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第四节 函数的单调性
核心基础导学
▍知识点1:函数的单调性
（1）单调递增
设函数的定义域为,区间.如果,,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.
特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.
（2）单调递减
设函数的定义域为,区间.如果,,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.
特别地,当函数在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在区间上具有（严格的）单调性,区间叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性,那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）单调区间的正确书写
在单调性相同的多个单调区间之间用“,”“和”的方式来书写.绝对不能出现并集符号“”.确定函数的单调性必须指明单调区间.
当函数在其定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数时,不能说在上是增（减）函数,如在上是减函数,在上是减函数,不能说f（x）＝在定义域上是减函数,可以说的单调减区间为和.
（5）区间端点的写法
对于单独的一点,因为它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点.
例如:的单调递增区间是,也可以记为,但函数在上是减函数,就不能写成在上为减函数.
▍知识点2:函数的增减性的等价形式
设, 且,那么
① 在是增函数.
② 在是减函数.
［对应练习:基础1、基础2、基础3］
▍知识点3:函数单调性的性质
1.函数与（为常数）具有相同的单调性.
2.时, 函数与单调性相同（相反）.
3.若恒为正值或恒为负值,则与具有相反的单调性.
4.若都是增（减）函数,则当两者都恒大于零时,是增（减）函数;当两者都恒小于零时,是减（增）函数.
5.在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减.
［对应练习:基础4］
▍知识点4:函数的最大（小）值
（1）函数的最大值
①定义:对于函数,其定义域为,如果存在,,使得对于任意的,都有,那么,我们称是函数的最大值,即当时,是函数的最大值,记作.
②几何意义:函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.
（2）函数的最小值
①定义:对于函数,其定义域为,如果存在,,使得对于任意的,都有,那么,我们称是函数的最小值,即当时,是函数的最小值,记作.
②几何意义:函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.
（3）利用函数的单调性求最值的常用结论
①如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数,在处有最大值;
②如果函数在区间上单调递递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值.
注意:对于定义域为闭区间的函数,还需要确定函数在端点处的函数值的大小,将其与所求出的最值进行比较,值最大（小）者即为函数的最大（小）值.
［对应练习:基础5］
单调性定义的理解
【典例 1】（2023·上海）已知函数,.若成立,则下列论断中正确的是（ ）
A.函数在上一定是增函数;
B.函数在上一定不是增函数;
C.函数在上可能是减函数;
D.函数在上不可能是减函数.
【典例 2】“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A.“存在a,,使得且”
B.“存在a,,使得且”
C.“存在,使得”
D.“存在,使得”
【变式 3】设满足:对任意的都有,则与大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【变式 4】（多选）如果函数在上是增函数,那么对于任意的、,下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若,则 D.
定义法证明单调性
基本步骤如下:
①设值:设,且;
②作差:;
③变形:对变形,一般是通分,分解因式,配方等.这一步是核心,要注意变形到底;
④判断符号,得出函数的单调性.
【典例 5】已知函数,用定义法证明函数在上单调递减.
【变式 6】已知函数,用定义法证明在区间上单调递减.
【练习 7】已知函数,用定义法证明在区间上单调递增.
【练习 8】已知函数,用定义法证明在上单调递增.
【练习 9】已知函数,用定义法证明在其定义上单调递增.
【练习 10】（2023·高一专题）讨论函数, 在上的单调性.
利用函数图像求单调区间
【典例 11】已知的图象如图所示,则该函数的单调增区间为（ ）
A. B.和 C. D.和
【典例 12】已知函数,结合图象求函数的单调递减区间.
【练习 13】已知函数,结合图象求函数的单调递减区间.
利用性质判断函数单调性
【典例 14】下列有关单调性的说法,不正确的是 （ ）
A.若为增函数,为增函数,则为增函数
B.若为减函数,为减函数,则为减函数
C.若为增函数,为减函数,则为增函数
D.若为减函数,为增函数,则为减函数
【典例 15】（多选）函数在定义域内为增函数,且,则下列函数在内不是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 16】若函数均是定义域为R的增函数,则下列函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 17】设函数在上为增函数,则下列结论正确的是（ ）
A.在R上为减函数
B.在R上为增函数
C.在R上为增函数
D.在R上为减函数
【练习 18】通过单调性的性质判断下列函数单调性:
（1）; （2）;
（3）; （4）.
由函数单调性求最值
【典例 19】函数在区间上的最小值为 .
【典例 20】已知,则函数的最大值与最小值的和为 .
【变式 21】函数在区间上的最小值为 .
【变式 22】的值域是 .
【练习 23】函数的值域为（ ）
A.[0,1） B. C. D.
【练习 24】（2024·江西高一）函数, 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【练习 25】二次函数满足,且.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最值;
（3）求在上的最小值.
重点题型专练
求复合函数的单调区间
1.复合函数单调性的规律:“同增异减”若内外两层函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若内外两层函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数;
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
2.具体判断步骤:
（1）求出原函数的定义域;
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数;
（3）分析内层函数和外层函数的单调性;
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.
【典例 26】已知函数在R上是减函数,求的单调区间.
【变式 27】求函数的单调区间.
【变式 28】求函数的单调区间.
【练习 29】求函数的单调递增区间.
【练习 30】求函数的单调区间.
【练习 31】求函数的单调区间.
已知函数单调性求参数
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
【典例 32】已知二次函数在区间内是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A.或 B.
C.或 D.
【变式 33】已知函数在上单调递增,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习 34】若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为 .
【练习 35】若函数f（x）=在区间上单调递减,则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习 36】若在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 .
【练习 37】已知函数在是增函数,则实数的取值范围是 .
分段函数的单调性问题
【典例 38】已知函数,若对于任意给定的不等实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.
【变式 39】若函数是上的增函数,则实数的取值范围为_________.
【练习 40】（2023·山东高一校考期中）若实数,函数在R上是单调函数,则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【练习 41】（2022·海南海口高一校考期中）（多选）已知函数是上的增函数,则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.1
由函数单调性比较大小
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
【典例 42】若函数是定义在R上的增函数,试比较与的大小关系.
【练习 43】（2023·全国高一专题）已知函数在上是递减函数,且,则有（ ）
A. B.
C. D.
【练习 44】已知函数在[0,＋∞）上是减函数,试比较与的大小.
【练习 45】（多选）已知函数的定义域为, ,,且,,则（ ）
A. B.
C. D.
由函数单调性解不等式
方法:利用函数的单调性,“脱去”外部的解析式,只需要比较自变量的大小关系即可.需要注意自变量要在函数的定义域内.
利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用,如果,
若在上是增函数,则有；
若在上是减函数,则有
必须注意两点:①两边化为同名函数的不同函数值;②自变量必须化到同一单调区间上,若转化不了,就进行讨论.
【典例 46】已知函数.
（1）判断函数在上的单调性,并利用定义证明;
（2）若,求实数的取值范围.
【练习 47】已知函数是定义在上的函数,且在该区间上单调递增,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习 48】函数的定义域为,且在定义域内是增函数,若,则m的取值范围是 .
【练习 49】已知函数,则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 50】（2023·贵州）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 51】函数是定义在上的增函数,若对于任意正实数,恒有,且,则满足不等式的解集是 .
由函数的最值求参数
【典例 52】已知函数,当存在最小值时,实数a的取值范围是 .
【练习 53】函数在区间上的最大值为4,则 .
【练习 54】已知函数在区间上有最小值,则实数的值为 .
【练习 55】设函数,其中实数.若的值域为,则的取值范围是 .
【练习 56】函数,的最小值为0,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习 57】已知函数的最小值为,则实数的取值范围为 .
【练习 58】已知在区间上有最大值5和最小值2,则 .
证明抽象函数的单调性
方法:①凑:凑定义或凑已知,利用定义或者已知条件得出结论.
②赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时要进行多次尝试.
【典例 59】（2023·山东高三联考）已知定义在上的函数满足,且当时,,求证在上是增函数.
【变式 60】已知定义在上的函数满足对任意的,恒成立.当时,,判断的单调性并证明.
【练习 61】已知函数对任意的实数恒有,且当时,,判断的单调性并证明.
【练习 62】已知定义在R上的函数满足: ,当时,,判断的单调性并证明.
【练习 63】已知定义在上的函数满足:对任意的正实数,均有,当时,,当时,.判断在上的单调性,并证明.
【练习 64】已知定义在上且不恒为0的函数满足,当时, ,判断在的单调性并证明.
综合巩固提升
一、单选题
1.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024·广东）已知函数.若,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3.设函数在区间上的最大值和最小值分别为M,m则（ ）
A.4 B.6 C.10 D.24
二、多选题
4.（2024·湖北高一期中）给定函数, ,用表示,中较大者,记为,则下列错误的说法是（ ）
A. B.,
C.有最大值 D.最小值为0
5.若在区间上,函数的最小值不小于的最大值,则m的取值可能为（ ）
A. B.0 C.5 D.6
6.若函数满足对 x1,x2∈（1,+∞）,当x1≠x2时,不等式恒成立,则称在（1,+∞）上为“平方差增函数”,则下列函数中,在（1,+∞）上是“平方差增函数”有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
7.函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
四、解答题
8.（2023·全国高一）一次函数是上的增函数,,已知.
（1）求;
（2）若在单调递增,求实数的取值范围;
（3）当时,有最大值,求实数的值.
9.（20-21高一上·浙江·课后作业）定义在上的函数,满足,且当时,.
（1）求的值.
（2）求证:.
（3）求证:在上是增函数.
（4）若,解不等式.
（5）比较与的大小.【9】证明见解析
第四节 函数的单调性 解析:证明: f (x) x 的定义域为 [0, ) .
设 x1, x2 是定义域 [0, ) 上的任意两个实数,且 x1 x2 ,
核心基础导学 x x x x
则 f x1 f x2 x x
1 2 1 2
x1 x 21 D 1 2 . 【 】 x1 x2 x1 x2
解析:因为函数 y f x , x R 且 f 1 f 2 成立,则函数 f x 在 0 x1 x2 , x1 x2 0, x1 x2 0 ,
, 上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,
y f x1 f x2 0 , f (x) x 在它的定义域 [0, ) 上单调递增.
如 f x x2 ,满足 f 1 f 2 ,但是 f x 在 , 上不具有单调性, 【10】答案见解析
故 D 正确,A、B、C 错误.故选:D ax 1 a x 2 2a 1f (x) a 1 2a【2】B 解析:∵函数 = x 2 x 2 x 2
解析:若函数 f x 在区间 1,2 是增函数,即任意 a,b 1,2 ,使得 a b ∴任取 x1, x2 2, ,且 x1 x2 ,
且 f a f b ,则若函数 f x 在区间 1,2 不是增函数,即存在 a,b 1,2 ,
则 f (x ) f (x ) (a+
1 2a) 1 2a 1 2a 1 2a a
使得 a b 且 f a f b 1 2.故选:B x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
【3】A 1 2a x2 x1
x1 x2 x 2 x 2
解析:因为 0 ,当 x1 x2 时 f x1 f x2 ;当 x1 x 时
1 2
f x1 f x
2
2 2 x1 x2 , x2 x1 0, x1 2 x2 2 0 ,
f x1 f x2 ;故函数在实数 R 上单调递增,又 3 π ,故 f ( 3) f ( π) .
故选:A ∴当1 2a 0
1
,即 a 时, f (x1) f (x2 ) 0 ,即 f (x1) f (x2 ) ,是减函数;2
【4】ABD
当 1 2a 0 ,即 a
1
时, f (x1) f (x ) 0ABD f x a,b 2 ,即
f (x1) f (x2 ) ,是增函数.解析:对于 ,因为 在 上是增函数, 2
对任意的 x1 、 x2 a,b x1 x2 ,不妨设 x x ,则 f x f x , 【11】B1 2 1 2
解析:由图象知:该函数的单调增区间为 [ 1,2] 和 [4,5] .故选:B
f x1 f x2 x x
则 0 , x x f x f x 1 2 1 2 0
1 2
, 0
x x f x1 f x2 ,
3 3
【12】 , 和 , 1 2 2 2
ABD 均对;

