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15.2 随机事件的概率
第1课时 古典概型
探究点一 古典概型的判定
探究点二 古典概型的概率
探究点三 求复杂事件的古典概型
【学习目标】
1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率.
2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养.
知识点一 概率的基本性质
1.将事件记为，用表示事件发生的概率，则 满足
.
2.对于必然事件 和不可能事件 ，显然， .
知识点二 古典概型
1.等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件
发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.
2.古典概型
如果一个随机试验满足：
（1）样本空间 只含有________样本点；
有限个
（2）每个基本事件的发生都是________的.
那么我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
等可能
3.古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间，， ，（其中， 为
样本点的个数），那么每一个基本事件 发生的概
率都是.如果事件由其中个等可能基本事件组合而成，即 中包
含个样本点，那么事件发生的概率为，其中
表示事件 包含的样本点个数.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛两枚质地均匀的硬币（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），出现的样本点有
“两正面”“两反面”“一个正面、一个反面”共3个.( )
×
（2）古典概型的概率公式中，为事件 包含的样本点个
数，为样本空间 包含的样本点个数.( )
√
探究点一 古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别
于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
（1）把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型
解：是古典概型,因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性
相等,所以是古典概型.
（2）把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样
本点建立的概率模型是不是古典概型
解：把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得1个白球”“取得1
个红球”“取得1个黄球”3个样本点.
样本点个数有限,但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或
“取得1个黄球”的可能性不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
变式 下列概率模型，其中属于古典概型的是( )
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任
取一点
B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环， ，10环
C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D.一只使用中的灯泡寿命长短
√
[解析] 对于A，在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数
的所有点有无限多个，不满足有限性，故A不属于古典概型；
对于B，某射手射击一次，命中0环，1环，2环， ，10环的概率不
一定相同，不满足等可能性，故B不属于古典概型；
对于C，某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲，满足
有限性，且任选一人与性别无关，是等可能的，故C属于古典概型；
对于D，一只使用中的灯泡寿命长短不满足等可能性，故D不属于
古典概型.故选C.
［素养小结］
判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等
可能性.
探究点二 古典概型的概率
例2 将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件 为“两数之和为
8”,事件为“两数之和是3的倍数”,事件 为“两个数均为偶数”.
（1）写出该试验的样本空间 ,并求事件 发生的概率;
解：将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,
该试验的样本空间,,,,,, ,
, ,,,,,,,,,, ,
, ,,,,,,,,,, ,
, ,,, ,共包含36个样本点.
事件包含的样本点有,,,, ,共5个,
所以事件发生的概率 .
（2）求事件 发生的概率;
解：事件包含的样本点有,,,,,, ,
,,,, ,共12个，
所以事件发生的概率 .
（3）求事件与事件 至少有一个发生的概率.
解：事件与事件至少有一个发生包含的样本点有,, ,
,,,,,,, ,共11个，
所以事件与事件至少有一个发生的概率 .
变式 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个.
（1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
解：记3个红球分别为1，2，3，2个白球分别为4，5.
在有放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一
次摸球的每种可能结果，第二次摸球时都有5种等可能的结果，将两
次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果，如表1所示.
表1
第一 次 第二次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
由表可知，第一次摸到白球的可能结果有10种，
记事件为 “第一次摸到白球”，则 .
（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
解：在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一
次摸球的每种可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两
次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示.
表2
第一 次 第二次 1 2 3 4 5
1 ×
2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
由表可知，第二次摸到白球的可能结果有8种.
记事件为 “第二次摸到白球”，则 .
（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率.
解：“同时摸出2个球”的样本空间,,,, ,
,,,, ，共包含10个样本点，
其中至少摸到一个白球包含的样本点有,,,, ,
, ，共7个.
记事件为 “至少摸到一个白球”，则 .
［素养小结］
1.求古典概型的基本方法：
首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母 表示所求事
件;其次,求出样本空间 包含的样本点的个数及事件 包含的样本
点的个数;最后,利用公式,求出事件 发生的概率.
2.求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，可以用平面直角
坐标系中的点表示，也可以采用数形结合法用图表表示，使解决问
题变得更为直观.
探究点三 求复杂事件的古典概型
例3 [2024·江苏南通期末] 某班学生日睡眠时间（单位： ）的频率
分布表如下：
分组
频数 4 20
频率 0.4 0.12
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
解：该班共有学生 （人），
所以, ，
所以该班学生的平均日睡眠时间为
.
