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数学 必修 第一册 RJA
1.2 集合间的基本关系
课程标准：1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
教学重点：1.子集、真子集、包含与相等的定义的理解.2.集合间关系的判定.3.能写出给定集合的子集、真子集．
教学难点：1.集合间关系的判定.2.关系符号( 、?、 、?、∈、 )的正确运用.3.在具体情境中了解空集及其应用．
核心素养：1.通过对集合之间包含与相等的含义及子集、真子集概念的理解，提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集的求解及应用，培养数学运算素养．
知识点一　Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图．
知识点二　子集与真子集
定义 符号表示 图形表示
子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 元素 集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)，读作 或
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)，读作 或
[拓展]　若一个集合中含有n个元素，则有：
(1)该集合的子集的个数为2n；
(2)该集合的真子集的个数为2n－1；
(3)该集合的非空子集的个数为2n－1；
(4)该集合的非空真子集的个数为2n－2.
知识点三　集合相等
自然语言 一般地，如果集合A的 元素 集合B的元素，同时集合B的 元素 集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
符号语言 若A B，且B A，则A＝B
图形语言
知识点四 空集
定义 的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的 ，即 A
特性 (1)空集只有一个 ，即它的本身， ； (2)若A≠ ，则 A
[想一想]　 ，{0}，0三者之间有什么关系？
知识点五　集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
1．(集合间关系的判断)设集合A＝{1，2，4}，B＝{2}，则下列关系正确的是(　　)
A．B∈A B．B A
C．B A D．B A
2．(空集的概念)下列四个集合中是空集的是(　　)
A．{0} B．{x|x>2，且x<－2}
C．{x|x2－1＝0} D．{x|x>2}
3．(由集合间的关系求参数)已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6} A，则m＝________．
4．(集合相等)若集合{2，4}＝{1－a，4}，则a＝________．
5．(子集)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的取值为________．
题型一　集合间关系的判断
例1　　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；
(5)M＝{x∈N＋|x是4和6的公倍数}，N＝{x|x＝12n，n∈N＋}．
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1．(1)已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(　　)
A．M?Q B.M，Q互不包含
C．Q?M D.Q＝M
(2)已知集合A＝，则集合A，B的关系为________．
题型二　求集合的子集、真子集及其个数
例2　　(1)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
(2)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
【感悟提升】
1．求集合的子集、真子集的步骤
2．求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身．
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
【跟踪训练】
2．(1)已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为________．
(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0题型三　由集合间的关系求参数
例3　　(1)已知集合A＝{9，3m}，B＝{m2，9}，且A B，则实数m＝(　　)
A．0 B．3
C．±3 D．3或0
(2)(新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[条件探究1]　若本例(3)条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[条件探究2]　若本例(3)条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
【感悟提升】由集合间的关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论．
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意：(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
【跟踪训练】
3．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若B A，求实数a的取值范围；
(2)若A B，求实数a的取值范围．
2数学 必修 第一册 RJA
1.2 集合间的基本关系
课程标准：1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
教学重点：1.子集、真子集、包含与相等的定义的理解.2.集合间关系的判定.3.能写出给定集合的子集、真子集．
教学难点：1.集合间关系的判定.2.关系符号( 、?、 、?、∈、 )的正确运用.3.在具体情境中了解空集及其应用．
核心素养：1.通过对集合之间包含与相等的含义及子集、真子集概念的理解，提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集的求解及应用，培养数学运算素养．
知识点一　Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
知识点二　子集与真子集
定义 符号表示 图形表示
子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)，读作A包含于B或B包含A
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)，读作A真包含于B或B真包含A
[拓展]　若一个集合中含有n个元素，则有：
(1)该集合的子集的个数为2n；
(2)该集合的真子集的个数为2n－1；
(3)该集合的非空子集的个数为2n－1；
(4)该集合的非空真子集的个数为2n－2.
