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第五节 专题:函数求值域问题方法汇总
方法技巧总结
在高中阶段求函数值域的方法总结起来大概有观察法、单调性法、图像法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法（有局限性）、平方法、反函数法、均值不等式、利用函数有界性、数形结合、导数法.现阶段由于知识储备有限,我们只对常见重点方法做研究,其他方法在后面的学习中介绍.
单调性法求值域
如果一个函数为单调函数,则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域).
1.若函数在区间上单调递增,
则,.
2.若函数在区间上单调递减,
则,.
单调性法是求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域.
【典例 1】求下列函数的值域:
（1） ,;
（2）,;
（3）,;
（4）,;
【练习 2】（2024·全国）函数在的值域为________.
【练习 3】（2024·全国）函数的值域为 .
【练习 4】已知,则函数的值域为__________.
图像法求值域
作出函数的图象,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域,图像法一般针对分段函数求值域问题,在之前我们也已经学习过分段函数图像得画法.重点在于分类讨论．
【典例 5】画出下列函数图像,求下列函数的值域:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
【变式 6】对,用表示, 中的较大者,记为,若函数,则的最小值为 .
【练习 7】函数,
用表示中的较大者,记为,则的最小值为（ ）
A. B.0 C.1 D.4
【练习 8】已知函数,,其中表示不超过的最大整数,例, .则函数的值域是 .
配方法求值域
型如型或可转化为二次型的函数,用此种方法,注意自变量的范围.
【典例 9】求函数在上的值域.
【变式 10】求函数的值域.
【练习 11】求函数在上的值域.
换元法求值域
此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域,换元后要注意新元的取值范围,换元法求函数值域,其实质是等价转换的思想方法.
【典例 12】求下列函数的值域:
（1）;
（2）
（3）;
（4）
【练习 13】函数的最大值为（ ）
A.8 B. C.2 D.4
【练习 14】求函数的值域 .
【练习 15】已知函数的值域为,则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
分离常数法求值域
主要用于分式函数,以为例,解题步骤如下:
第一步:用分子配凑出分母的形式,将函数变形成的形式,
第二步:求出函数在定义域范围内的值域,进而求出的值域.
【典例 16】求下列函数的值域.
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
【变式 17】求函数在的值域.
【变式 18】求函数的值域.
判别式法求值域
判别式法:主要用于含有二次的分式函数,形如:
将函数式化成关于x的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数y的取值范围,即得函数的值域.应用判别式法时必须考虑原函数的定义域,并且注意变形过程中的等价性.运用此方法需要注意的易错点很多,故不介意将此方法作为主要方法,此种形式还可使用分离常数法解法.
【典例 19】求函数的值域.
【变式 20】求函数的值域.
【练习 21】求函数的值域.
【练习 22】求函数的值域.
（作为了解即可）
【练习 23】求函数的值域.（作为了解即可）第五节 专题:函数求值域问题方法汇总
方法技巧总结
2 2 5
【1】（1） , ;（2） ,3 ;（3） 0,4
3 9

2
;（4） 3,4 3, x 2
（2） y x 1 x 2 2x 1, 1 x 2 ,画出函数图像,如图所示:
2
解析:（1）当 1 x 3时 f (x) 为增函 3, x 1
3x
2 2
数, f
2
min f (1) , fmax f (3)
2
,值域为 , 3 9 .3 9
（2）因为 f (x)
1
2 在 0,1 上单调递减,所以当 x 1时取最小值为x 1
f (1) 1 5 2 .当 x 0 时取最大值为 f (0)
1
2 3 ,所以函数
1 1 2 0 1
根据图像知,函数值域为
5
3,3 .
f x 在此区间上的值域为 ,32 . （3）由题意得:
2x 1, x 1
（3） f x x2 2x 1 2x 1 ,知 x 0,1 ,函数单调递减,当 x 1,3 y x 1 x 2 3, 1 x 2

时,函数单调递增,故 x 1 时, ymin 0 , x 3 时, ymax 4 ,即 f x 0,4 . 2x 1, x 2
x24 x 4（ ）设 f x 1 x 3 ,则 f x 4 x 1
图像如图所示:
1 x 3 ,
x x
f x 在区间 1,2 上单调递减;在区间 2,3 上单调递增. f 2 3
f 1 4, f 3 10 ,所以 f x 得值域为 3,4 3

