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1.5.1　全称量词与存在量词
1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
2. 能正确地利用全称量词与存在量词表达数学对象．
活动一 理解全称量词与存在量词的概念
　　
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．
思考1
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1) x＞3；
(2) 2x＋1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x＞3；
(4) 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
思考2
语句(3)和(4)有什么共同特点？
1. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
2. 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
3. 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
例1　判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|＋1≥1；
(3) 对任意一个无理数x，x2也是无理数．
思考3
如何判断全称量词命题“ x∈M，p(x)”的真假？
思考4
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1) 2x＋1＝3；
(2) x能被2和3整除；
(3) 存在一个x∈R，使2x＋1＝3；
(4) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
思考5
思考4中语句(3)和(4)有什么共同特点？
1. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
2. 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
3. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
例2　判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3) 有些平行四边形是菱形．
思考6
如何判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”的真假？
活动二 全称量词命题与存在量词命题的判断　　
例3　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1) 自然数的平方大于或等于零；
(2) 存在实数x，满足x2≥2；
(3) 存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1) 凸多边形的外角和等于360°；
(2) 矩形都是正方形；
(3) 有些素数的和仍是素数．
活动三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断　　
例4　判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2>x；
(2) x∈R，x2>x；
(3) x∈Q，x2－8＝0；
(4) x∈R，x2＋2>0.
思考7
给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？试举例说明．
活动四 掌握量词的综合应用
例5　已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2x－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是____________．
1. (2024秦皇岛月考)下列语句不是全称量词命题的是(　　)
A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 素数都是奇数
C. 高一(1)班绝大多数同学是团员 D. 凡是过去，皆为序章
2. 下列命题中，是存在量词命题的是(　　)
A. 任何一个实数乘以0都等于0
B. 任意一个负数都比零小
C. 每一个正方形都是矩形
D. 存在没有最大值的二次函数
3. (多选)(2025沧州月考)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则下列结论中正确的是(　　)
A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A
C. x∈A，x B D. x∈B，x∈A
4. (2025上饶期末)命题“存在正实数x，使得2x大于3x”，用符号语言可表示为___________________，该命题为________命题．(填“真”或“假”).
5. 已知集合M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1) “ x∈M，x＋1>0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2) “ x∈M，x＋1>0”是真命题，求实数a的取值范围．
1.5.1　全称量词与存在量词
【活动方案】
思考1：语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
思考2：都有对变量x的限定条件“对所有的x∈R”“对任意一个x∈Z”．
例1 (1) 2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题．
(2) x∈R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1，所以全称量词命题“ x∈R，|x|＋1≥1”是真命题．
(3) 是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
思考3：要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，证明p(x0)不成立，那么这个全称量词命题是假命题．
思考4：(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．
思考5：都含有对变量x取值的限定条件“存在一个x∈R”“至少有一个x∈Z”．
例2 (1) 由于Δ＝22－4×3＝－8＜0，因此一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．
(2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
(3) 由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
思考6：要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．
例3 (1) 全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
(2) 存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3) 存在量词命题， a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
跟踪训练　(1) 可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2) 可以改写为所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题．
(3) 含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
例4 (1) 因为当x＝2时，x2>x成立，
所以“ x∈R，x2>x”是真命题．
(2) 因为当x＝0时，x2>x不成立，
所以“ x∈R，x2>x”是假命题．
(3) 因为使x2－8＝0成立的数只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数，
所以“ x∈Q，x2－8＝0”是假命题．
(4) 因为对任意实数x，都有x2＋2>0成立，
所以“ x∈R，x2＋2>0”是真命题．
思考7：有影响．例如“ x∈R，x2>x”是真命题，但“ x∈{x|0x”是假命题．“ x∈R，x2>x”是假命题，但“ x∈{x|x>1}，x2>x”是真命题．
例5 －1≤a≤1　因为命题p是真命题，所以a≤1.因为 x∈R，x2＋2x－a＝0是真命题，则Δ＝4－4(－a)≥0，解得a≥－1.综上所述，－1≤a≤1.
【检测反馈】
1. C　A中的命题含有全称量词，故A是全称量词命题；B中的命题可改写为任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题；C中的命题可改写为：高一(1) 班存在部分同学是团员，不含全称量词，故C不是全称量词命题；D中的命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题．
2. D　A，B，C中的命题均为全称量词命题，D中的命题是存在量词命题．
3. AD　由题意，得B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B； x∈B，x∈A，即A，D正确，B，C错误. 故选AD.
4. x>0，2x>3x　假　命题“存在正实数x，使得2x大于3x”，用符号语言可表示为“ x>0，2x>3x”．因为当x>0时，2x<3x，所以该命题为假命题．
5. (1) 若“ x∈M，x＋1>0”是真命题，
则a＋1>0，解得a>－1，
所以实数a的取值范围是a>－1.
(2) 若“ x∈M，x＋1>0”是真命题，
则a＋1＋1>0，解得a>－2，
所以实数a的取值范围是a>－2.

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