知识点三　集合相等
自然语言 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
符号语言 若A B，且B A，则A＝B
图形语言
知识点四 空集
定义 不含任何元素的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， ； (2)若A≠ ，则 ?A
[想一想]　 ，{0}，0三者之间有什么关系？
提示： 是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，0∈{0}，0 ， ?{0}．
知识点五　集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
1．(集合间关系的判断)设集合A＝{1，2，4}，B＝{2}，则下列关系正确的是(　　)
A．B∈A B．B A
C．B A D．B A
答案：D
2．(空集的概念)下列四个集合中是空集的是(　　)
A．{0} B．{x|x>2，且x<－2}
C．{x|x2－1＝0} D．{x|x>2}
答案：B
3．(由集合间的关系求参数)已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6} A，则m＝________．
答案：2
4．(集合相等)若集合{2，4}＝{1－a，4}，则a＝________．
答案：－1
5．(子集)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的取值为________．
答案：1或－
题型一　集合间关系的判断
例1　　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；
(5)M＝{x∈N＋|x是4和6的公倍数}，N＝{x|x＝12n，n∈N＋}．
[解]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是有两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
(5)∵4和6的最小公倍数为12，
∴M＝{x|x＝12m，m∈N＋}，
又N＝{x|x＝12n，n∈N＋}，
∴M＝N.
【感悟提升】判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1．(1)已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(　　)
A．M?Q B.M，Q互不包含
C．Q?M D.Q＝M
答案：A
解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴M?Q.故选A.
(2)已知集合A＝，则集合A，B的关系为________．
答案：A＝B
解析：在集合A中，x＝，n∈Z.集合A中的元素是所有奇数除以3所得的数．在集合B中，x＝＋1＝＝.当n∈Z时，(n＋1)∈Z，2(n＋1)＋1为所有奇数，所以B中的元素是所有奇数除以3所得的数．故A＝B.
题型二　求集合的子集、真子集及其个数
例2　　(1)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
[解析]　由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6.
[答案]　B
(2)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得
(x＋4)2(x＋1)(x－4)＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1，4}，
由0个元素构成的集合A的子集： ；
由1个元素构成的集合A的子集：{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的集合A的子集：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；
由3个元素构成的集合A的子集：{－4，－1，4}．
所以集合A的子集有： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．
集合A的真子集有： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}．
【感悟提升】
1．求集合的子集、真子集的步骤
2．求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身．
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
【跟踪训练】
2．(1)已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为________．
答案：4
解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．
(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0解：由题意可得，A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，B＝{x∈N|0含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
题型三　由集合间的关系求参数
例3　　(1)已知集合A＝{9，3m}，B＝{m2，9}，且A B，则实数m＝(　　)
A．0 B．3
C．±3 D．3或0
[解析]　因为A B，且A，B的元素个数相等，所以A＝B，所以3m＝m2，解得m＝3或m＝0.当m＝3时，3m＝9，不满足集合中元素的互异性，舍去；当m＝0时，A＝B＝{0，9}，满足条件．综上，m＝0.故选A.
[答案]　A
(2)(新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
[解析]　因为A B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.
[答案]　B
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[解]　①当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2；
②当B≠ 时，如图所示：
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
[条件探究1]　若本例(3)条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解：①当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2；
②当B≠ 时，如图所示，
∴解得2≤m<3.
综上，实数m的取值范围是{m|m<3}．
[条件探究2]　若本例(3)条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：当A B时，如图所示，此时B≠ .
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A B.
【感悟提升】由集合间的关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论．
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意：(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
【跟踪训练】
3．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若B A，求实数a的取值范围；
(2)若A B，求实数a的取值范围．
解：(1)A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，
因为B A，所以分B＝A和B?A两种情况讨论：
①当B＝A时，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当B?A时，若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；
若B≠ ，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件．
综上，实数a的取值范围为{a|a＝1，或a≤－1}．
(2)因为A B，A＝{－4，0}，所以集合B中必含这两个元素．
又集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根构成的集合，最多有2个元素，所以此时必有A＝B.
由(1)知，此时a＝1.故实数a的值为1.
2

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