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2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
1. 掌握基本不等式的内容．
2. 能熟练地运用基本不等式比较两个实数的大小．
3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
4. 熟练掌握基本不等式及变形的应用．
5. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
活动一 探究基本不等式
我们可以利用完全平方公式得出一类重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考1
如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可以得到什么？
思考2
基本不等式表明什么意义？
思考3
你能利用不等式的性质推导出基本不等式吗？
思考4
如图，AB是⊙O的直径，C是AB上的一点，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
思考5
当a，b∈R时，由(a－b)2≥0可得哪些常用不等式？
活动二 基本不等式的简单应用
例1　当a，b∈R时，下列不等关系中成立的是(　　)
A. a＋b≥2 B. a－b≥2 C. a2＋b2≥2ab D. a2－b2≥2ab
活动三　利用基本不等式求最值　
例2　已知x>0，求x＋的最小值．
已知x>0，则4x＋的最小值为________．
例3　已知x，y都是正数，求证：
(1) 如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2) 如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.
应用基本不等式时的注意点：
一正：两项必须都是正数；二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值；三相等：等号成立的条件必须存在．
活动四　利用基本不等式证明不等式　
例4　设a，b为正数，证明下列不等式成立．
(1) ＋≥2；
(2) a＋b＋＋≥4.
证明：
(1) ＋≤－2(a，b异号);
(2) a＋＋1≥3(a＞0).
活动五 利用基本不等式比较大小
例5　已知a，b为正数，比较，，，的大小．
1. (2024哈尔滨期中)若x>0，则x＋有(　　)
A. 最小值6 B. 最小值8 C. 最大值8 D. 最大值3
2. 若ab>0，且aA. a22 D. >
3. (多选)(2024绍兴月考)已知x，y为正数，且xy＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. x＋y有最小值2 B. x＋y有最大值2
C. x2＋y2有最小值2 D. x2＋y2有最大值2
4. 已知a>0，b>0，a＋b>2，有下列四个结论：①ab>1；②a2＋b2>2；③和中至少有一个小于1；④和中至少有一个小于2，其中，正确结论的序号为________．
5. 已知02．2.2　基本不等式(2)
1. 掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其变形．
2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
活动一 理解常用基本不等式
思考1
基本不等式及其变式有哪些？
活动二　利用基本不等式求最值　
思考2
已知0已知a，b都是正数
和定积最大 若a＋b＝s(和为定值)，则当a＝b时，积ab取得最大值.
积定和最小 若ab＝p(积为定值)，则当a＝b时，a＋b取得最小值2．
例1　已知x>－2，求x＋的最小值．
思考3
若将例1中x>－2改为x<－2，求x＋的最大值．
例2　已知x>0，求的最大值以及此时x的值．
已知x>1，求的最小值及此时x的值．
已知x<1，求的最大值及此时x的值．
例3　若0≤x≤3，求x(3－x)的最大值及此时的x的值．
已知01. 应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答易漏掉等号成立的条件．
2. 此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等．
活动三　求有约束条件的最值　
例4　已知x，y均为正数．
(1) 若x＋y＝1，求＋的最小值；
(2) 若＋＝2，求x＋y的最小值．
若01. 本例在解答中要注意使＋和x＋y取最小值所对应x，y的值也要一并解出来．
2. 解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．
1. (2025上海期末)设x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为(　　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 已知x>2，y＝4x＋，则y的最小值为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3. (多选)(2025茂名化州实验中学月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. x＋(x>1)的最小值是3
B. (0C. 的最小值是2
D. 2－3x－(x>0)的最大值是2－4
4. (2025连云港期末)若x>0，y>0，且xy＝4，则＋的最小值为________．
5. 已知m＋2n＝2.