（2）用分层抽样的方法，从该班日睡眠时间在和 内的
学生中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人
的日睡眠时间在 内的概率.
解：由（1）知，该班日睡眠时间在和内的频率比为 ，
用分层抽样的方法，应分别从日睡眠时间在和 内的两组
学生中抽取2人，3人.
记抽取的日睡眠时间在内的2人分别为, ，抽取的日睡眠时间
在内的3人分别为,, ，
设“2人中至少有1人的日睡眠时间在内”为事件 ，
由题知，从抽取的5人中随机抽取2人，样本空间, ,
,,，,,,, ，共包含10个样本点，
,,,,，, ，共包含7个样本点，
所以事件发生的概率 .
故抽取的2人中至少有1人的日睡眠时间在内的概率为 .
变式 [2024· 嘉兴期末] 数学多选题评分标准如下：若某试题有两
个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该
试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选
对得6分，有错选得0分.小明同学正在做一道数学多选题（多选题每
题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能
的），请帮助小明求解以下问题：
（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可
以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；
解：该试验的样本空间，B，C，D，，，， ，
,,，,，共包含14个样本点，
记事件 为小明得6分，则事件包含的样本点个数为1，
所以 ，故小明得6分的概率为 .
（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中
有A选项，且A必选）的情况下，求小明的得分大于或等于4的概率.
解：该试验的样本空间，，，，，， ，
共包含7个样本点，
不妨设正确答案为，记事件 为小明的得分大于或等于4，
则,, ，共包含3个样本点，所以 ，
故小明的得分大于或等于4的概率为 .
［素养小结］
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,
则在每次抽取之前，对象种类及数量都不发生变化,因此某元素被抽
到的概率也不变;若是“不放回抽取”（假设每次抽取的结果都可知）,
则在每次抽取之前,对象种类及数量都在发生变化，因此某元素被抽
到的概率也在不断变化.
1.对古典概型的理解
必须同时具备有限性和等可能性两个特征的概率问题才是古典概型.
一般来说,有限性是容易验证的,所以判别一个概率模型是不是古典概
型,关键是看是否满足等可能性.
2.古典概型概率的计算步骤
1.利用树形图法或图表法求古典概型的概率
（1）当样本点的个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太
多时,我们可借助树形图直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方
法.树形图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后
可猜想其余的情况.
（2）在求概率时,若事件可以表示成有序数对的集合的形式,则可以
把样本空间的样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形
式可以准确地得到样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解
决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
例1（1）[2024· 南京一中月考]投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统
礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.假设甲、乙、丙是三位
投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可
能的.若甲、乙、丙各投壶一次，则这三人中至多有一人投中的概率
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 甲、乙、丙三人各投壶一次，样本空间包含的样本点有
（中，中，中），（中，中，不中），（不中，不中，不中），
（中，不中，中），（中，不中，不中），（不中，中，中），
（不中，中，不中），（不中，不中，中），共8个，
其中至多有一人投中包含的样本点有4个，故所求概率为 .故选C.
（2）[2024·江苏扬州期末] 某保险公司为了
给年龄（单位：岁）在 内的民众提供
某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保
险.现从10 000名参保人员中随机抽取100名
进行分析，并按年龄段, ,
年龄（单位：岁）
保费（单位：元）
,, 分成了五组，得到频率分布直方图如图所示，每
人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：
①若采用分层抽样的方法，从年龄在
和 内的参保人员中共抽取6人
进行问卷调查，再从抽取的6人中选取2人调
查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1
人的年龄在 内的概率；
解：由，得 ，
设“抽取的2人中恰好有1人的年龄在 内”
为事件 .
由题可知，年龄在内和 内的频
率分别为0.16和 ，则抽取的6人中，年龄
在内的有2人，年龄在 内的有4人.
记抽取的年龄在 内的2位参保人员为
, ，年龄在内的4位参保人员为, ,
, ，
则从6人中任取2人，样本空间,,,,, , ,,，,, , ,, ，共包含15个样本点，
,,,,, ,
, ，共包含8个样本点，所以 .
②已知有10 000人参加此项保险，该公
司每年为此项保险支出的各种费用为200万
元，为使公司不亏本，则年龄在 内
的参保人员每人每年需要交纳的保费至少
为多少元？
解：保险公司每年收取的保费为
（元），
若公司不亏本，则 ，
解得，所以年龄在 内的参保
人员每人每年需要交纳的保费至少为250元.