x x a x x b f a f x f x f b y x2 3 x 1 x
2 3x 1,x 0
对于 C,若 1 2 ,则 1 2 ,则 1 2 ,C 错. 解析: 2 ,
x 3x 1,x 0
故选:ABD.
2
【5】证明见解析. 由此画出函数 y x 3 x 1 的图象如下图所示,
解析:设任意 x1, x2 0, ,且 x1 x2 , 2 3 3 由图可知,函数 y x 3 x 1 的单调递减区间为 , 和 ,
2
x x
2 x x x x 2 2
则 f x1 f x2
1 1
2 1 2 1 2 1
x2 x2 x2
,
1 2 1 x
2 2
2 x1 x
2
2
∵ x1, x2 0, ,且 x1 x2 ,
∴ x2 21 x2 0,x2 x1 0,x2 x1 0 ,
x2 x1 x2 x1
∴ 2 2 0 ,即 f x1 f x2 0 ,x1 x2 【13】 , 1 , 2,5
f x 1∴ 在 0, 解析:由 x2上单调递减. 4x 5 0 ,得到 x= 1 或 x 5 ,
x2
6 y x
2 4x 5
【 】证明见解析 函数 的图像如图所示,
解析:证明如下: 由图知,函数 y x2 4x 5 的单调递减区间为 , 1 , 2,5 .
x1, x2 0, , x1 x2 ,
2 2 2(x2 x ) f (x1) f (x2 ) x1 x2 (x2 x )
1
1 (x2 x )
2
x x x x 1
1
1 2 1 2 x1x2

