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3．1.2　函数的表示法(1)
1. 掌握函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法).
2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用.
3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单的应用.
活动一 函数的表示法
语言是人与人之间沟通的桥梁，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文表示为：生日快樂！用英文表示为：Happy Birthday！……那么对于函数，又有什么不同的表示法呢？
思考1
在初中学习的函数有哪三种表示法？
思考2
函数的三种表示法是如何定义的？
思考3
函数的三种表示法各有什么优点？
例1　某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另外两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．
购买某种饮料x听，需要y元. 若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
活动二 求函数的解析式
思考4
已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？
思考5
若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？
思考6
用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？
例2　(1) 已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)的解析式；
(2) 设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，方程f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，且函数f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式；
(3) 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)的解析式；
(4) 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
求函数解析式的四种方法
(1) 换元法：适用于大多数情况．换元时，一定要注意自变量的取值范围的变化情况．
(2) 待定系数法：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似地当f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)；当f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝(k≠0)；当f(x)为二次函数时，根据条件可设：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3) 方程组法：这种方法针对特殊题型，如同时出现f(x)和f(或f(－x))时，需要把f(x)、f(或f(－x))分别看作一个整体．通过解方程组消去不需要的f(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．
(4) 配凑法：适用于已知解析式等号两边的形式接近，易于找关系的情况．
(1) 已知f()＝3－x，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
活动三 分段函数
例3　画出函数f(x)＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．
画出函数f(x)＝|x2－1|的图象．
例4　某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)的路程按起步价9元收费，超过 3 km 的路程按2.4 元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．
例5　给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R.
(1) 在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x) 中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2) ＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9.请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
1. 分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫做分段函数．
2. 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的解析式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作图．
某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km 远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离A地的距离s(单位：km)表示为时间t(单位：h)(从A地出发时开始)的函数，再把车速v(单位：km/h)表示为时间t(单位：h)的函数．
1. 已知函数f(x)为一次函数，且f(3)＝7，f(5)＝－1，则f(1)的值为(　　)
A. 15 B. －15 C. 9 D. －9
2. (2025四平期末)已知函数f(x－3)＝x2－x＋1，则f(－1)的值为(　　)
A. －5 B. 3 C. 2 D. －1
3. (多选)(2024毕节期末)已知函数f(x)＝若f(x)＝15，则x的值可以为(　　)
A. －3 B. 3 C. 7 D. 8
4. (2024株洲期末)已知函数f(x)＝则f＝________．
5. (1) 若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，求g(x)的解析式；
(2) 已知f(x)是一次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．
3．1.2　函数的表示法(2)
1. 了解函数的图象，会画出简单函数的图象，并能运用函数的图象解决简单的问题.
2. 会用恰当的方法表示问题中的函数．
3. 体会数形结合思想在数学中的应用.
活动一 探究函数图象的概念
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝(x≠0)以及y＝x2的图象，社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等．
思考1
在初中我们采用什么方法来画函数的图象？
思考2
描点法作图的步骤有哪些？
函数图象的定义：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
活动二　探究简单函数的图象的作法　
例1　试画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝x＋1；
(2) f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3).
思考3
设函数y＝f(x)的定义域为A，集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等吗？请说明理由．
例2　画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝.
画出下列函数的图象，并指出其值域．
(1) y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2) y＝(－2≤x<1，且x≠0).