例2 有,,,四位贵宾,应分别坐在,,, 四个席位上,现在这四人
均未留意,在四个席位上随便就座.
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
解：将,,, 四位贵宾就座情况用下图表示出来（从左到右依次为
席位,,, ）：
设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件 只包含1
个样本点,所以 .
由图可知,样
本空间中的样本点共有24个.
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
解：设事件为“这四人恰好都没有坐在自己的席位上”,则事件 共包
含9个样本点,所以 .
（3）求这四人中恰好有一人坐在自己的席位上的概率.
解：设事件为“这四人中恰好有一人坐在自己的席位上”,则事件 共
包含8个样本点,所以 .
2.公平性问题
一个游戏规则是否公平,关键是看游戏双方获胜的概率是否相等，若相
等则公平,否则不公平.要解决这类问题,要先算出双方获胜的概率,再判
断,另外,设计新规则,方案不唯一,只要使双方获胜的概率相等即可.
例3 甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若
甲掷两次骰子的点数之和小于6，则甲得一分，若乙掷两次骰子的点
数之和大于 ,则乙得一分，最先得到十分者获胜.为确保游戏的公平
性，正整数 的值应为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
[解析] 对于甲，掷两次骰子的点数之和为2，3，4，5时，甲能够得
一分，由对称性可知，掷两次骰子的点数之和为12，11，10，9分别
与掷两次骰子的点数之和为2，3，4，5的概率相等，所以为了确保
游戏的公平性，需满足 ，此时甲、乙得分的概率相等.故选B.
√
例4 一只口袋内有形状、大小、质地都相同的4个小球,这4个小球上
分别标记着数字1,2,3,4.
甲、乙、丙三名同学约定:
每人从中不放回地随机摸取一个球;
按照甲、乙、丙的次序摸取;
谁摸取的球上标记的数字最大,谁就获胜.
用有序数组表示这个试验的样本点,例如 表示在一次试
验中,甲摸取的球上标记着数字1,乙摸取的球上标记着数字4,丙摸取的
球上标记着数字3; 表示在一次试验中,甲摸取的球上标记着数
字3,乙摸取的球上标记着数字1,丙摸取的球上标记着数字2.
（1）列出所有样本点,并指出样本点的总数;
解：所有样本点为,,,,, ,
,,,,,,,, ,
,,,,,,,, ,
样本点的总数是24.
（2）求甲获胜的概率;
解：事件“甲获胜”所包含的样本点为,,, ,
,,,,共8个,故甲获胜的概率 .
（3）写出乙获胜的概率,并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其
摸取的次序是否有关.
解：乙获胜的概率为 ，甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的
次序无关.15.2　随机事件的概率
第1课时　古典概型
1.C　[解析] 对于A,样本点只有中靶、不中靶,但概率不一定相等,故A错误;对于B,样本点为坐标系中的整数点,是无限的,故B错误;对于C,样本点为四名同学,是有限的,且抽到的概率相等,故C正确;对于D,样本点是区间[1,10]上所有实数,是无限的,故D错误.故选C.
2.C　[解析] 样本空间包含的样本点有egg,geg,gge,共3个,故小明写对的概率为.故选C.
3.A　[解析] 由题知,从算盘的一个档内任取一颗珠子是“下珠”的概率为.故选A.
4.A　[解析] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},包含4个样本点,恰好有一枚正面向上的样本点有(正,反),(反,正),共2个,故所求概率P==.故选A.
5.A　[解析] 依题意,设3名男生分别为A1,A2,A3,2名女生分别为B1,B2,样本空间中的样本点有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10个,参赛学生中至少有1名男生的样本点有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共9个,所以参赛学生中至少有1名男生的概率P=.故选A.
6.C　[解析] 在加数都大于2的条件下16可以拆成3+13,4+12,5+11,6+10,7+9,8+8,9+7,10+6,11+5,12+4,13+3,共包含11个样本点,其中拆成的和式中加数全部为素数的有3+13,5+11,13+3,11+5,共包含4个样本点,所以拆成的和式中,在加数都大于2的条件下加数全部为素数的概率P=.故选C.
7.C　[解析] 设这两人为A,B,设Am,Bn分别表示A在第m层离开电梯,B在第n层离开电梯(m,n∈{2,3,4,5,6}),则这两人离开电梯的样本空间Ω={(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(A3,B6),(A4,B2),
(A4,B3),(A4,B4),(A4,B5),(A4,B6),(A5,B2),(A5,B3),(A5,B4),(A5,B5),(A5,B6),(A6,B2),(A6,B3),(A6,
B4),(A6,B5),(A6,B6)},共包含25个样本点.事件“两人在相同层离开电梯”包含(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6)共5个样本点,所以“两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点,所求概率P==.故选C.