因为 x1, x2 0, x x
2
, x1 x2 ,所以 2 1 0, 1 x x
0 ,
1 2
即 f (x1) f (x2 ) ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上单调递减. 【14】C
【7】证明见解析 解析:根据函数单调性的性质可判断
解析: x1, x 【15】BC2 3, ,3 x1 x2 ,
解析:根据函数单调性的性质可判断
9 9 9(x1 x ) (x x )(x x 9)y2 y1 x2 x1 x2 x
2 2 1 1 21 , 【16】Ax2 x1 x1x2 x1x2 解析:A 可通过单调性性质直接判断,B 由于不明确函数的正负号,故取
因为 3 x1 x2 , 所以 x1x2 0,x2 x1 0,x1x2 9 , 法判断,C 增函数减去增函数无法判断,D 由于不明确函数的正负号,故
(x2 x1)(x1x2 9) 1 1
所以 0x x ,即
y2 y1 ,所以函数在 3, 上单调递增. 取法判断 和f x g x 的单调性.
1 2
【8】证明见解析 【17】D
解析:任取 x1, x2 1, ,且 x1 x2 , 1 1解析:对于 A 选项,若 f x x ,则 y f x x ,在 R 上不是减函数,2x 3 2x 3
则 f x1 f x2 1 2x 1 x 1 故 A 错误;1 2
2x1 3 x2 1 2x2 3 x1 1 5 x1 x 对于B 选项,若 f x x ,则 y f x x ,在 R 上不是增函数,故B 错误; 2
x1 1 x
,
2 1 x1 1 x2 1 1 1
对于 C,若 f x x ,则 y f x x ,在 R 上不是增函数,故 C 错误;因为 x1, x2 1, , x1 x2 ,所以 x1 x2 0 , x1 1 0 , x2 1 0 ,
f x f x 0 f x f x 对于 D 选项,函数 f x所以 ,即 , 在 R 上为增函数,则对于任意的 x1, x2 R ,设1 2 1 2
所以 f x 在 1, x上单调递增. 1 x2 ,必有 f x1 f x2 ,即 f x1 f x2 0 ,
{#{QQABCQahwwqYkBYACZ7aR0EsCEiQsIGTLaoOBQCUKAQCCAFAFCA=}#}
对于 y f x ,则有 y1 y 2 f x 1 f x 2 f x1 f x
2
2 0 所以 a x 1 b x 1 c ax
2 bx c 2x 3 ,
则 y f x 在 R 上为减函数,故 D 正确.故选:D. 2a 2 a 1
整理得 2ax a b 2x 3