【2】 2 2 ,
11
3
解析:因为 f x 在 1, 2 单调递减,在 2 ,3 单调递增, 所以函数的值域为 [3， )
2
故 f x f 2 2 2 11 x 2x,x 1,0 ,又 f 1 3, f 3 2 min ,3 （4）因为 y x 2 x 2 ,其图像如图所示, x 2x,x 0,3
11 故 f x 11 ,故 f x 的值域为 2 2 , . 由图知,当 x= 1或 x 1 时, y 有最小值为 1 ,max 3 3
当 x 3 时, y 有最大值为 3 ,所以函数的值域为 1,3 ,故答案
【3】 10，5

为: 1,3 .
3 x 0
解析:因为 ,所以 2 x 3 ,所以此函数的定义域为 2，3 2x 4 0
,

又因为 y 3 x 2x 4 是减函数,
当 x 2时y 3 x 2x 4取得最大值 5，
当 x 3时y 3 x 2x 4取得最小值 10，
所以值域为 10 5
【6】 1，
解析:当 x 3 x 1 2 ,即 x2 x 2 0 ,
25
【4】 8, 2 即 1 x 2 时, M x x 3 ,
2
x2 2x 1 x2 2x 1 4x 4 4 当当 x 3 x 1 , x2 x 2 0 ,
解析:由 y
x 1 x 1
即 x 2 或 x 1
2
时, M x x 1 ,
2x 1 4 x 1 4 x 4 1 4 , x 3,x 1,2 x 1 x 1 所以 M x 2 ,
4 4 x 1 ,x , 1 2,
当 x 1 时, y 2 (x 1) 4 8 ,当且仅当 x 1 ,即 (x 1)2 4

,
x 1 x 1 函数图象如图所示:
即 x 3 时,等号成立.（或通过对勾函数性质得到最小值）
根据“双勾函数”模型,函数在 (1,3) 单调递减;在 (3, ) 单调递增,所以
3 3 25
在 ,32 单调递减;在
3,4 单调递增,又 x 时, y , x 4 时, 2 2
25 3 25 25 y .所以当 x 4 时,函数的值域为 8, ,故答案为: 8, .3 2 2 2
【5】（1） [ 1, ) ;（2） 3,3 ;（3） [3， ) ;（4） 1,3 . 由图可得,函数 M x 在 , 1 , 1,2 上递减,在 2, 上递增,
详解:
所以 M x M 2 2 3 1min .故答案为: 1 .

2x 2, x
3
【7】B
（1） y= 2x 3 1 2 定义域为 R ,值域为 [ 1, ) .图像3 解析:令 f x g x ,可得 x 1 (x 1)2 ,即 x2 x 0 ,解得 1≤ x≤0 ;
4 2x, x 2 令 f x g x ,可得 x 1 (x 1)2 ,即 x2 x 0 ,解得 x 1或 x 0 .
如图所示:
x 1, 1 x 0
所以 M x 2 .
x 1 , x 1或x 0
作出 M x 的图象如图所示:
{#{QQABAQYlwwq4gAZACJ6aR0UMC0mQsIKTLSoOBRCcOAQCCBNABCA=}#}
5
函数的值域为 ,2

4 .
【13】A
解析:设 t 3 x ,则 t 0 ,即 x 3 t 2 ,
所以 y f t 2 3 t 2 2 4t 2 t 1 8 ,
因为 t 0 ,所以当 t 1M x 时,函数取得最大值为 8 .故选:A由图象可得 的最小值为 0.故选:B.
【14】 ( ,5]
【8】 [0,1)
解析:令 1 x u,u 0 ,则 y x 4 1 x u2 4u 1 (u 2)2 5 ,
解析:当 1 x 0 时, [x] 1 ,所以 f (x) x 1 ,
u 2 2
当 0 x 1 时, [x] 0 ,所以 f (x) x 当 时, (u 2) 5 取到最大值 5,无最小值,,
当 1 x 2 时, [x] 1 ,所以 f (x) x 1 , 故 y x 4 1 x 的值域为 ( ,5] .
x 1, 1 x 0 【15】C
1 3 1 1
综上 f (x) x,0 x 1 ; 解析: f x , 1 2 f x 2 ,则 1 2 f x 2 ,

x 1,1 x 2
2 8 4 2
2
f (x)图象如图所示: 令 t 1 2 f x 1 t 22 ,则 f x
1 t
,
2
h t 1 t
2
t 1 t2 t 1 1 则 g x 转化为 t 22 2 2 , 2
开口向下,对称轴为 t 1 ,
1 1 1 1 7
所以 h t 的最大值为 h 1 1 ,最小值为 h
2 8 2 2 8
,
函数 f x 的值域是 [0,1) . 7
所以 g x 的值域为 ,18 .故选:C
【9】 0,
1
2