8.AD　[解析] 根据古典概型的定义可知所有的基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;抛掷一枚质地均匀的骰子一次,该试验的样本空间中样本点的个数为6,且事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”,但这两个事件都不是基本事件,故B错误;由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C错误;同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”的概率为,“恰有两个正面向上”的概率为,所以二者是“等概率事件”,故D正确.故选AD.
9.BCD　[解析] 该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共包含9个样本点.对于A,取出的两个球上标号为不同数字的概率为=,故A错误;对于B,取出的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,所以概率为,故B正确;对于C,取出的两个球上标号为相同数字的概率为=,故C正确;对于D,甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),共3个,所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为=,故D正确.故选BCD.
10.　[解析] 样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共12个,满足x+y=5的样本点有(2,3),(3,2),(4,1),共3个,所以所求概率P==.
11.　[解析] 由题意可知,记红球为A,两个白球分别为B1,B2,则样本空间包含的样本点有AA,AB1,AB2,B1A,B1B1,B1B2,B2A,B2B1,B2B2,共9个,其中取出的两个球中至少有一个白球包含8个样本点,所以由古典概型可知所求概率P=.
12.　[解析] 由题意可知713,故BC的取值可以是8,9,10,14,15,16,共包含6个样本点,故△ABC为钝角三角形的概率为=.
13.解:(1)样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},Ω中包含12个样本点.
(2)事件A包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),共6个,所以P(A)==,
事件B包含的样本点有(1,3),(2,3),(4,3),共3个,所以P(B)==,事件C包含的样本点有(1,4),(2,4),(4,1),(4,2),共4个,所以P(C)==.
(3)事件A,B,C中至少有一个发生包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),共9个,所以P(A∪B∪C)==.
14.解:(1)设抽样比为x,则由分层抽样可知,街舞、围棋、武术三个社团抽取的同学人数分别为48x,42x,30x.由题意得48x-42x=1,解得x=,故街舞、围棋、武术三个社团抽取的同学人数分别为48×=8,42×=7,30×=5.
(2)由(1)知,从围棋社团抽取的同学有7人,其中2名女生记为A,B,5名男生记为C,D,E,F,G.从中随机选出2人担任该社团活动监督职务,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)},共包含21个样本点,
记“至少有1名女同学担任监督职务”为事件M,则M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G)},共包含11个样本点,所以P(A)=,所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为.
15.AB　[解析] 画出树状图,如图所示.
从1移动到9,一共有34条不同的移动路线,故A正确;从1移动到9,恰好漏掉两个数字的移动路线,即树状图中倒数第三行有9的路线,有15条,故B正确;若每条路线是等可能的,则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条,则其概率为=,故C错误;若每条路线是等可能的,记P(i)为经过i的概率,则P(9)=1,P(7)<1,故D错误.故选AB.
16.解:(1)甲盒中的3个红球记为a1,a2,a3,2个白球记为b1,b2,从甲盒中按先后顺序随机取2个球,取后不放回,样本空间中每个样本点用(M,N)表示,其中M,N都取自5个球中的任意1个,且不能重复,
即对M的每1种情况,N都有4种不同的情况与之对应,
而M有5种不同的情况,列举可知共有5×4=20(个)样本点.
取到的2个球都是白球包含的样本点有(b1,b2),(b2,b1),共2个,故至少取得1个红球的概率P==.
(2)参考答案一:
选择的是甲盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒,故选择的应该是甲盒,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择乙盒的可能性.
参考答案二:
选择的是乙盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率较低,但是不为0,
所以存在选择乙盒的可能性,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三:
无法判断,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,都是概率不为0的随机事件,都有可能发生,所以无法判断.15.2　随机事件的概率
第1课时　古典概型
【学习目标】
　　1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率.
　　2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知识点一　概率的基本性质
1.将事件记为A,用P(A)表示事件A发生的概率,则P(A)满足0≤P(A)≤1.
2.对于必然事件Ω和不可能事件 ,显然P(Ω)=1,P( )=0.
◆ 知识点二　古典概型
1.等可能基本事件:在一次试验中,每个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件.
2.古典概型
如果一个随机试验满足:
(1)样本空间Ω只含有　　　　样本点;
(2)每个基本事件的发生都是　　　　的.