1. 画函数的图象一定要注意函数定义域的范围，在函数定义域内的图象要画成实线，定义域外的要画成虚线或者不画．若给出的函数的定义域是开区间，函数图象的端点要画成空心点；若给出的函数的定义域是闭区间，函数图象的端点要画成实点．
2. 含有绝对值的函数的图象的画法是：先通过去绝对值，得到几个分段的函数，然后画出所有分段函数的图象，再取有效图象．
活动三 函数表示法的选择
例3　下表是某校高一 (1) 班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．
姓名 测试序号
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
(1) 选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2) 根据表示出来的函数关系分析这三位同学在高一学年的数学学习情况．
例4　依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元．
税率与速算扣除数见下表．
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000] 25 31 920
5 (420 000，660 000] 30 52 920
6 (660 000，960 000] 35 85 920
7 (960 000, ＋∞) 45 181 920
(1) 设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f(t)，并画出图象；
(2) 小王全年综合所得收入额为 117 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是9 600元，依法确定其他扣除是 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
活动四　运用函数图象解决简单的问题　
例5　试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
(2) 若0思考4
(1) 在例5的条件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“x1＜x2＜0”，那么f(x1)与f(x2)哪个大？
(2) 在例5的条件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“|x1|＜|x2|”，那么f(x1)与f(x2)哪个大？
画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2) 若x1(3) 求函数f(x)的值域；
(4) 若关于x的方程f(x)＝k在区间[－1，2]内仅有一个实根，求实数k的取值范围．
函数y＝f(x)的图象在x轴上的投影构成的集合即为函数的定义域，在y轴上的投影构成的集合即为函数的值域．通过函数的图象，可以从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解．
常借助函数图象求解以下几类问题：(1) 比较函数值的大小；(2) 求函数的值域；(3) 分析两函数图象交点的个数；(4) 求解不等式或参数范围．
1. (2024北京昌平期末)向一个给定的容器(如图)中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为y＝f(t)，则下列函数图象中可能是y＝f(t)图象的是(　　)
A B C D
2. （2024洛阳月考）函数f(x)＝－1的图象大致是(　　)
A B C D
3. （多选）（2024眉山青神中学期中）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5 min.乙骑行25 min后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与乙骑行的时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 乙的速度为300 m/min
B. 25 min后甲的速度为400 m/min
C. 乙比甲晚14 min到达B地
D. A，B两地之间的路程为29 400 m
4. （2024莆田五中期中）已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中点A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f（3)）的值为　　　　．
5. 已知f(x)＝
(1) 求f(1)，f(f（－2)）的值；
(2) 画出函数f(x)的图象，并写出f(x)的最大值；
(3) 解不等式f(x)<2.
3.1.2　函数的表示法(3)
1. 理解函数值域的概念，掌握求函数值域的常见方法.
2. 体会分离参数法、换元法、数形结合、分类讨论等思想方法的应用.
活动一 掌握求函数值域的常见方法
在初中学过的一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)：定义域为R，值域为R；反比例函数f(x)＝(k≠0)：定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域为R，值域：当a>0时，{y|y≥}；当a<0时，{y|y≤}．
例1　求下列函数的值域：
(1) y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2) y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）；
(3) y＝；
(4) y＝2x－.
求下列函数的值域：
(1) y＝x＋2＋3；
(2) y＝；
(3) y＝；
(4) y＝.
求函数值域的方法：
(1) 观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2) 配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即将函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3) 分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式．
活动二 探究函数定义域及值域的逆向问题
例2　若函数y＝的定义域是实数集，求实数a的取值范围．
例3　已知函数y＝x2－2ax＋3在区间[－2，2]上的值域为[2，11]，求实数a的值．
若函数f(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
1. 已知min{a，b}表示a，b中的较小值，设f(x)＝min{x＋3，9－x}，则函数f(x)的最大值为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. （2024南阳期末）函数f(x)＝的值域为(　　)
A. [－1，＋∞） B. [3，＋∞） C. [－1，0] D. [－1，3]
3. （多选）（2025佛山二中月考）已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是(　　)
A. [0，1] B. [1，2] C. D. [－1，1]
4. （2024珠海期末）函数y＝的值域为　　　　Ｗ．
5. 求下列函数的值域：
(1) y＝4－；
(2) y＝x＋；
(3) y＝＋.
3．1.2　函数的表示法(1)
【活动方案】
思考1：解析法、列表法和图象法．
思考2：①解析法：就是用解析式表示两个变量之间的对应关系．
②列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
③图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
思考3：①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值．
②列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值．
③图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质．
例1 解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
列表法：
x/本 1 2 3 4 5
y/元 5 10 15 20 25
图象法：
跟踪训练　解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
列表法：
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示．
函数的值域是{2，4，6，8}．
思考4：通常用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x).
思考5：若已知函数的类型，可以用待定系数法求解．
思考6：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．
例2 (1) 因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1).
(2) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋2)＝f(2－x)知，该函数的图象关于直线x＝2对称，
所以＝2，即b＝－4a.①
又图象过点(0，3)，所以c＝3.②
因为方程f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，
设两个实数根为x1，x2，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
所以b2－2ac＝10a2.③
由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3，
所以f(x)＝x2－4x＋3.