(1) 当m>0，n>0时，求＋的最小值；
(2) 当m>－1，n>0时，求＋的最小值．
2．2.3　基本不等式(3)
1. 能运用基本不等式解决简单实际问题中的最大(小)值问题．
2. 在解题过程中加深对基本不等式成立条件的理解．
3. 培养严谨的思维习惯，体会化归思想在知识建构过程中的作用．
活动一 基本不等式的常见变形
思考
若a，b∈R，则ab，，的大小关系如何？当a，b＞0时，，，的大小关系是怎样的？
例1　求y＝＋的最大值．
本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜直接使用基本不等式，应该使用基本不等式的变式≤ .对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．
活动二 利用基本不等式解决简单的应用问题
例2　用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？
长为50m的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m，y m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？
例3　某工厂要建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
1. 应用基本不等式解决这类实际问题时的一般步骤：
(1) 建立目标函数．
(2) 利用基本不等式，求函数的最值．
(3) 得出实际问题的解．
2. 应用基本不等式时应注意：
(1) “一正”：两项必须都是正数．
(2) “二定”：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值．
(3) “三相等”：等号成立的条件必须存在．
例4　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，且＋＝1.当△ABC的面积最小时，求a，b的值．
例5　如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？
活动三 利用基本不等式证明简单的不等式
例6　已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
1. (2025南通期末)用总长为20 m的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出2 m的缺口作为进出通道．若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为(　　)
A. 2 m B. 3 m C. 3.5 m D. 5.5 m
2. (2024洛阳月考)某合作社需要分装一批蔬菜．已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成．为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕．由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装．已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗．根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员共会损耗蔬菜80 kg，参与任务的所有女社员共会损耗蔬菜30 kg，则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(单位：kg)与女社员的平均损耗蔬菜量(单位：kg)之和的最小值为(　　)
A. 10 B. 15 C. 30 D. 45
3. (多选)(2024莆田期中)已知一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　)
A. (1，4) B. (6，8) C. (7，12) D.
4. (2024菏泽期中)某公司新开发生产一种产品可获得的利润y(单位：万元)与投入使用时间x(单位：年)满足y＝－x2＋16x－9(x∈N*，x≤15)，当投入使用________年时，此产品的年平均利润最大．
5. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x m，宽为y m.
(1) 若菜园面积为162 m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2) 若使用的篱笆总长度为60 m，求＋的最小值．
2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
【活动方案】
思考1：≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
上述不等式称为基本不等式．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
思考2：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
思考3：要证≤，①
只要证2≤a＋b，②
要证②，只要证2－a－b≤0，③
要证③，只要证－(－)2≤0，④
要证④，只要证(－)2≥0，⑤
因为⑤成立，所以≤成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考4：可证△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立．
几何解释：半弦不大于半径．
思考5：当a，b∈R时，
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立).
例1 C　根据≥ab，≥成立的条件判断，知A，B，D错误，只有C正确．
例2 因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
跟踪训练　12　因为x>0，所以4x＋≥2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，故4x＋的最小值为12.
例3 因为x，y都是正数，所以≥.
(1) 当xy等于定值P时，≥，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，上式等号成立，所以当 x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2) 当x＋y等于定值S时，≤，所以xy≤，当且仅当x＝y时，上式等号成立，所以当x＝y时，积 xy有最大值.
例4 (1) 因为a，b为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，所以原不等式成立．
(2) 因为a，b为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，所以a＋b＋＋≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时，等号等立，所以原不等式成立．
跟踪训练　(1) 因为a，b异号，所以－，－为正数，由基本不等式，得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝－b时，等号成立，所以＋≥2，所以＋≤－2.
(2) 因为a为正数，所以也为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，所以a＋＋1≥3，当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立，所以原不等式成立．
例5 因为a，b为正数，所以≥.
因为a2＋b2≥2ab，所以＝≥＝，所以≥.