,所以 ,解得 ,
【18】答案见解析 a b 3

b 2
2
解析:（1）y x3 和 y 2x 3 都为增函数,增+增=增,故 y x3 2x 3 为 所以 f x x 2x 2 .
增函数. （2）由（1）得 f x 的对称轴为 x= 1 ,
（2）因为 y 2x 和 y x 都为增函数,增+增=增,所以 y 2x x 1 为
所以 f x 在 3, 1 上单调递减, 1,4 上单调递增,
增函数.
1 1 所以 f x f 1 1
3 y y 3x + = y 3x min

（ ）因为 和 都为增函数,减 减 减,所以 为减
x x
又 f 3 5 , f 4 26 ,所以 f x f 4 26max ,
函数.
2 2 所以 f x 在 3,4 上的最小值为 1,最大值为 26.
（4）因为 y x 为增,所以 y 为减,所以 y 为增, y 5x 6
x x （3）当 m 1 时, f x 在 m,m 2 上单调递增,
2 2
为增函数,增+增=增,所以 y 5x 6 为增函数. 所以 f x f m m 2m 2 ;x min
【19】0 当 m 2 1 ,即 m 3 时, f x 在 m,m 2 上单调递减,
1 1 f x f m 2 m 2解析:解根据题意 y x 在 6m 10
x
1，2 上为增函数,则 y x 在 1，2 上 所以 min ;x
当 m 1 m 2y 0 ,即
3 m 1时,
的最小值为 .故答案为:0.
20 16 f x 在 m, 1 上单调递减, 1,m 2 上单调递增,所以【 】
9 f x f 1 1
解析:由对勾函数的性质可知 f x x 在 [1,3] 上单调递减,在 (3,8] min ,
x
综上所述,当 m 1 时, f x m2 2m 2min ,
上单调递增,所以 f x f (3) 6min ,
m 3 f x m2当 时, 6m 10min ,
又因为 f 1 10 , f 8 8 9 73 10 ,所以 f x 10 ,
8 8 max 当 3 m 1时, f x 1min .
所以 f x fmax x 10 6 16min .故答案为: 16
7 重点题型专练
【21】
6 【26】增区间为 ,3 ,减区间是 [3, ) .
2x 3 2 x 4 5
解析: f x 5 2 在 x 2,4 上单调递增, 解析:设 t | x 3| ,则当 x 3 时,函数 t | x 3| 单调递增,x 4 x 4 x 4
当 x 3 时,函数 t | x 3| 单调递减,
故当 x 2 时, f x 2 5 取得最小值, f 2 2 5 7 ∵ y f (t)x 4 2 4 6 在 R上是减函数,
∴根据复合函数单调性之间的关系可知【22】 3, y f (| x 3|) 的单调增区间为 ,3 ,减区间是 [3, ) .
解析: f x x 3 x 的定义域为 3, , 1 1
由于函数 y x和函数 y 3 x 均为 3, 上的单调递增函数, 【27】单调递增区间为 ( , ] ;单调递减区间为 , 2 2
所以 f x f 3 3 ,故值域为 3, , 解析:设 u x2 1 x 2 ,可得 u 0 恒成立,函数 y 在 u 0 时单调递减,
【23】D u
t2t 2x 1 1 x 1
1
解析:令 2,则 , 函数 u x x 2 在 x ( ,
1
] 上是单调递减,在 x , 单调递增
2 2 2
t 2 1 1 2 1 1
可得 y t t 1 ,t 1 , ,根据同增异减原则,于是函数 y 在 ( , ] 上是单调递增,
2 2 x2 x 2 2
1 2 1 2
y 1 且 t 1 开口向上,对称轴为 t 1 ,可得 y t 1 在 1, 上 在 x , 2 2 2 单调递减.
1 2
单调递增,可知当 t 1 时, y t 1 取到最小值 2, 3
2 【28】单调递增区间为 [ 1,
3] ,单调递减区间为 ,42 2
.

1 2
所以 y t 1 的值域为
2
2, , 解析:由函数定义域 4 3x x2 0 解得 x 1,4 ,
即函数 f x x 2x 1(x 1) 的值域为 2, .故选:D. 即函数 f x 的定义域为 1,4 ,
【24】C 3
因为函数 y x2 3x 4 开口向下,对称轴为 x ,
f x 5x 1 2解析: 5 11 ,
2 x x 2 3 3
21 所以函数 y x
2 3x 4 在 1, 2 上递增,在
,4 上递减.
当 x 4, 2 时, f x 单调递增, f x f 4 , 2 2
而 y x 在 0, 上是增函数,根据复合函数单调性同增异减可知,函
当 x 2,1 时, f x 单调递增, f x f 1
4
,
3 3 3 数 f x 的单调递增区间为 [ 1, ] ,单调递减区间为 ,4 .
5x 1 4 21
2 2
故函数 f x , x 4, 2 2,1 的值域是 , , .2 x 3 2 3【29】 [ , )
故选:C. 2
25 1 f x x2 3【 】（ ） 2x 2 ;（2）最小值为 1,最大值为 26; 解析:令 t 2x 3 ,则 y t ,由 2x 3 0 ,得 x ,2
（3）当 m 1 时, f x m2 2m 2min , 又因为 t 3 2x 3 在 [ , ) 上单调递增,
当 m 3 时, f x m2 6m 10 2min ,
因为 y t 在定义域上是增函数,
当 3 m 1时, f x 1min . 3
2 所以 y 2x 3 的单调递增区间是 [ , ) .
解析:（1）设二次函数解析式为 f x ax bx c ,因为 f 0 2 ,所以 2
c 2 , 【30】增区间为 5, 3 ,减区间为 3, 1
因为 f x 1 f x 2x 3 , 解析:由函数定义域 x2 6x 5 0 2得 x 6x 5 x 1 x 5 0 ,
{#{QQABCQahwwqYkBYACZ7aR0EsCEiQsIGTLaoOBQCUKAQCCAFAFCA=}#}
解得 5 x 1 ,函数 y x2 6x 5 的图象开口向下,对称轴为 x 3 , 6 a 0

