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数学 必修 第一册 RJA
第1课时　并集与交集
(教师独具内容)
课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
教学重点：1.并集与交集的含义.2.求两个集合的并集与交集．
教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集与交集的运算性质及综合应用．
核心素养：1.借助Venn图，培养直观想象素养.2.通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
知识点一　并集
[点拨]　(1)符号语言“x∈A或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x B”“x∈B但x A”“x∈A且x∈B”，如下图所示：
(2)A∪B仍是一个集合．对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
[想一想]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
提示：不一定，集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．
知识点二　交集
[点拨]　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
(2)A∩B仍是一个集合，若两个集合没有公共元素，则二者的交集为 .
知识点三　并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
[拓展]　
1．并集的运算性质
(1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A A∪B，B A∪B.
(2)A B A∪B＝B；A∪B＝ A＝B＝ .
2．交集的运算性质
(1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B A，A∩B B.
(2)A B A∩B＝A；A∩B＝A∪B A＝B.
(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．
3．集合中元素个数的确定方法
我们把含有限个元素的集合A叫做有限集．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．(定义法求并集)设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝(　　)
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
答案：D
2．(并集、交集的运算)下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
3．(数形结合法求并集)若集合A＝{x|－32}，则A∪B＝________．
答案：{x|x>－3}
4．(已知交集求参数)设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，A∩B＝B，则a＝________．
答案：－1
题型一　集合的并集运算
例1　　(1)已知集合A＝{x|x2＝3x}，B＝{－1，1，2，3}，则A∪B＝(　　)
A．{3} B.{－1，0，1，2}
C．{－1，0，1，2，3} D.{－1，1，2，3}
[解析]　∵A＝{x|x2＝3x}＝{0，3}，B＝{－1，1，2，3}，∴A∪B＝{－1，0，1，2，3}．故选C.
[答案]　C
(2)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|－1[解析]　在数轴上表示集合A，B，如图所示．结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．
[答案]　B
【感悟提升】求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合中元素的个数是有限的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是无限连续的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
【跟踪训练】
1．(1)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．8
答案：C
解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C.
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________．
答案：{x|x<－5，或x>－3}
解析：结合数轴分析可知，M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．
题型二　集合的交集运算
例2　　(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
[解析]　A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2，所以B＝{－3，2}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
[答案]　A
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
[解析]　在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
[答案]　A
【感悟提升】求集合交集的两种方法
(1)定义法：对于元素个数有限的集合，一般用交集的定义挑出两个集合的所有公共元素即可．
(2)数形结合法：对于无限连续的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【跟踪训练】
2．(1)设集合M＝{x|－2A．3 B．4
C．7 D．8
答案：D
解析：依题意，M∩N＝{0，2，4}，共3个元素，所以M∩N的子集个数为23＝8.故选D.
(2)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<2}
C．{x|－1答案：C
解析：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1(3)(新课标Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
答案：D
解析：因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D.
题型三　已知集合的交集、并集求参数
例3　　(1)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，若M∩N＝{3}，求实数a的值．
[解]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M，
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去；
当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意．
∴a＝4.
(2)已知集合A＝{x|－2[解]　因为A∪B＝B，所以A B，
所以解得－4≤m≤－，
故实数m的取值范围为.
[条件探究1]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝ ”，则实数m的取值范围为________．
答案：{m|m≤－9，或m≥1}
解析：因为A∩B＝ ，所以2m＋1≥m＋7或或所以m≥6或m≤－9或1≤m<6.
故实数m的取值范围为{m|m≤－9，或m≥1}．
[条件探究2]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围．
解：因为A∩B＝B，所以B A.
当B＝ 时，2m＋1≥m＋7，
所以m≥6，满足A∩B＝B；
当B≠ 时，有无解．
综上，实数m的取值范围是{m|m≥6}．
【感悟提升】已知集合的运算结果求参数的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集的范围问题．
(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围．
注意：(1)求解后要对结果进行检验，以满足集合中元素的特性，尤其是互异性．
(2)对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，要注意考虑空集的情况．
【跟踪训练】
3．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2－2x－3＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
(2)若A∩B≠ 且A∩C＝ ，求实数a的值．
解：(1)由题可得B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
由A∩B＝A∪B，得A＝B.
所以2，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，
所以解得a＝5.
(2)因为B＝{2，3}，C＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}．
因为A∩B≠ ，A∩C＝ ，所以2∈A，
所以4－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0，
解得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{2，3}，则A∩C≠ ，不符合题意；
当a＝－3时，A＝{－5，2}，则A∩B＝{2}且A∩C＝ ，
故a＝－3符合题意．
综上，实数a的值为－3.
5数学 必修 第一册 RJA
第1课时　并集与交集
(教师独具内容)
课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
教学重点：1.并集与交集的含义.2.求两个集合的并集与交集．
教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集与交集的运算性质及综合应用．
核心素养：1.借助Venn图，培养直观想象素养.2.通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
知识点一　并集
[点拨]　(1)符号语言“x∈A或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x B”“x∈B但x A”“x∈A且x∈B”，如下图所示：
(2)A∪B仍是一个集合．对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
[想一想]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
知识点二　交集
[点拨]　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
(2)A∩B仍是一个集合，若两个集合没有公共元素，则二者的交集为 .
知识点三　并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝ A∩A＝
A∪ ＝ A∩ ＝
[拓展]　
1．并集的运算性质
(1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A A∪B，B A∪B.
(2)A B A∪B＝B；A∪B＝ A＝B＝ .
2．交集的运算性质
(1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B A，A∩B B.
(2)A B A∩B＝A；A∩B＝A∪B A＝B.
(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．
3．集合中元素个数的确定方法
我们把含有限个元素的集合A叫做有限集．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．(定义法求并集)设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝(　　)
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．(并集、交集的运算)下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(数形结合法求并集)若集合A＝{x|－32}，则A∪B＝________．
4．(已知交集求参数)设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，A∩B＝B，则a＝________．
题型一　集合的并集运算
例1　　(1)已知集合A＝{x|x2＝3x}，B＝{－1，1，2，3}，则A∪B＝(　　)
A．{3} B.{－1，0，1，2}
C．{－1，0，1，2，3} D.{－1，1，2，3}
(2)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|－1【感悟提升】求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合中元素的个数是有限的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是无限连续的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
【跟踪训练】
1．(1)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．8
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________．
题型二　集合的交集运算
例2　　(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
【感悟提升】求集合交集的两种方法
(1)定义法：对于元素个数有限的集合，一般用交集的定义挑出两个集合的所有公共元素即可．
(2)数形结合法：对于无限连续的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【跟踪训练】
2．(1)设集合M＝{x|－2A．3 B．4
C．7 D．8
(2)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<2}
C．{x|－1(3)(新课标Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
题型三　已知集合的交集、并集求参数
例3　　(1)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，若M∩N＝{3}，求实数a的值．
(2)已知集合A＝{x|－2[条件探究1]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝ ”，则实数m的取值范围为________．
[条件探究2]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围．
【感悟提升】已知集合的运算结果求参数的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集的范围问题．
(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围．
注意：(1)求解后要对结果进行检验，以满足集合中元素的特性，尤其是互异性．
(2)对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，要注意考虑空集的情况．
【跟踪训练】
3．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2－2x－3＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
(2)若A∩B≠ 且A∩C＝ ，求实数a的值．
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