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3.2.2　奇 偶 性(1)
1. 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2. 会判断一些简单函数的奇偶性.
活动一 探究偶函数和奇函数的概念
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下面继续研究函数的其他性质．
画出并观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
思考1
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
1. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2. 图象特征：图象关于y轴对称．
思考2
观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象（如图）， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
　　　
1. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2. 图象特征：图象关于原点对称．
活动二　探究偶函数和奇函数定义域的特征　
思考3
对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？
(1) 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
(2) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
(3) 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
(4) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称．
活动三　探究判断函数奇偶性的方法　
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4；
(2) f(x)＝x5；
(3) f(x)＝x＋；
(4) f(x)＝.
例2　判断函数f(x)＝x3＋5x是否具有奇偶性．
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3) f(x)＝；
(4) f(x)＝0.
1. 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．
2. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立．
思考4
(1) 判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性；
(2) 如图是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
(3) 一般地，如果知道y＝f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
活动四 探究函数奇偶性的简单应用
例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1，2a]，求函数f(x)的值域．
若函数f(x)＝为奇函数，则a＝　　　　．
1. （2024泉州期中）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－1，则f(－2)的值为(　　)
A. － B. － C. －3 D. 3
2. 已知函数f(x)是定义在区间(－3，0)∪(0，3)上的奇函数，当0A. (－1，0)∪(1，3) B. (－3，－1)∪(1，3)
C. (－1，0)∪(0，1) D. (－3，－1)∪(0，1)
3. （多选）（2025眉山期末）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的有(　　)
A. y＝－ B. y＝|x|
C. y＝－x D. y＝x2－1
4. （2025汕尾期末）若函数f(x)＝(x－a)(x＋2)为偶函数，则实数a的值为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝ 是定义在区间(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 判断f(x)在区间(－2，2)上的单调性，并用定义证明．
3.2.2　奇 偶 性(2)
1. 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质．
2. 应用函数的性质解决简单的问题.
3. 体会数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用.
活动一 巩固函数奇偶性的概念，判断复杂函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝(x－2)；
(2) f(x)＝
活动二　利用函数奇偶性求函数解析式及单调区间　
例2　已知奇函数f(x)＝
(1) 求实数m的值，并在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定实数a的取值范围．
设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式并求其单调区间．
求给定区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为已知区间上的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
活动三 探究奇函数与偶函数的单调性
思考1
观察下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？
　　　
思考2
观察下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？
　　　
例3　已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1）上单调递增．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求实数a的取值范围．
已知f(x)是R上的偶函数，在区间[0，＋∞）上单调递增，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．
1. 利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出相应区间上的单调性．
2. 解含“f”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f(x1)f(x2)的形式；二是f(x)的单调性已知，特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)f(|x2|)的形式，利用x∈[0，＋∞）的单调性求解．
活动四 函数奇偶性与单调性的综合应用
例4　已知函数f(x)满足：当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
(2) 若当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－，试求函数f(x)在区间[－2，6]上的最值．
已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
(1) 求证：f(0)＝1；
(2) 判断函数y＝f(x)的奇偶性．
判断抽象函数的奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，要认真体会赋值法在解题中的作用．
1. （2025武威期末）若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在区间[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b 的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
2. （2024朝阳期末）已知偶函数f(x)在区间（－∞，0]上单调递增，则满足f(3x＋2)A. (－∞，－2)∪（，＋∞）　 B. （，＋∞）
C. （－2，）　　 D. (－∞，－2)
3. （多选）（2024福建期中）若f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h(x)＝f(x)g(x)的部分图象可能为(　　)
A B C D
4. （2025新乡期末）已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－－2，则不等式(x－1)f(x)<0的解集是　　　　．
5. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. 现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象，完成以下问题.
(1) 画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；
(2) 求函数f(x)的解析式；
(3) 若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1，2]，求函数g(x)的最小值.
3．2.2　奇 偶 性(1)
【活动方案】
背景引入：可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．
　　
思考1：不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
实际上， x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，这时称函数f(x)＝x2为偶函数．
思考2：可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，如下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
g(x)＝ … － － －1 1 …
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数．
实际上， x∈R，f(－x)＝－x＝－f(x)，这时称函数f(x)＝x为奇函数．
思考3：(1) 正确　(2) 不正确　(3) 正确　(4) 不正确
例1 (1) 函数f(x)＝x4的定义域是R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数f(x)＝x4是偶函数．
(2) 函数f(x)＝x5的定义域是R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x5是奇函数．
(3) 函数f(x)＝x＋的定义域是{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋是奇函数．
(4) 函数f(x)＝的定义域是{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．
例2 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数．
跟踪训练　(1) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
(2) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(3) 函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数．
(4) 函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
思考4：(1) 函数f(x)＝x3＋x的定义域为R.因为 x∈R，都有－x∈R，且有f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
(2) 由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象．如图所示．
(3) 我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．
例3 由题意，得a－1＋2a＝0，
所以a＝，f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以b＝0，
所以f(x)＝x2＋1，
所以函数f(x)在上的值域为.