那么我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
3.古典概型的概率公式
在古典概型中,如果样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为P(A)==,其中n(A)表示事件A包含的样本点个数.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛两枚质地均匀的硬币(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),出现的样本点有“两正面”“两反面”“一个正面、一个反面”共3个. (　 )
(2)古典概型的概率公式P(A)=中,m为事件A包含的样本点个数,n为样本空间Ω包含的样本点个数. (　 )
◆ 探究点一　古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型
变式 下列概率模型,其中属于古典概型的是 (　 )
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环
C.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
D.一只使用中的灯泡寿命长短
[素养小结]
判断试验是不是古典概型,关键看是否符合两大特征:有限性和等可能性.
◆ 探究点二　古典概型的概率
例2 将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A为“两数之和为8”,事件B为“两数之和是3的倍数”,事件C为“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并求事件A发生的概率;
(2)求事件B发生的概率;
(3)求事件A与事件C至少有一个发生的概率.
变式 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个.
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率;
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率;
(3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率.
[素养小结]
1.求古典概型的基本方法:
首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母A表示所求事件;其次,求出样本空间Ω包含的样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数m;最后,利用公式P(A)==,求出事件A发生的概率.
2.求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,可以用平面直角坐标系中的点表示,也可以采用数形结合法用图表表示,使解决问题变得更为直观.
◆ 探究点三　 求复杂事件的古典概型
例3 [2024·江苏南通期末] 某班学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布表如下:
分组 [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9]
频数 4 x 20 y
频率 a b 0.4 0.12
(1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用分层抽样的方法,从该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的学生中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率.
变式 [2024·嘉兴期末] 数学多选题评分标准如下:若某试题有两个正确选项,选对一个得3分,选对两个得6分,有错选得0分;若该试题有三个正确选项,选对一个得2分,选对两个得4分,三个都选对得6分,有错选得0分.小明同学正在做一道数学多选题(多选题每题至少选一项且不能全选,假设每个选项被选到的概率是等可能的),请帮助小明求解以下问题:
(1)若该多选题有两个正确选项,在完全盲猜(可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项)的情况下,求小明得6分的概率;
(2)若该多选题有三个正确选项,小明已经判定A正确(正确答案中有A选项,且A必选)的情况下,求小明的得分大于或等于4的概率.
[素养小结]
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,对象种类及数量都不发生变化,因此某元素被抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,对象种类及数量都在发生变化,因此某元素被抽到的概率也在不断变化.15.2　随机事件的概率
第1课时　古典概型
一、选择题
1.下列试验中,是古典概型的有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
2.考试的时候小明忘记了egg(鸡蛋)怎么写,只记得有e,g,g三个字母,就随机写了一个,则他写对的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
3.珠算作为非物质文化遗产,是中华文明的鲜明体现.算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面的2颗珠叫“上珠”,梁下面的5颗珠叫“下珠”,则从算盘的一个档内任取一颗珠子是“下珠”的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰好有一枚正面向上的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2024·江苏连云港高级中学月考] 某数学兴趣小组有3名男生和2名女生,现从中任选2人参加数学竞赛,则参赛学生中至少有1名男生的概率是 (　 )
A. B. C. D.
6.[2024·江苏邳州期中] “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠,是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是:“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将16拆成两个正整数的和(考虑和式中两个加数的顺序),则拆成的和式中,在加数都大于2的条件下,两个加数均为素数的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
7.有两人从一座6层大楼的底层(即第一层)进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这两人在不同层离开电梯的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A,B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,下列说法正确的是 (　 )
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的样本空间中样本点的个数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”和“恰有两个正面向上”是“等概率事件”
9.(多选题)[2024·辽宁六校协作体高一期中] 在甲、乙两个盒子中各分别装有标号为1,2,3的三个小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是 (　 )
A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
二、填空题
10.已知x∈{1,2,3,4},y∈{1,2,3},则x,y满足x+y=5的概率为　　　　.
11.[2024·山西阳泉一中月考] 甲盒中有一个红球,两个白球,这三个球除了颜色外完全相同,有放回地连续抽取两次,每次从中任意抽取一个球,取出的两个球中至少有一个白球的概率为　　　　.
12.在△ABC中,边AB,AC的长度分别为5,12,从8,9,10,…,15,16这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度,则△ABC为钝角三角形的概率为　　　　.