根据复合函数的单调性同增异减可知, 所以 a 2 ,解得 2 a 3 ,即实数 a 取值范围为 2,3 .
2
函数 f (x) x2 6x 5 的增区间为 5, 3 ,减区间为 3, 1 . 2 4a 2 6 a 2
【31】在区间 2 ,0 和 2 , 为单调递增；在区间 , 2 【40】C 和
5
0, 2 . ax ,x ,2 为单调递减 解析:因为实数 a 0 2且函数 f x 在 R 上是单调a
令 x2 t , t 0 ,故 f t t2 4t 1 ，由二次函数单调性可知 f t 在 x 2a,x 2,


x
t 0,2 为单调递减，在 t 2, 为单调递增. a 2

因为 t x2 ，当 0 t 2 时，解得 2 x 2 ；当 t 2 时，解得 x 2 函数,所以 f x 在 R 单调递增,所以 5 a ,解 1 a 4 ,
2a 2 2a
或 x 2 . 2 2
因为 h(x) x2 在 x ,0 上为单调递减，在 x 0, 上为单调递增. 所以 a 的取值范围为 1,4 .故选: C .
根据复合函数的单调性，可得：函数 f (x) x4 4x2 1 在区间 2 ,0 和 【41】BC
2 a
2 , , 2 0, 2 解析:由题意,函数 y x ax 7 的图象开口朝下,对称轴为 x , 为单调递增；在区间 和 为单调递减. 2
【32】A a x2 ax 7,x 1 1
2 x a x 2解析:二次函数 y x 2ax 1 的对称轴为 0 ,欲使得 2,3 时 因为函数 f x a 是 R 上的增函数,所以 ,
, x 1 a 0
是单调的,则对称轴 x0 a 必须在 2,3 区间之外,即 a 2 或者 a 3 ; x 1 a 7 a
故选:A. 解得 4 a 2 .所以实数 a 的取值可以是 2 , 3 .故选:BC.
【33】A 3 5
1 【42】 f ( ) f (a
2 2a )
解析:因为函数 f x 2 2在
2 ax
0,1 上单调递增,
解析:∵ a2 2a
5
(a 3 3 1)2 ,
设 t 2 ax ,则 t 2 ax 为减函数,且在区间 0,1 上大于零恒成立. 2 2 2
函数 f (x) 是定义在 R上的增函数,
a 0
所以 0 a 2 .故选:A 3 2 5 3 2 5
a 2 0 ∴ f ( ) f (a 2a ) ,故答案为: f ( ) f (a 2a ) .2 2 2 2
【34】 6, 2 【43】D
解析:根据复合函数单调性可知, 解析: f x 是减函数, a b 0, a b,b a ,
函数 y x2 ax 7 在区间 1,1 上单调递减, f a f b , f b f a , f a f b f a f b ;故选:D.
a
因此可知对称轴 x 1 ,且 7 a 1 12 0 ,解得 6 a 2 .2 【44】 f (a
2 3 a 1) f ( ) .
4
【35】A
2
a2 1 解析:∵ a a
1 3 3
1 (a )2 0 ,
解析:由题设可得 f x a2 ,因为函数 f x 在区间 a, 单调 2 4 4
x 1 又∵ y f (x) 在 [0, ) 上是减函数,
1 a 3
递减,所以 2 ,故 a 1 ,故选:A .a 1 0 ∴ f (a
2 a 1) f ( ) .
4
【36】 【45】ABD 1,2
2 解析:设
x
f x x ax 2a 1
x2 ,则 f x1 f x2 x1 x2 ,即 f x1 x1 f x2 x2 ,
解析:因为 在区间 1, 上是增函数,
a 令 g x f x x ,则 g x1 g x2 ,所以 g x 在 R 上单调递减,
所以 y x2 ax 2a在区间 1, 上是增函数,则 1 ,即 a 2 ,
2 由 g 2 g 2 ,得 f 2 2 f 2 2 ,即 f 2 f 2 4 ,A 正确;
同时 x2 ax 2a 0 在区间 1, 上恒成立, 因为 x x 1 ,所以 g x f x x g x 1 f x 1 x 1 ,
又 y x2 ax 2a在区间 1, 上是增函数, 即 f x f x 1 1 ,B 正确;
所以 12 a 1 2a 0 ,即 a 1 ,所以实数 a的取值范围是 1,2 . 因为 x 0 ,所以 g x f x x g 0 f 0 ,C 错误;
1
【37】 ,1

a 1 1 2 因为 2 （当且仅当 a a a ,即 a 1时,等号成立）,
解析:当 a 0 时, f x 2x+5 ,显然在 2, 不是增函数,舍去; 1 g a f a 1 a 1 a 0 所以 g 2 f 2 2 f 2 3
a
,D 正
2 1
a a
当 a 0 时,由题得 2 ,所以 ≤a≤1 .2a 2 确.故选:ABD.
a 2
2 4 5a 5 0 【46】（1）证明见解析（2） 0,1
1 1 解析:（1）解:函数 f x 在区间 1, 上是单调递减函数.
所以实数 a 的取值范围为 ,12 .故答案为
,1
2 证明:在区间 1, 上任取两个实数 x1, x2 ,且 x1 x2 ,
1
【38】 0, x x x x
4 则 f x f x
1 2 2 11 2 ,x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
ax, x 1
解析:由函数 f x 在 R 上单调递增, 因为 1 x1 x2 ,所以 x1 x2 0,x1 1 0,x2 1 0 ,所以 f x1 f x 1 a x 2a, x 1 2
0 ,