(3) 因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，
将x换为－x，得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，
联立消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－.
(4) 方法一：f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，其中＋1≥1，
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
方法二：令＋1＝t，则x＝(t－1)2且t≥1，
函数f(＋1)＝x＋2可化为f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
跟踪训练　(1) 令＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，
即f(x)＝2－x2(x≥0).
(2) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，解得a＝，b＝，
所以f(x)＝x2＋x.
例3 因为f(x)＝|x|＝
所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线，如图所示．其中f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.
跟踪训练　f(x)＝
其图象如图所示．
例4 设路程为x km时，收费额为y元，
当x≤3时，y＝9；当x>3时，按2.4 元/km所收费用为2.4(x－3)，则有y＝9＋2.4(x－3)，
所以收费额关于路程的函数解析式为
y＝
即y＝
例5 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2) 由上图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象如图所示．
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0，
解得x＝－1或x＝0.
结合图象，得出函数M(x)的解析式为
M(x)＝
跟踪训练　从A地到B地所需时间为＝2.5(h)，从B地到A地所需时间为＝3(h)，
所以当0当2.5当3.5所以s＝
v＝
【检测反馈】
1. A　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则解得所以f(x)＝－4x＋19，所以f(1)＝－4＋19＝15.
2. B　对于f(x－3)＝x2－x＋1，令x＝2，可得f(－1)＝f(2－3)＝22－2＋1＝3.
3. AD　当x≤0时，由f(x)＝15，得x2＋6＝15，解得x＝－3或x＝3(舍去)；当x>0时，由f(x)＝15，得2x－1＝15，解得x＝8. 综上，x＝8或x＝－3.故选AD.
4. 3　由题意，得f＝4×－2＝1，f(1)＝31＝3，所以f＝3.
5. (1)设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
因为g(1)＝1，g(－1)＝5, 且图象过原点，
所以解得
所以g(x)＝3x2－2x.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(x＋1)－2f(x－1)＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3对任意x都成立，
所以解得
所以f(x)＝－2x－9.
3．1.2　函数的表示法(2)
【活动方案】
思考1：描点法．
思考2：列表、描点、连线．
例1 描点作出图象，如图所示．
(1) 　(2)
思考3：P≠Q.因为集合P是点集，P中元素组成的图形是函数y＝f(x)，x∈A的图象，而集合Q是数集，它是函数y＝f(x)，x∈A的值域．
例2 (1)
(2) f(x)＝＝＝2－，x≠1，
跟踪训练　(1) 如图1所示．其值域为.
(2) 如图2所示．其值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞).
图1 图2
例3 (1) 不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
(2) 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但表示他的成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
例4 (1) 根据表中数据，可得函数y＝f(t)的解析式为
y＝
函数图象如图所示．
(2) 根据公式②，小王全年应纳税所得额为
t＝117 600－60 000－117 600×(8%＋2%＋1%＋9%)－9 600－560＝0.8×117 600－70 160＝23 920(元).
将t的值代入y＝0.03t，得y＝0.03×23 920＝717.6(元).
故小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元．
例5 函数的图象如下：
(1) f(3)>f(－2)>f(1).
(2) f(x1)思考4：(1) f(x1)>f(x2).　(2) f(x1)跟踪训练　函数的图象如下：
(1) 根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)(2) 根据图象，容易发现当x1(3) 根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，故函数的值域为(－∞，4].
(4) 原方程可变形为－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数 y＝－x2＋2x＋3和函数y＝k图象的交点个数问题，根据f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－1，2]的图象，移动直线y＝k，易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点，所以实数k的取值范围为{k|0≤k<3或k＝4}.
【检测反馈】
1. C　因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状可知，水面高度的变化情况应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢，故选C.
2. D　因为f(x)＝－1＝1－，x≠1，所以函数f(x)的图象是由函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增，故A，C错误；易知f(0)＝2，故B错误．
3. ABD　因为乙比甲早出发5 min，由图知乙的速度为＝300 m/min，故A正确；设甲的原速度为v，由图可知25×300－(25－5)v＝2 500，解得v＝250 m/min，所以25 min后甲的速度为250×＝400 m/min，故B正确；由图象，得当x＝86时，甲到达B地，此时乙距离B地还有250×20＋400×(86－25)－300×86＝3 600 m，所以还需要＝12 min，所以乙比甲晚12 min到达B地，故C不正确；A，B两地之间的路程为250×20＋400×(86－25)＝29 400 m，故D正确．故选ABD.