三、解答题
13.[2024·江苏苏州期末] 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球,其中有两个红球(标号为1和2),一个黑球(标号为3),一个白球(标号为4),从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A为“第一次摸到红球”,事件B为“第二次摸到黑球”,事件C为“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.
(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,试用集合的形式写出试验的样本空间Ω;
(2)分别求事件A,B,C发生的概率;
(3)求事件A,B,C中至少有一个发生的概率.
14.[2024·河南南阳高一期末] 某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个样本,已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.
(1)求三个社团分别抽取的同学人数;
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生,若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督职务,求至少有1名女同学担任监督职务的概率.
15.(多选题)[2024·江苏常州调研] 如图,从1开始出发,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从1移动到9,1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线.下列说法正确的是 (　 )
A.从1移动到9,一共有34条不同的移动路线
B.从1移动到9,恰好漏掉两个数字的移动路线有15条
C.从1移动到9,若每条路线是等可能的,则移动过程中恰好跳过4的概率为
D.从1移动到9,若每条路线是等可能的,记P(i)为经过i的概率,则P(7)>P(8)>P(9)
16.有甲、乙两个盒子,其中甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有1个红球,4个白球(除颜色外,球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取2个球,取后不放回,则至少取得1个红球的概率是多少
(2)现在从两个盒子中任意选择一个,再从中任意摸出1个球,如果摸到的是红球,你认为选择的是哪个盒子 做出你的判断,并说说你的想法,你认为能否做出完全正确的判断 15.2　随机事件的概率
第1课时　古典概型
【课前预习】
知识点二
2.(1)有限个　(2)等可能
诊断分析
1.(1)×　(2)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)是古典概型,因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得1个白球”“取得1个红球”“取得1个黄球”3个样本点.样本点个数有限,但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或“取得1个黄球”的可能性不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
变式　C　[解析] 对于A,在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点有无限多个,不满足有限性,故A不属于古典概型;对于B,某射手射击一次,命中0环,1环,2环,…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性,故B不属于古典概型;对于C,某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲,满足有限性,且任选一人与性别无关,是等可能的,故C属于古典概型;对于D,一只使用中的灯泡寿命长短不满足等可能性,故D不属于古典概型.故选C.
探究点二
例2　解:(1)将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,
该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点.
事件A包含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,
所以事件A发生的概率P(A)=.
(2)事件B包含的样本点有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,
所以事件B发生的概率P(B)==.
(3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),共11个,
所以事件A与事件C至少有一个发生的概率P(A∪C)=.
变式　解:记3个红球分别为1,2,3,2个白球分别为4,5.
(1)在有放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每种可能结果,第二次摸球时都有5种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成25种等可能的结果,如表1所示.
表1
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
由表可知,第一次摸到白球的可能结果有10种,
记事件A为 “第一次摸到白球”,则P(A)==.
(2)在无放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每种可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,如表2所示.
表2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
由表可知,第二次摸到白球的可能结果有8种.
记事件B为 “第二次摸到白球”,则P(B)==.
(3)“同时摸出2个球”的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10个样本点,
其中至少摸到一个白球包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7个.
记事件C为 “至少摸到一个白球”,则P(C)=.
探究点三
例3　解:(1)该班共有学生20÷0.4=50(人),
所以y=50×0.12=6,x=50-(4+20+6)=20,
所以该班学生的平均日睡眠时间为×(7.25×4+7.75×20+8.25×20+8.75×6)=×(29+155+165+52.5)=8.03(h).
(2)由(1)知,该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的频率比为2∶3,
用分层抽样的方法,应分别从日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的两组学生中抽取2人,3人.
记抽取的日睡眠时间在[7,7.5)内的2人分别为a,b,抽取的日睡眠时间在[8.5,9]内的3人分别为c,d,e,
设“2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内”为事件A,
由题知,从抽取的5人中随机抽取2人,样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共包含10个样本点,
A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共包含7个样本点,
所以事件A发生的概率P(A)=.
故抽取的2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率为.
变式　解:(1)该试验的样本空间Ω1={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD},共包含14个样本点,记事件M为小明得6分,
则事件M包含的样本点个数为1,所以P(M)=,
故小明得6分的概率为.
(2)该试验的样本空间Ω2={A,AB,AC,AD,ABC,ABD,ACD},共包含7个样本点,不妨设正确答案为ABC,记事件N为小明的得分大于或等于4,
则N={AB,AC,ABC},共包含3个样本点,
所以P(N)=,
故小明的得分大于或等于4的概率为.

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