江重点中学四校高一期末] 若|z++i|=1,则|z|的最大值为　　　　.
[素养小结]
一般地,欲求一个复数的模,通常先设出复数的代数形式a+bi(a,b∈R),然后利用已知条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,即求得复数,最后代入公式计算.
◆ 探究点三　复数加、减法的几何意义
例3 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数;
(3)对应的复数.
变式 已知复数z在复平面内对应的点在直线y=-x上,且复数z+为实数.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,i·z在复平面内对应的点分别为A,B,C,若点A在第二象限,求△ABC的面积.
[素养小结]
(1)根据复数的几何意义可知,复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量的加、减运算;
(2)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问题,将复数与点及向量加以转化可有助于问题的解决.
拓展 [2024·菏泽一中高一月考] 设z是复数且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值.12.3　复数的几何意义
一、选择题
1.设z=-3+2i,则z在复平面内对应的点位于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2024·江苏苏州期中] 设i为虚数单位,复数z=,则|z|= (　 )
A. B.
C. D.2
3.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为-i,其中i为虚数单位.若点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数的共轭复数为 (　 )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
4.在复平面内,复数z=1+i和其共轭复数对应的点关于 (　 )
A.实轴对称
B.第一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称
D.第二、四象限的角平分线对称
5.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于 (　 )
A.-1+i
B.1+i
C.-1+i或1+i
D.-2+i
6.[2024·重庆八中月考] 在复平面内,O为坐标原点,复数(1+i)2对应的点为A,复数3+4i对应的点为B,复数-1+mi对应的点为C,若⊥,则实数m的值为 (　 )
A. B.- C. D.-
7.已知复数z,z0满足|z-z0|=,|z0|=,则|z|的最大值为 (　 )
A. B.2
C.4 D.3
8.(多选题)[2024·江苏南京秦淮中学月考] 设复数z=i+3i2(i为虚数单位),则下列结论正确的是 (　 )
A.z的共轭复数为-3-i
B.z·i=1-3i
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.|z+2|=
9.(多选题)[2024·江苏徐州期末] 已知z1,z2∈C,|z1|=3,z2=2+i9,则下列说法正确的是 (　 )
A.为纯虚数
B.|z1z2|=3
C.|z1-z2|的最大值为3+
D.若|z1+z2|=4,则|z1-z2|=2
二、填空题
10.[2024·湖南长沙一中月考] 在复平面内,复数z1和z2对应的点分别为A,B,则z1·z2=　　　　.
11.已知复数z满足2≤|z|≤2,则z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为　　　　.
12.已知在复平面内有三个点A,B,C,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C对应的复数为　　　　.
三、解答题
13.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,对应的复数;
(2)若四边形ABCD为平行四边形,求点D对应的复数.
14.[2024·江苏连云港新海高级中学期中] 设复数z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.
(1)若z1+z2是实数,求z1·z2;
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,求实数a的取值范围;
(3)若复数z满足|z-z2|=1,求|z|的最小值.
15.[2024·江苏南通海安实验中学期中] 已知复数z在复平面内对应的点为Z,且满足|z-2-2i|≤2,O为原点,A(1,1),则·的取值范围为　　　　.
16.在复平面中,O为坐标原点,Z1,Z2,Z所对应的复数分别为z1,z2,z,且z=2z1+3z2,△Z1Z2O的面积为S,求△Z1Z2Z的面积.

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