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1．2　集合间的基本关系
1. 在具体情景中，了解空集的含义．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3. 能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
活动一 集合的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？
思考1
观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？
(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2) C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3) E＝{x|x为两条边相等的三角形}，F＝{x|x为等腰三角形}．
思考2
如何用数学语言来表述思考1中两个集合的关系？
思考3
思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象的表示出来？
思考4
思考1中的集合E与集合F的元素是一样的，与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，你有什么体会？
思考5
子集有什么性质？
思考6
对于实数a，b，a≤b含有a思考7
方程x2＋1＝0没有实数根，所以方程x2＋1＝0的实数根组成的集合中没有元素，那么怎么来定义空集？
思考8
你能举出几个空集的例子吗？
思考9
0，{0}， ，{ }有什么关系？
思考10
包含关系{a} A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释？
任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．
活动二　　写出集合的子集
例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
集合{a，b}的所有子集中我们把除它自身外的所有子集称为集合{a，b}的真子集．如果A B，且A≠B，那么集合A是集合B的真子集．
写出集合{a，b，c}所有的子集、真子集．
任何一个集合的子集中都含有 ，同时 也是任何非空集合的真子集．一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.
思考11
若集合A中有n个元素，则集合A的子集有多少个？真子集又有多少个？
活动三　判断集合之间的关系　
例2　判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由．
(1) A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2) A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
判断下列各组集合中，A是否为B的子集．
(1) A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
(2) A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．
活动四 有限集的子集个数探究
例3　满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合M有多少个？
活动五　含参问题探究　
例4　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}．若A B，则实数m的值为________．
在子集的定义中，不能把集合A是集合B的子集理解为A是B中部分元素所组成的集合，因为集合B的子集也包括它本身，而这个子集是由集合B的全体元素组成的，另外，空集也是集合B的子集，而这个集合中并不含有集合B中的元素．
1. (2025阳江期末)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|xA. {a|a≥2} B. {a|a<2}
C. {a|a≤2} D. {a|a>2}
2. 若集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系表示最准确的为(　　)
A. A B B. B A C. A＝B D. A与B互不包含
3. (多选)(2025郑州期末)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则下列结论中正确的是(　　)
A. －3 A B. 0 B C. B?A D. {2}∈B
4. (2025哈尔滨期末)集合的真子集的个数是________．
5. 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1) 若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2) 若B A，求实数a组成的集合C.
1．2　集合间的基本关系
【活动方案】
思考1：在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素．这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)中的集合C与集合D也有这种关系．(3)中集合E的元素与集合F的元素是一样的．
思考2：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记为A B或B A，读作“A包含于B”或“B包含A”．
思考3：为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．因此，A B可用Venn图表示为
思考4：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.
符号语言：若A B，且B A，则A＝B.
思考5：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A A；
②传递性：对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
思考6：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明A B(即A中的任何元素都属于B)，二是证明A≠B(即B中的元素不是都属于A，或者说B中至少有一个元素不属于A).
思考7：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集．
思考8：{x|1＜x＜0}＝ ；{x∈R|x2＋x＋1＝0}＝ .
思考9：
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 ?{0} ?{ }或 ∈{ }
思考10：{a}表示含有一个元素a的集合，{a} A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．
例1 集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}．
跟踪训练　 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中真子集为 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．
思考11：子集有2n个，真子集有(2n－1)个．
例2 (1) 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2) 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
跟踪训练　(1) 因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是集合B的元素，所以A是B的子集．
(2) 因为1∈A，但1 B，所以A不是B的子集．
例3 由{1，2}?M可知，M中必定有1，2两个元素，且至少还有异于1，2的“其他”一个元素；由M {1，2，3，4，5}可知，上面所说的“其他”应当来自3，4，5这三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况).故满足条件的集合M有7个(也就是集合{3，4，5}的非空子集的个数).
例4 ①当B＝ 时，由题意，得m＋1≤2m－1，解得m≥2；
②当B≠ 时，则有解得－1≤m<2.
综上，实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
跟踪训练　1　由题意，得m2＝2m－1，解得m＝1.经验证，满足互异性．
【检测反馈】
1. D　由题意，得A＝{1，2}，根据图示可知A B，所以a>2，即实数a的取值范围是{a|a>2}．
2. C　对于集合A，当k＝2n(n∈Z)时，A＝{x|x＝n＋，n∈Z}；当k＝2n－1(n∈Z)时，A＝{x|x＝n－，n∈Z}，所以A＝B.
3. AC　由A＝{x|2x－3<3x}，得A＝{x|x>－3}，所以B?A，－3 A，{2}?B，0 B，故AC正确，BD错误. 故选AC.
4. 7　由题意，得x为4的正因数，所以{x∈N*|∈Z}＝{1，2，4}，所以此集合的真子集的个数为23－1＝7.
5. (1) 由题意，得A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}．
当a＝时，B＝{5}，所以B?A.
(2) 当a＝0时，B＝ .
又A＝{3，5}，所以B A，满足题意；
当a≠0时，B＝.
又A＝{3，5}，B A，此时＝3或＝5，
则a＝或a＝.
综上，C＝.

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