5 5
【16】（1） , , ;（2） , 3 3, 0,1
1 4 4
;（3） ;
2
解析:由 x2 2x 3 x 1 2 2 ,则 f x 的值域为 0, 2 ,故答案 1
（4） ,13 1
为: 0,
2
.
5 4x 2 7
0, 3 解析:（1）【10】 f (x)
5x 1 4 2 5 7 ,
4x 2 4x 2 4 2 4x 2
解析:令 x x2 2x 2 2,则 0 x x2 2x 2 x 1 3 3 , 7 5 7 5
4x 2 0 , 0 f (x)

2
0, 3 4x 2
, 4 2 4x 2 4 ,
所以 0 f x 3 .故答案为: .
5x 1 5 5
【11】 f (x) , , 2,4 即 的值域为 .4x 2 4 4
解析:由题意得: 3 2x x2 0 1 x 3 .因 3 2x x2 2x 1 4 , 2 3x
（2） f x 定义域为 ,1 1, ,
函数 g x x 1 2 4 在 1,1 上单调递增,在 1,3
x 1
上单调递减,则
f x 2 3x
3 x 1 1
3 1g x 在 1,3 上的最大值为 g 1 4 ,最小值为 g 1 g 3 0 .即 x 1 x 1 x 1
3 2x x2 0,4 3 2x x
2 0,2 . x 1 1因为 0 ,所以 0
1
,即 3 3 ,
x 1 x 1
则 f x 4 3 2x x 2 2,4 .故答案为: 2,4 .
2 3x所以 f x 的值域为 , 3 3, .
【12】（1） ,1 ;（2） [ 2,
5 x 1
) ;（3） ,9 ;（4） ,2 4 2
（3） f x x 1 2 1 2 ,又 x2 0 ,
解析:（1）由题意,函数 f x x 2 x 的定义域为 0, , x 1 x 1
1 1
令 t x ,则 t 0 , x t2 ,函数 f x 转化为 g t t2 2t , t 0 , 则 x2 1 1 , 0 2 1 , 0 1 x 1 x2 1 , 1
2
∵ g t t 2 2t t 1 1 ,对称轴为 t 1 2,最大值为 g 1 1 , 综上所述,故函数 f x x 2 的值域为: 0,1 .故答案为: 0,1 .
∴当 t 0时, g t 1,即 g t x 1值域为 ,1 ,
2 x2 x 1 x
∴函数 f x x 2 x 的值域是 ,1 . （4） f x
x 2x 1 1 x x2