跟踪训练　　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以(2a－1)x＝0，所以a＝.
【检测反馈】
1. C　因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
2. B　因为f(x)是定义在区间(－3，0)∪(0，3)上的奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，结合图象可知，当x∈(－3，－1)时，f(x)<0，f(－1)＝0；当x∈(－1，0)时，f(x)>0.由x·f(－x)＝－xf(x)<0，得xf(x)>0，则当x∈(－3，－1)∪(1，3)时，xf(x)>0，即不等式的解集为(－3，－1)∪(1，3).
3. BD　对于A，y＝－为奇函数，故A错误；对于B，y＝|x|为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y＝－x为奇函数，故C错误；对于D，y＝x2－1为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增，故D正确. 故选BD.
4. 2　由题意，得f(－x)＝f(x)，所以(x－a)(x＋2)＝(－x－a)(－x＋2)，即x2＋(2－a)x－2a＝x2＋(a－2)x－2a，化简，得2(a－2)x＝0，所以a－2＝0，解得a＝2.
5. (1)由题意，得解得
即f(x)＝.
经检验，f(x)＝在区间(－2，2)上是奇函数，
故a＝1，b＝0.
(2)f(x)＝在区间(－2，2)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(－2，2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1因为x1，x2∈(－2，2)，
所以x∈[0，4)，x∈[0，4)，x1x2∈(－4，4)，
所以4－x>0，4－x>0，x1x2＋4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
3．2.2　奇 偶 性(2)
【活动方案】
例1　(1) 因为所以
所以－1≤x<0或0所以f(x)＝.
因为对于任意的x∈[－1，0)∪(0，1]，
都有－x∈[－1，0)∪(0，1]，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2) 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－x2＋2x－3＝－f(x)；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3＝－f(x).
又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数．
跟踪训练　(1) 由≥0，得定义域为[－2，2)，关于原点不对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2) 当x<－1时，－x>1，
所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x>1时，－x<－1，
所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，
所以f(－x)＝0＝f(x)，
所以对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
例2 (1) 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示：
(2) 由(1)知f(x)＝
由图象可知，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
要使f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，
只需解得1＜a≤3.
故实数a的取值范围为(1，3].
跟踪训练　当x<0时，－x>0，
所以 f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1.
因为 f(x)是R上的奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－1.
又f(0)＝0，所以 f(x)＝增区间为R.
思考1：偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的，即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
思考2：奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的，即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．
例3 因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，
所以f(a－2)<－f(3－2a).
又f(x)为奇函数，所以f(a－2)因为f(x)在区间[0，1)上单调递增，
所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增，
所以所以
所以1跟踪训练　由于f(x)是偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，故其图象关于y轴对称，且在区间(－∞，0]上单调递减．
由于f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，
根据其图象性质可知|－2a＋3|>|2a－1|，
两边平方得(－2a＋3)2>(2a－1)2，
整理得8>8a，解得a<1，
所以实数a的取值范围为(－∞，1).
例4 (1) 函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x).
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2) 任取0因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，
所以f(x2)－f(x1)<0，又f(x)是奇函数，
所以f(x)是R上的减函数，
所以f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
因为f(1)＝－，所以f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3，
所以f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3.
跟踪训练　(1) 令x＝0，y＝0，
得2f(0)＝2f(0)·f(0)，所以f(0)＝0或f(0)＝1.
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2) 令x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y).
又f(0)＝1，即f(－y)＝f(y)，
即对任意x∈R，都有f (－x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
【检测反馈】
1. B　由题意，得解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.
2. A　因为偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，所以由f(3x＋2)4，即3x＋2<－4或3x＋2>4，解得x<－2或x>，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)∪(，＋∞).
3. AC　因为f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，所以h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，所以函数h(x)为奇函数，所以h(x)的图象关于原点对称．故选AC.
4. {x|－21时，x－1>0，令f(x)<0，解得10，不满足题意．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝f(2)＝0，当x<0时，x－1<0，令f(x)>0，解得－25. (1) 如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f(x)的图象：
由图可知，函数f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)，(0，1).
(2) 令x>0，则－x<0，所以f(－x)＝x2－2x.
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2－2x，
所以f(x)＝
(3) 因为g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，
所以g(x)＝x2－2x－2ax＋2＝x2－2(1＋a)x＋2，图象的对称轴为直线x＝a＋1，开口向上，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；
当1当a＋1>2，即a>1时， g(x)min＝g(2)＝2－4a.
综上，g(x)min＝

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