即 f x1 f x2 ,故 f x 在区间 1, 上是单调递减函数.
a 0
1 1
则 1 a 0 ,解得 0 a ,即实数 a 的取值范围为 0, . （2）解:由（1）知 f x 在区间 1, 上是单调递减,
4 4

a 1 3a
2a 1 a 2

【39】 2,3 又 f 2a 1 f a 2 ,可得 2a 1 1 ,解得 0 a 1 ,
a 2 1
x2 2ax, x 2
解析:因为函数 f (x) R(6 a)x 是 上的增函数, 2, x 2 所以实数 a 的取值范围为 0,1 .
【47】D
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解析:因为函数 f (x) 是定义在区间 [0, ) 上的增函数,满足 因为 f 2 11 , f 4 9 , f 8 11 ,故所求 a 的取值范围是 4,8 .
f (2x 1) f 1 ,所以 0 2x 1
1 1 2

3 ,解得
x .故选:D 【56】D
3 2 3
解析: y
1 x 3 3
1 ,
2 , 5
x 1 x 1
【48】
3 2 因为 x m,n ,故 1 m,n ,
解析:因为 f (2m 1) f (1 m) 0 ,所以 f (2m 1) f (1 m) , m 1 y 1 3若 ,则 在 m,n 为减函数,
又函数 f (x) 的定义域为 [ 3,4] ,且在定义域内是增函数, x 1
3 2m 1 4 y 1 3 3 2 5 故 的最小值为 1 0 ,解得 n 2 ,故 1 m 2 .
所以有 3 1 m 4 x 1 n 1,解得 ,3 2 . 3
2m 1 1 m 若 n 1 ,则 y 1 在 m,n 为减函数,x 1
【49】C 3 3
3
解析:函数 y x3 和 y 2x 3 均在 R 上单调递增,故函数 f x x 2x 3 故 y 1 的最小值为 1 0 ,解得 n 2 ,矛盾.故选:D.x 1 n 1
在 R 上单调递增,又 f 1 0 ,则不等式 f x 3 0 ,即 f x 3 f 1 , 【57】 [ 1, )
所以 x 3 1 ,解得 x>4 ,所以不等式 f x 3 0 的解集是 4, .故 解析:当 x 0 时, f (x) x 1 2 x 1 2 ,
x x
选:C.
【50】A 1当且仅当 x 时取等号,即 x 1 取等号;此时函数的最小值为 2 ;
x x2 , x 0
解析:由函数 f (x) x x

2 , 当 x 0x , x 0 时, f (x) x
2 2ax 3 (x a)2 3 a2 ,

当 a 0 时, f (x) f (a) 3 a2 ,
根据二次函数的性质,可得函数 f x R min在 上为单调递减函数,
1
2 x ,x 0
又由不等式 f 2 5m f 2m 1 ,可得 2 5m 2m2 1 , f (x) 要想函数 x 的最小值为 2 ,

1 1 x
2 2ax 3,x 0
即 2m 1 m 3 0 ,解得 m 3 ,即实数 m的取值范围为 ,32 2 . 只需 3 a2 2 1 a 1 ,而 a 0 ,所以 1 a 0 ;
故选:A. 当 a 0 时, f (x)min f (0) 3 ,显然 3 2 ,符合题意,故答案为: [ 1, )
【51】 8,9 【58】 2
解析: f (xy) f (x) f (y)
2
, f (3) 1 , 解析:由函数 f x ax 2ax 3 b a 0 ,可得 f x 的对称轴为 x 1 ,
2 2 f (3) f (3) f (3) f (3 3) f (9) , 所以函数 f x 在 1,3 上为单调递增函数,
则不等式 f (x) f (x 8) 2 等价为 f [x(x 8)] f (9) ,
故当 x 3 时,该函数取得最大值,即 f x f 3 5 ,即 3a b 3 5
f (x) (0, ) max
,
函数 在定义域 上为增函数,
x 0 x 0 当 x 1 时,该函数取得最小值,即 f x f 1 2 ,即 a b 3 2min ,

不等式等价为 x 8 0 ,即 x 8 ,解得 8 x 9 , 3a b 2 a 3 ,b 1 a 5b 2
x(x 8) 9

1 x 9
联立方程得 ,解得 ,所以 .
a b 1 4 4
不等式的解集为 (8,9) ,故答案为: 8,9 . 【59】证明见解析
解析:在 R 上任取
x1 x2 ,则 x1 x2 0 ,所以 f (x1 x2 ) 2 .
【52】 , 1 0
又 f (x1) f (x1 x2 ) x2 f (x1 x2 ) f (x2 ) 2 f (x2 ) ,2
解析:当 x a 时, f x x 2ax 1的对称轴为 x=a ,
所以函数 f (x) 在 R 上是增函数.
2
所以当 x a 时, f x f amin a 1 【60】单调递增,证明见解析
1,x<0 解析: f x 在 0, 上单调递增.
若 a 0 , f x = 2 ，即 f x 存在最小值为-1 x +1,x 0 x1
证明如下:设 x1 x2 0 ,则 1 .
若 a 0 ,当 x a 时, f x =ax 1 为递增,不存在最小值，故舍 x2
若 a 0 , f x ax 1 单调递减,且在 x=a处, y ax 1 的函数值要大于 x 1 f x x 0 f 1

