资源简介

3.1.1　函数的概念(1)
1. 在初中用变量之间的对应关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
3. 正确使用函数、区间符号．
活动一 探究函数的概念
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念．
问题1　某“复兴号”高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为s＝350t.这里，t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都存在唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数．
思考1
根据对应关系s＝350t，可知这趟高速列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km，这个说法正确吗？
问题2　某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
思考2
在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
问题3　如图是某市某日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
问题4　国际上常用恩格尔系数r(r＝×100%)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
年份y 2012 2013 2014 2015 2016
恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3
年份y 2017 2018 2019 2020 2021
恩格尔系数r(%) 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6
思考3
上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
思考4
如何用集合语言和对应关系刻画函数？
思考5
f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？
思考6
函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？
思考7
一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．
思考8
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．
思考9
反比例函数y＝(k≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．
例1　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和变化规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．
注意点：
(1) 函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
(2) 符号“f：A→B”表示集合A到集合B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可；
(3) 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性；
(4) f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样；
(5) f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积；
(6) 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
活动二 区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1) 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
(2) 满足不等式a(3) 满足不等式a≤x这里的实数a，b都叫做相应区间的端点．
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，把“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
思考10
如何用区间分别表示满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合？
例2　已知函数f(x)＝＋.
(1) 求函数的定义域；
(2) 求f(－3)，f的值；
(3) 当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
1. 区间(a，b)，必须有b>a.
2. 区间只能表示数集．
3. 区间不能表示单元素集．
4. 区间不能表示不连续的数集．
5. 区间的左端点必须小于右端点．
6. 区间都可以用数轴表示．
7. 以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号．
活动三　探究函数的定义域　
例3　求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝；
(2) g(x)＝.
求下列函数的定义域：
(1) y＝2x＋3；
(2) f(x)＝；
(3) y＝＋；
(4) y＝.
函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函数的定义域可用两种方法表示：集合和区间．
活动四　同一函数的判断　
例4　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1) f(x)＝|x|，g(t)＝；
(2) f(x)＝，g(x)＝x＋2；
(3) f(x)＝x，g(x)＝；
(4) f(x)＝x，x∈[0，1]，g(x)＝x2，x∈[0，1].
试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1) f(x)＝，g(x)＝；
(2) f(x)＝()2，g(x)＝；
(3) y＝x0与y＝1(x≠0)；
(4) y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z.
1. 判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．
2. 如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较．
1. (2025临沂十八中月考)下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是(　　)
A. A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝
B. A＝{x|x>0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x
C. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2
D. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝
2. 若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
则g(f(1))的值为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. (多选)(2024哈尔滨期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A. f(x)＝|x|，g(x)＝
B. f(x)＝，g(m)＝m＋1
C. f(x)＝，g(x)＝·
D. f(x)＝x3，g(x)＝x2
4. 函数f(x)＝的定义域为________．(用区间表示)
5. 已知函数f(x)＝.
(1) 求f＋f(2)的值；
(2) 求f＋f＋…＋f＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)的值．
3．1.1　函数的概念(2)
1. 巩固常见函数定义域的求解方法、掌握抽象函数定义域的求解方法.
2. 会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法．
活动一 巩固函数的概念，求函数的定义域
1. 回顾函数的定义，思考函数的构成要素有哪些？
2．如何求函数的定义域？
例1　求下列函数的定义域：
(1) y＝3－x；
(2) y＝；
(3) y＝－＋.
已知函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，求实数a的值．
求函数定义域的基本方法：
求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．已知函数y＝f(x)：
(1) 若f(x)为整式，则定义域为R；
(2) 若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；
(3) 若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4) 若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5) 若f(x)是由实际问题列出的，则函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
活动二 探究抽象函数的定义域
例2　(1) 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求f(x2)的定义域；
(2) 已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域．
若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
函数f(x2)或函数f(2x＋1)的自变量仍然是x，所以求f(x2)或f(2x＋1)的定义域，依然是求自变量x的取值范围，可以把x2或2x＋1看作一个整体，这个整体的取值范围相当于f(x)中的x的取值范围．
活动三　探究函数的值域　
例3　求下列函数的值域：
(1) f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2) y＝(x－1)2＋1，x∈R.
求下列函数的值域：
(1) f(x)＝|x|－1，x∈{－1，0，1，2}；
(2) f(x)＝1－2x，x∈[－1，2).