4. 1　由f(3)＝2，得g(f(3))＝g(2)＝1.
5. (1) 由题意，得f(1)＝12＝1，f(－2)＝－2＋2＝0，
则f(f(－2))＝f(0)＝0.
(2) f(x)的图象如图，由图象可知，f(x)的最大值为4.
(3) 当x≤－1时，由f(x)<2，得x＋2<2，
解得x<0，所以x≤－1；
当－1解得－当x>2时，由f(x)<2，得－x＋6<2，
解得x>4，所以x>4.
综上，不等式f(x)<2的解集为{x|x<或x>4}．
3．1.2　函数的表示法(3)
【活动方案】
例1 (1) 值域为{2，3，4，5，6}．
(2) y＝(x－1)2＋2.
因为x∈[0，3)，所以(x－1)2∈[0，4)，
所以(x－1)2＋2∈[2，6)，
所以这个函数的值域为[2，6).
(3) y＝＝2＋.
因为≠0，所以2＋≠2，
所以这个函数的值域为{y|y≠2}．
(4) 这个函数的定义域为[1，＋∞)，
y＝2x－＝2(x－1)－＋2.
设t＝，t≥0，则y＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋.
因为t≥0，所以≥0，
所以2＋≥，
所以这个函数的值域为.
跟踪训练　(1) [3，＋∞)　(2) [0，4]
(3) [－1，0)　(4) [－1，1)
例2 由题意得ax2－ax＋≥0对任意x∈R成立，
易知a≠0，所以可得0即实数a的取值范围为(0，2].
例3 y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.
①如图1，当a≥2时，则无解；
②当a≤－2时，则无解；
③当－2如图2，当a＝1时，y＝x2－2x＋3，当x＝－2时，y＝4＋4＋3＝11.
如图3，当a＝－1时，y＝x2＋2x＋3，当x＝2时，y＝4＋4＋3＝11.
综上所述，实数a的值为±1.
图1 图2 图3
跟踪训练　要使原函数有意义，则mx2＋mx＋3≠0.
因为函数的定义域为R，
所以mx2＋mx＋3≠0对一切实数x恒成立．
①当m＝0时，3≠0成立，所以m＝0满足题意；
②当m≠0时，由Δ＝m2－12m＜0，解得0＜m＜12.
综上所述，实数m的取值范围为[0，12).
【检测反馈】
1. C　令x＋3>9－x，解得x>3；令x＋3≤9－x，解得x≤3，所以f(x)＝当x≤3时，f(x)的值域为(－∞，6]；当x>3时，f(x)的值域为(－∞，6)，所以函数f(x)的最大值为f(3)＝6.
2. D　由题意，得当0≤x≤3时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以当x＝2时，ymin＝－1，当x＝0时，ymax＝3；当－3≤x<0时，f(x)＝x＋3∈[0，3)，所以函数f(x)的最小值为－1，最大值为3，即函数f(x)的值域为[－1，3].
3. ABC　由y＝x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，解得x＝1.由y＝x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，故A符合；若b＝2，则0≤a≤1，故B，C符合；若b＝1，则a＝0，故D不符合．故选ABC.
4. [0，4]　由y＝，得x(8－x)≥0，解得0≤x≤8.又x(8－x)≤2＝16，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立，所以≤4.故函数y＝的值域为[0，4].
5. (1)由题意，得y＝4－＝4－，x∈[－1，3]，
所以0≤－(x－1)2＋4≤4，
所以0≤≤2，
所以4－2≤4－≤4－0，
即2≤y≤4，故值域为[2，4].
(2)函数y＝x＋，定义域为，
令t＝≥0，
所以x＝，所以y＝＋t＝－＋t＋，t≥0，
所以当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1，
故值域为(－∞，1].
(3)由题意，得解得3≤x≤5，
则y2＝2＋2＝2＋2，3≤x≤5，
所以－(x－4)2＋1∈[0，1]，
所以2≤y2≤4.
又y>0，所以≤y≤2，故函数的值域为[，2].

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