因为当 时, ,所以 x
0 .
等于 y x2 2ax 1 的函数值,故 a 0 且 a2 1 a2 2a2 1 , 2
a 1 , 1 0 因为 f xy f x f y ,所以 f xy f y f x解得: ,故答案为: . ,
【53】1 x x x
则 f x1 f x2 f 1 x2 f x
1
2 f f x2 f x2 f
1 0 ,
解析:显然 a 0 , x2 x 2 x2
若 a 0 ,则函数 y ax 1 在区间 1,3 上是减函数,并且在区间的左端 即 f x1 f x2 ,故 f x 在 0, 上单调递增;
点处取得最大值,即 a 1 4 ,解得 a 3 ,不满足 a 0 ,舍去; 【61】单调递减,证明见解析
若 a 0 ,则函数 y ax 1 在区间 1,3 上是增函数,并且在区间的右端 解析:证明:任取 x1, x2 R ,且 x1 x2 ,则 x2 x1 0 ,
点处取得最大值,即 3a 1 4 ,解得 a 1 .综上, a 1 .故答案为:1. ∵当 x 0 时, f x 0 ,∴ f x2 x1 0 ,
【54】 2 或 2
由 f (x) f (y) f (x y)x a 得
f (x) f (y) f (x y) ,
解析:二次函数的对称轴为 ,
当 a 1 时,函数在 [ 1,1] 上为增函数,故最小值为 1+2a 3 a 2 f x即 , ∴ 2 f x1 f x2 x1 0 ,
符合题意; ∴ f x1 f x2 ,∴ f x 是 R 上的减函数.
当 1 a 1 时,函数在 1,a 上递减,在 a,1 上递增, 【62】单调递增,证明见解析
故最小值为 f a a2 2a2 3，a2 3,a 3 不合题意舍; 解析:取 x1, x2 R, x1 x2 ,则 f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 )
a 1 [ 1,1] f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 ) ( f (x1 x2 ) 1) f (x )当 时,此时函数在 为减函数, 2 ,
故最小值为 f 1 12 2a 3 即 a 2 ,符合题意; 因为 x1 x2 0 ,故 f (x1 x2 ) 1 ,即 f (x1 x2 ) 1 0 ,而 f x2 0 ,
综上, a 2 或 a 2 .故答案为: 2 或 2 . 故 f (x1) f (x2 ) 0 ,即 f (x1) f (x2 ) ,故 f x 是 R 上增函数
【55】 4,8 【63】 f (x) 在 (0, ) 上单调递增，证明见解析
x2 x 16 16 解析: x2 x1 0 ，则
解析:函数 f x x 1（ 2 x a ）.
x x x x

f x2 f x
x
1 f x f x 1 12 2 f x2 f x2 f f x2 1 f
1
，
由于 f x 在 2,4
x x x
上单调递减,在 4, 上单调递增, 2 2 2
{#{QQABCQahwwqYkBYACZ7aR0EsCEiQsIGTLaoOBQCUKAQCCAFAFCA=}#}
x x 1
因为 x2 x1 0 ，所以 f x2 0,0
,
1 1 ，又当 0 x 1 时， f x x 0,1 ，2 故 g(x) 在 (1, ) 递增,故 C 正确;
x 2 2
所以 0 f
g(x) (1, )