1. 函数值域的定义：
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
2. 函数的值域是由函数的定义域和对应法则共同确定的，所以求函数的值域一定要注意定义域是什么，对于同一个函数关系式，当定义域变化时，值域也可能发生变化．
活动四 求函数值
例4　若f(x)＝，求f(0)，f(1)，f(f(2))，f(a＋1)，f(x－1)，f(f(x)).
设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________．
1. (2024淮安期中)函数y＝的定义域是(　　)
A. [－4，0)∪(0，4] B. (－2，2)
C. [－2，0)∪(0，2] D. [－4，4]
2. (2024荆州期末)若函数 f()的定义域是[4，25]，则函数f(x－2)的定义域是(　　)
A. [1，6] B. [2，5] C. [2，6] D. [4，7]
3. (多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3的定义域为[a，b]，值域为[－4，5]，则实数对(a，b)可能为(　　)
A. (－2，4) B. (－2，1) C. (1，4) D. (－1，1)
4. 若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
5. 求下列函数的值域：
(1) y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2) y＝x2－2x＋3，x∈[0，3).
3．1.1　函数的概念(1)
【活动方案】
思考1：不正确．因为根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以这个说法不正确，其原因是没有关注到t的变化范围．对应关系应为s＝350t，其中t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1＝{s|0≤s≤175}．
问题2：工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为ω＝350d，其中d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，ω的变化范围是数集B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}．
思考2：不是同一函数．因为自变量的取值范围不一样．
问题3：从曲线图可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，空气质量指数的值I都在数集B3＝{I|0问题4：由表格可知，y的取值范围是数集A4＝{2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021}，r的取值范围是数集B4＝{r|0思考3：共同特征有：
①都包含两个非空数集，用A，B来表示；
②都有一个对应关系；
③尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
思考4：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫做函数的值域．
思考5：一般地，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量．f(x)表示自变量为x的函数，一般情况下是变量．
思考6：函数的值域是集合B的子集．在问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；在问题3和问题4中，值域是集合B3和B4的真子集．
思考7：一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax＋b(a≠0).
思考8：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，值域是B.当a＞0时，B＝；当 a＜0时，B＝.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数ax2＋bx＋c(a≠0).
思考9：反比例函数y＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}．对应关系f把{x|x≠0}中的任意一个数x，对应到{y|y≠0}中唯一确定的数(k≠0).
例1 如果对x的取值范围作出限制，例如{x|0其中，x的取值范围是A＝{x|0思考10：用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b).
例2 (1) 使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，所以这个函数的定义域是{x|x≥－3，且x≠－2}，即[－3，－2)∪(－2，＋∞).
(2) f(－3)＝＋＝－1，
f＝＋＝＋.
(3) 因为a>0，所以f(a)，f(a－1)有意义，
所以f(a)＝＋，
f(a－1)＝＋＝＋.
例3 　(1) 因为当x－1≥0，即x≥1时，在实数范围内有意义；当x－1<0，即x<1时，在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是{x|x≥1}．
(2) 因为当x＋1≠0，即x≠－1时，有意义；当x＋1＝0，即x＝－1时，没有意义，所以这个函数的定义域是{x|x≠－1，且x∈R}．
跟踪训练　(1) 函数y＝2x＋3的定义域为R.
(2) 要使函数式有意义，则2x－1≠0，即x≠，所以函数的定义域为.
(3) 要使函数式有意义，则即可得x＝1，所以函数的定义域为{1}．
(4) 要使函数式有意义，则x2－1≠0，即x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
例4 (1) 是，因为g(t)＝＝|t|与f(x)＝|x|的定义域，对应关系，值域均相同，只是自变量的字母不同而已．
(2) 不是，因为f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2}，而g(x)的定义域为R.