因为＝，()2－＝ab－＝≥0，
所以≥，即≤，
所以≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立．
【检测反馈】
1. A　因为x>0，所以x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，所以x＋有最小值6.
2. C　取a＝－3，b＝－2，满足ab>0，且ab2，>，<，故A，B，D错误；由ab>0，可得>0，>0，则＋>2＝2，故C正确．
3. AC　因为x，y为正数，且xy＝1，所以x＋y≥2＝2，x2＋y2≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以x＋y有最小值2，x2＋y2有最小值2.故选AC.
4. ②③④　取a＝3，b＝，满足a＋b>2，但不满足ab>1，故①错误；因为a＋b>2，所以≥>1，所以a2＋b2>2，故②正确；若≥1，≥1，则由a>0，b>0，得02矛盾，故③正确；若≥2，≥2，则由a>0，b>0，得1＋a≥2b，1＋b≥2a，所以2＋a＋b≥2a＋2b，所以a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，故④正确．综上，正确的有②③④.
5. 因为a>0，b>0，且a≠b，
所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.
又因为0所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，
所以a2＋b22．2.2　基本不等式(2)
【活动方案】
思考1：①≥(a，b>0).
②a2＋b2≥2ab，a，b∈R.
③≥≥ab，a，b∈R.
思考2：因为00，
所以x(1－x)≤＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，
故有最大值.
例1 因为x>－2，所以x＋2>0.
由题意，得x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立，因此所求的最小值为6.
思考3：当x<－2时，x＋2<0，则－(x＋2)>0，
x＋＝－－2≤－2－2＝－10，当且仅当x＝－6时，等号成立，故当x＝－6时，x＋有最大值－10.
例2 因为＝1－，x>0，又2x＋≥2，所以≤1－2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，所以的最大值为1－2，此时x＝.
跟踪训练1　因为x>1，所以x－1>0，
所以＝＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当 x－1＝，即x＝3时，等号成立，故的最小值为5，此时x＝3.
跟踪训练2　因为x＜1，所以1－x＞0，
所以＝＝－[(1－x)＋]－1≤－2－1，当且仅当1－x＝，即x＝1－时，等号成立，故的最大值为－2－1，此时x＝1－.
例3 因为0≤x≤3，所以x≥0，3－x≥0，所以 x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时，等号成立，故x(3－x)的最大值为，此时 x＝.
跟踪训练　方法一：因为00，所以 x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤[]2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立，
所以当x＝时，x(1－3x)取得最大值.
方法二：因为00，所以 x(1－3x)＝3·x≤3·()2＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立，
所以当x＝时，x(1－3x)取得最大值.
例4 (1) 因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋＋5＝＋＋6≥2＋6，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故＋的最小值为2＋6.
(2) 因为＋＝2，所以x＋y＝·(x＋y)＝≥×(2＋6)＝＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故x＋y的最小值为 ＋3.
跟踪训练　因为0【检测反馈】
1. D　因为x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.
2. C　因为x>2，所以x－2>0，所以y＝4x＋＝4(x－2)＋＋8≥2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝，即x＝时，等号成立，即y的最小值为12.
3. ABD　对于A，由x>1，得x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥
2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故A正确；对于B，由00，所以≤＝5，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，故B正确；对于C，＝＝＋≥2，当且仅当＝时取等号，但此时x无解，所以等号取不到，故C错误；对于D，当x>0时，2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以最大值为2－4，故D正确. 故选ABD.
4. 2　因为x>0，y>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1，y＝4时，等号成立，所以＋的最小值为2.
5. (1) 因为m>0，n>0，m＋2n＝2，
所以(m＋2n)＝1，
所以＋＝(m＋2n)＝(5＋＋)≥＝，
当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立，
所以＋≥，故＋的最小值为.
(2) 因为m>－1，n>0，m＋2n＝2，
所以(m＋1＋2n)＝1，m＋1>0，
所以＋＝(m＋1＋2n)＝[5＋＋]≥[5＋2]＝3，
当且仅当＝，即m＝0，n＝1时，等号成立，
所以＋≥3，故＋的最小值为3.