x 1 x2 x 1 x2 x 1
故答案为: ,1 . 当 x 0 时, f x 1
1 3 x 1
（2）设 2x 3 t , t 0 ,则 x t 2 ,
2 2 当 x 0 时, x2
1 1
x 1 x 1 1 ,根据对勾函数 x 2或 x 2
2 x
x x
所以 y
1
t2 t 3 1 t 1 2 2 , t 1等号成立
2 2 2 0 1 1 1 1 0
所以函数 f (x) x 2x 3 的值域为 [ 2, ) .故答案为: [ 2, ) . 所以 x 1 1 3 或 x 1 1 ,
x x
（3）令 t 8 x3 ,则 t 0, x3 8 t2 .
2 1 1
1 4 0 1 1 1
设函数 g t 8 t 2 2t t 1 9 ,当 t 1时, g t 取最大值 9. 即 x 1 1 3 或 x 1 1 ,
x x
因为 t 0 ,所以 g t 9 .函数 f x 的值域为 ,9 . 4
2x2 2x 1 2 1 所以 f x 的值域为 0,1 1,
（4） f (x) 2 , 3
x2 x x2
f x 1 f x 1 0,
4
设 t ,则 0 t
1
又因为当 x 0 时, ,综上函数 值域为:,则 3
x 2
1 5 【17】 3,4
y t 2 2t 2 (t 1)2 1 , ymax f (0) 2, ymin f
2 4
, 2
f x 3x 3x 4 f x 3 1解析:由
x2
可得 ,
x 1 x2 x 1
{#{QQABAQYlwwq4gAZACJ6aR0UMC0mQsIKTLSoOBRCcOAQCCBNABCA=}#}
由于函数 g x x2 x 1在 x 1, 2上的值域为 1, ,所以 x 1错解分析:本题结果是错误的,其原因是函数 y 2 的分子,分母x 2x 3
0 1 1 2 1 ,故 f x 3 2 3,4 x x 1 x x 1 有公因式 x 1 ,
(x 1)(x 1) x 1【18】 ,2 2,3 3, 事实上,函数是 y (x 1)(x 3)(x 1) x 3 .
f x 3x
2 2x 1
解析:函数 的定义域为 x | x 12 , y 1 1 1x 1 函数值域为 的实数.即为 y∣y R , y 1且 y 1 .
1 3 2 2
2 23x 2x 1 3 x 1 2 x 1 f x 3 2 , 当然啦，此题也可用分离常数法来解.
x2 1 x2 1 x 1
由于 x 1
2
,所以 0
2
,且 1 3
2 2
,所以 3 且 3 2 ,
x 1 x 1 x 1 x 1
3x2 2x 1
所以函数 f x 的值域为 ,2 2,3 3,
x2
.
1
【19】 0,5
解析:将函数化为 2yx2 4yx (3y 5) 0
① y=0 时,方程不成立;
② y 0时,由 0 得 (4y)2 4 2y(3y 5) 0 ,解得: 0 y 5
综上: 0 y 5 ,所以函数的值域为 0,5 .
3 1
【20】 , 2 2
解析:由题知函数的定义域为 R ,
2
y x x 1所以,将 整理得 1 y x2 x y 1 02 ,x 1
所以,当 y 1时, x 0 ;
2
y 1 Δ 1 4 y 1 0 y 3 , 1 1 当 时, ,解得 2 1, , y 1

2
y 3 , 1 f x x
2 x 1 3 1
综上, ,即函数 的值域是 ,
2 2 x2 1 2 2


2,10 【21】
3
2x2 2x 3
解析:由 y 22 得 (y 2)x (2 y)x y 3 0,x x 1
当 y 2时, y 3 0 ,即 y 3（不成立） y 2
当 y 2 时, (2 y)2 4(y 2)(y 3) 0 得 2 y
10
.
3

所以函数的值域为 2,
10
3 .

【22】 0,
3
4


y 3x解析:错解:由 得 yx22 (y 3)x 2y 0 .若 y 0得 x 0 ,x x 2
这样的 x 存在, 所以 y 0 .
当 y 0 ,则 (y 3)2 4y 2y 0 ,
3 6 2 3 6 2
即 y 且 y 0 .
7 7
3 6 2 3 6 2
函数的值域为 , .
7 7
y 3x正解:由 2 得 yx
2 (y 3)x 2y 0 .
x x 2
若 y 0 ,得 x 0 ,这样的 x 存在, 所以 y 0 .
若 y 0 ,则方程 yx2 (y 3)x 2y 0 在 0,1 有解;
因为两根之积为 2 ,所以在 0,1 上只有一解,
另一解必大于 1,数形结合知 f (0) f (1) 0 ,故 2y(y y 3 2y) 0 ,
3 3
0 y .所以函数的值域为
4
0, .
4
当然啦，此题也可用基本不等式法来解.
1
【23】 y∣y R , y 1且 y 2 .
解析:错解:原式可化为 (y 1)x2 2yx 3y 1 0 .
若 y 1 ,则方程即为 2x 2 0 ,
x 1 , 但函数分母不为 0,故解得 x 1,x 3 , y 1不存在.
若 y 1 , 则令 ( 2y)2 4(y 1)( 3y 1) 0 ,得 4y2 4y 1 0, y R .
故函数的值域为 y∣y R ,且 y 1 .
{#{QQABAQYlwwq4gAZACJ6aR0UMC0mQsIKTLSoOBRCcOAQCCBNABCA=}#}

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