1 1 ，所以 f x2 f x1 0 ，所以 f x2 f x 对于 D, f (x) x 2x 1 ,则 g(x) f (x) x 2x 11 ， ,故 在
x2 递减,故 D错误;故选:BC
故 f x 在 (0, ) 上的单调递增. 7.【答案】[2,＋∞）；（－∞,－3]
【64】单调递减,证明见解析 解析:令 u x2 x 6 ,
x x
x , x (1, ) x x x x , y 1 x , 1 则 y x
2
解析: ,且 ,令 ,则 1 , x 6 可以看作是由 y u 与 u x
2 x 6 复合而成的函数.
1 2 1 2 2 x 22 x2 令 u x2 x 6 0 ,得 x 3 或 x 2
x x x
所以 f (x 11) f (x2 ) x2 f (
1 ) 1 f (x2 ) , 易知 u x
2 x 6 在 ( , 3] 上是减函数,在 [2, ) 上是增函数,
x2 x2 x2
而 y u 在 [0, ) 上是增函数,
x
又当 x 1 f (x) 0 1时 ,则 f ( ) 0x , 所以 y x
2 x 6 的单调减区间为 ( , 3] ,单调增区间为 [2, ) .
2
x x x 故答案为:① [2, ) ;② ( , 3]
所以 f (x1)
1 f (x2 ) x2 f (
1 ) 0 ,故 f (x ) 1 f (x ) f (x )x2 x
1 x 2 2 , 9 2 2 8.【答案】（1）f (x) 4x 1 ;（2）m的取值范围为 , 4 ;（3）
m 2
所以函数 f (x) 在 (1, ) 上是减函数.
m 10或 .
综合巩固提升 3
解析:（1）∵ f (x) 是 R 上的增函数,
1.【答案】B
∴可设 f (x) ax b,a 0 ,∴ f [ f (x)] a(ax b) b 16x 5
2 m解析:函数 f (x) 2x mx 1 在区间 1, 上单调递增,则 1 ,4 解得: a 4,b 1 ,因此 f (x) 4x 1
解得 m 4 .故选:B. （2） g(x) f (x)(x m) (4x 1)(x m) 4x2 (4m 1)x m
2.【答案】C 4m 1 4m 1 9
对称轴 x ,根据题意可得 1 ,解得 m
2 1 3
解析:当 x 0 时, f (x) x x 1 (x )2 单调递增,且 f (0) 1 8 8 4,
2 4 m 9
当 x 0 时, f (x) 2x 1
∴ 的取值范围为 [ , )
单调递增,且 f (x) 1 .所以函数 f (x) 在 R 上单 4
调递增,由 f (m) f 2 m2 得, m 2 m2 ,解得 2 m 1 .故选:C. 4m 1 9（3）①当 1时,即 m
8 4
3.【答案】C g(x)max g(3) 39 13m 13 ,解得 m 2 ,符合题意2(x 2) 4 4
解析:因为 f（x）= =2+ ,所以 f（x）在[3,4]上是减函
x 2 x 2 4m 1 ②当 1 时,即 m
9
时,
数.所以 m=f 8 4（4）=4,M=f（3）=6.所以 M m 6 4 10 .故选:C.
4 10.【答案】AC g(x)max g( 1) 3 3m 13 ,解得 m ,符合题意
解析:由 f (x) g(x) 0 即 x 1 (x 1)2 0
3
可得 1 x 0
10
由 f (x) g(x) 0 即 x 1 (x 1)2 0 可得 x 1 或 x 0 由①②可得, m 2 或 m .3
x 1 1 x 0 9.【答案】（1） f (1) 0 ;（2）证明见解析;（3）证明见解析;
所以 M (x)
(x 1)
2 x 1或x 0 x0 x 2 m n f (m) f (n)（4） ∣ 7 ;（5）
f .
当 x 2 时, M (2) (2 1)2 9 ,A 选项错误 2 2
当 x 1时, M (x) M (1) (1 1)2 4 2 ,B 选项正确 解析:（1）令 m n 1 ,由条件得 f (1) f (1) f (1) f (1) 0 .min
当 x 0 时, M (x) 为单调递增函数,无最大值,C 选项错误 （2） f (m) f
m
n

f
m
f (n)
m
n n ,即
f f (m) f (n) .
因为 M (x) 在 ( , 1) 上单调递减,所以 M (x) M ( 1) 0 D nmin , 选项正确
故选:AC x（3）任取 x1 , x2 (0, ) ,且 x1 x
2
2 ,则 1 .
5.【答案】ABD x1
解析:作出 f x 与 g x 的图象,可得 f 2 g 2 , f 5 g 5 .由图可 x2 由（2）得. f x2 f x1 f x 0 ,即 f x2 f x1 .
知,当 m 2 2 或 m 1 5 时,在区间 m 1,m 2 上, f x 1的最小值不
∴ f x 在 (0, ) 上是增函数.
小于 g x 的最大值,故 m 0 或 m 6 .所以 ABD 选项符合.故选:ABD
（4）∵ f (2) 1 ,∴ 2 f (2) f (2) f (4) ,
f (x 2) f (2x) 2 f (x 2) f (2x) f (4) f (x 2) >f (8x) .
x 2 8x,
又 f (x) 在 (0,
2
) 上为增函数,∴ 解得 0 x .
x 0, 7
6 BC 故不等式 f (x 2) f (2x) 2

的解集为 x∣0
2
x
.【答案】 7 .
解析:若函数 f (x) 满足对 x1 , x2 (1, ) ,当 x1 x2 时,不等式 f (m) f (n) 1
f (mn)
f (x1) f (x2 )
（5）∵ ,
2 2 1
2 2
x x 恒成立,1 2 2 m n 1 m n m n 1 m n
f (x1) f (x2 ) [ f (x ) x
2 ] [ f (x ) x 2 ] f f f f ,1 1 2 2
则 2 2 1 0 2 2 2 2 2
2
x1 x2 (x1 x2 )(x
,
1 x

2 )
2 2
g(x ) g(x ) m n m n
令 g(x) f (x) x2 1 2,则 0 , x1 , x2 (1, ) x x
∵ mn 0,且 , ,x x 1 2 2

2


1 2
g(x) 2在 (1, ) 上是增函数, m n
∴ mn （当且仅当 m n 时取等号）.
对于 A, f (x) 4x 1 ,则 g(x) f (x) x2 x2 4x 1 ,对称轴是 x 2 , 2
故 g(x) 在 (1,2) 递增,在 (2, ) 递减,故 A 错误; 又 f (x) 在 (0, )上是增函数,
对于 B, f (x) x2 x
1 g(x) f (x) x2 x 1 2 ,则 ,是对勾函数, f m n

f m n f (m) f (n)x x ∴ f (mn) .∴ . 2 2
故 g(x) 在 (1, )
2
递增,故 B 正确;
对于 C, f (x) 2x2 2x 1 ,故 g(x) f (x) x2 x2 2x 1 ,对称轴是
{#{QQABCQahwwqYkBYACZ7aR0EsCEiQsIGTLaoOBQCUKAQCCAFAFCA=}#}

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