2．2.3　基本不等式(3)
【活动方案】
思考：因为a2＋b2≥2ab，
所以＝≥＝ab，
且＝≤＝，
所以ab≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
当a，b>0时， ≤ ≤ ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例1 由得－1≤x≤1.
又()2＋()2＝1－x＋1＋x＝2(定值)，
所以y＝＋≤＝＝2，
当且仅当1－x＝1＋x，即x＝0时，等号成立，
所以ymax＝2.
例2 设矩形长为x(00，2a－x>0.
由基本不等式，得≤＝a，
当且仅当x＝2a－x，即x＝a时，等号成立，
所以当x＝a时，S＝x(2a－x)取得最大值a2.
跟踪训练　由题意，得x＋y＝＝.
设面积和为S，则S＝x2＋y2≥2＝2×＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立，
所以当x＝y＝ m时，Smin＝ m2.
例3 设总造价为y元(y＞0)，池底的一边长为x m(x＞0)，则另一边长为 m，即 m.
由题中条件可得y＝150×＋2×120×3×(x＋)＝150×1 600＋720.
由题意知x＞0，则x＋≥2＝80，当且仅当x＝，即x＝40时，等号成立，
所以y≥150×1 600＋720×80＝297 600，当x＝40时，等号成立，
故当水池设计成底面边长为40 m的正方形时，总造价最低，为297 600元．
例4 由题意知a＞0，b＞0，
由基本不等式，得＋≥2.
因为＋＝1，所以1≥2，故ab≥8，
所以S△ABC＝ab≥4，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立，
所以当△ABC的面积最小时，a＝2，b＝4.
例5 设纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y(x＞0，y＞0)，则xy＝A.
S＝(x＋2a)(y＋2b)＝xy＋2bx＋2ay＋4ab≥xy＋2＋4ab＝A＋4＋4ab＝(＋2)2，
当且仅当2bx＝2ay，即x＝，y＝时，S有最小值(＋2)2，此时纸张的长和宽分别为＋2a和＋2b，
故当纸张的长和宽分别为＋2a和＋2b时，纸张的用量最少．
例6 因为a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，所以＋＋≥9.
【检测反馈】
1. C　设有缺口的一边的篱笆长为x m，矩形的另一边长为y m，菜地的面积为S m2，则2x＋2y＋2＝20，即x＋y＝9，所以(x＋2)＋y＝11.又S＝(x＋2)y，由基本不等式，得S＝(x＋2)·y≤2＝30.25，当且仅当x＋2＝y＝5.5，即x＝3.5时，S取得最大面积30.25，所以当有缺口的一边的篱笆长为3.5 m时，菜地的面积最大．
2. B　设安排男社员x名，女社员y名．根据题意，得＋＝1，平均损耗蔬菜量之和为＋.因为＋＝(＋)·(＋)＝＋＋≥2＋＝＋＝15，当且仅当＝，即x＝8，y＝6时，等号成立，所以分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(单位：kg)与女社员的平均损耗蔬菜量(单位：kg)之和的最小值为15.
3. AC　不妨设矩形的长、宽分别为a，b，则＝a＋b≥2＝2，即≥S.对于A，显然1≤＝1成立，故A符合题意；对于B，显然6≤＝4不成立，故B不符合题意；对于C，显然7≤＝9成立，故C符合题意；对于D，显然3≤＝不成立，故D不符合题意．故选AC.
4. 3　当x∈N*，x≤15时，年平均利润＝16－≤16－2＝10，当且仅当x＝3时取等号，所以当投入使用3年时，此产品的年平均利润取最大值10万元．
5. (1) 由题意，得xy＝162，篱笆总长为x＋2y.
又x＋2y≥2＝2＝36，
当且仅当x＝2y，即x＝18，y＝9时，等号成立．
所以当x＝18，y＝9时，可使所用篱笆总长最小．
(2) 由已知，得x＋2y＝60.
因为＋＝(x＋2y)
＝
≥＝，
当且仅当＝，即x＝y＝20时，等号成立，
所以＋的最小值为.

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