(3) 是， 因为f(x)＝x与g(x)＝＝x的定义域，对应关系，值域均相同．
(4) 不是， 因为它们的对应关系不同．
跟踪训练　(1) 因为f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，所以它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
(2) 因为函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，所以它们的定义域不相同，所以它们不表示同一函数．
(3) 因为y＝x0要求x≠0，且当x≠0时，y＝x0＝1，所以y＝x0与y＝1(x≠0)的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
(4) y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z这两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
【检测反馈】
1. C　对于A，因为集合A是整数集，其中奇数除以2的结果不是整数，所以y不是x的函数，故A不符合题意；对于B，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故B不符合题意；对于C，因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，故C符合题意；对于D，显然0∈A，但是没有意义，故D不符合题意．
2. D　由表格，得f(1)＝2，则g(f(1))＝g(2)＝1.
3. AB　对于A，f(x)＝|x|，g(x)＝，其对应法则、定义域均相同，且与函数名用的哪个字母没有关系，故A符合题意；对于B，f(x)＝＝g(x)＝x＋1，其对应法则、定义域均相同，且与自变量、函数名用的哪个字母没有关系，故B符合题意；对于C，f(x)的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，g(x)的定义域为[2，＋∞)，即f(x)，g(x)的定义域不同，故C不符合题意；对于D，f(－1)＝－1≠g(－1)＝1，这表明f(x)与g(x)的对应法则不同，故D不符合题意．故选AB.
4. (0，1]　由－1≥0，得≥0，所以可得05. (1) 因为f(x)＝，
所以f＋f(2)＝＋＝.
(2) 因为f(x)＝，
所以f(x)＋f＝＋＝＋＝，
所以f＋f＋…＋f＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＝[f＋f(2 020)]＋[f＋f(2 019)]＋…＋[f＋f(2)]＋f(1)＝2 019×＋＝.
3．1.1　函数的概念(2)
【活动方案】
1. 函数的三要素包括：定义域、对应关系和值域．因为值域由定义域和对应关系完全确定，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
2. 对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求函数定义域的依据．
例1 (1) 函数y＝3－x的定义域为R.
(2) 由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1，
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}．
(3) 要使函数有意义，则
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为{x|－≤x＜2，且x≠0}．
跟踪训练　因为函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，所以x＋1≥0的解为x≤1，所以a＜0，且×1＋1＝0，所以a＝－1.
例2 (1) 因为f(x)的定义域为(0，1)，
所以要使f(x2)有意义，则0即－1所以函数f(x2)的定义域为{x|－1(2) 因为f(2x＋1)的定义域为(0，1)，
即其中的函数自变量x的取值范围是0令t＝2x＋1，则1所以f(t)的定义域为{t|1所以函数f(x)的定义域为{x|1跟踪训练　[0，1)　由题意，得解得0≤x<1，即所求函数的定义域为[0，1).
例3 (1) 因为函数的定义域为{－1，0，1，2，3}，
所以f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
(2) 因为函数的定义域为R，且(x－1)2＋1≥1，
所以这个函数的值域为{y|y≥1}．
跟踪训练　(1) 因为函数的定义域为{－1，0，1，2}，
所以f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0, f(2)＝1，
所以这个函数的值域为{－1，0，1}．
(2) 因为函数的定义域为[－1，2)，所以－1≤x＜2，
所以－4＜－2x≤2，所以－3＜1－2x≤3，
所以这个函数的值域为(－3，3].
例4 f(0)＝＝1；f(1)＝＝0；
f(f(2))＝f＝2；
f(a＋1)＝＝－；
f(x－1)＝＝；
f(f(x))＝f＝＝x.
跟踪训练　－1　因为f(x)＝，所以f(a)＝＝2，所以a＝－1.
【检测反馈】
1. A　由解得－4≤x≤4，且x≠0，所以函数的定义域是[－4，0)∪(0，4].
2. D　因为函数f()的定义域是[4，25]，所以4≤x≤25，则2≤≤5，因此函数f(x)的定义域是[2，5].对于函数f(x－2)，有2≤x－2≤5，解得4≤x≤7，所以函数f(x－2)的定义域是[4，7].
3. ABC　作出f(x)＝x2－2x－3的图象如图所示．由图可知，f(－2)＝f(4)＝5，f(1)＝－4.根据选项可知，当f(x)＝x2－2x－3的定义域为[a，b]，值域为[－4，5]时，实数对(a，b)可能为(－2，4)，(－2，1)，(1，4).故选ABC.
4. [0，4]　由题意可知ax2－2ax＋4≥0在R上恒成立，若a＝0，则4≥0恒成立，符合题意；若a≠0，则解得05. (1)因为x∈{1，2，3，4，5}，
所以函数的值域为{2，3，4，5，6}．
(2)由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，且x∈[0，3)，
结合二次函数的图象可得函数的值域为[2，6).

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