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3.3　幂　函　数
1. 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
2. 体会数形结合、分类讨论等方法的应用.
3. 通过研究幂函数的有关性质，培养观察、分析、归纳的思维能力.
活动一 幂函数的概念
(1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数（也可以表示为S）；
(5) 如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数.
思考1
上述(1)～(5)中函数的对应关系分别是什么？
思考2
上述5个函数具有什么共同特征？
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考3
判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
例1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为　　　　．
只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．　　
已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．
活动二　幂函数的图象和性质　
例2　写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
(1) y＝x3；
(2) y＝x；
(3) y＝x-2.
思考4
在同一平面直角坐标系中画出下列函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象．
思考5
观察函数图象并结合函数解析式，你能填写表格的内容吗？
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
思考6
通过图象和表你能发现什么规律？
例3　求证：幂函数f(x)＝是增函数．
证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．
求证：函数f(x)＝－x3＋1是减函数．
活动三　幂函数的性质的应用　
例4　试比较下列各组数的大小：
(1) 1.13，0.893；
(2) 2.1，2，1.8；
(3) 0.813，1，3.14.
比较两个幂值的大小要仔细观察它们的异同点，当指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较；当指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用进行比较．
比较下列各组数的大小：
(1) ，；
(2) 2-2，2.5-2；
(3) 1.1-1，1.2-1；
(4) 4.13，3.8-2，－1.92.
1. （2025徐州期末）若幂函数y＝(m＋1)xα的图象经过点(8，4)，则m＋α的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
2. 已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)
A B C D
3. （多选）（2024银川期末）已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)x－m-1，m∈N*，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝1 B. 函数f(x)是偶函数
C. f(－2)4. （2025榆林期末）请写出一个幂函数f(x)满足以下两个条件：①定义域为(0，＋∞)；②f(x)为减函数，则f(x)＝　　　　．
5. 已知幂函数f(x)＝(m2＋m－11)xm+7在区间(－∞，0)上单调递增．
(1) 求实数m的值；
(2) 当满足f(2－a)>f(a－1)时，求实数a的取值范围．
3．3　幂　函　数
【活动方案】
思考1：(1) p＝w　(2) S＝a2　(3) V＝b3　(4) c＝S　(5) v＝t-1
思考2：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数．
思考3：满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝x，y＝x2，y＝x-1都是幂函数，但y＝3x2，y＝(2x)3，y＝都不是幂函数．
例1 1　因为y＝＝x-2，所以是幂函数；y＝2x2的系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0(x≠0)的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y＝1不是幂函数．综上，幂函数的个数为1.
跟踪训练　由题意，得
解得或
当m＝1，n＝时，y＝x0的定义域不是R，不合题意，舍去；当m＝－3，n＝时，y＝x8符合题意，
所以m＝－3，n＝.
例2 (1) 函数y＝x3的定义域是R.
因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有(－x)3＝－x3，所以由奇函数的定义知，函数y＝x3是奇函数．
(2) 函数y＝x＝，其定义域是[0，＋∞).
因为当x∈(0，＋∞)时，－x (0，＋∞)，所以由奇函数、偶函数的定义知，函数y＝x既不是奇函数，也不是偶函数．
(3) 由函数y＝x-2＝可知x≠0，所以此函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且(－x)-2＝x-2，所以由偶函数的定义知，函数y＝x-2是偶函数．
思考4：
思考5：
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数，也不是偶函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在区间(0，＋∞)上单调递增， 在区间(－∞，0)上单调递减 在R上单调递增 在区间[0，＋∞)上单调递增 在区间(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减
思考6：①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；
②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减；
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
⑤在第一象限内，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
例3 　函数的定义域是[0，＋∞).
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
因为x1－x2<0，＋>0，
所以f(x1)跟踪训练　设x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x).
因为x10.
又x＋x1x2＋x＝＋x，
且≥0，x≥0，
上式中两等号不能同时取得，否则x1＝x2＝0与x10，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝－x3＋1为减函数．
例4 　(1) 因为函数y＝x3是增函数，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893.
(2) 因为函数y＝x是增函数，又2.1>2＞1.8，所以2.1>2＞1.8.
(3) 因为函数y＝x3是增函数，
又0.81＜1，所以0.813＜13＝1.
因为函数y＝x是增函数，
又3.14＞1，所以3.14>1＝1，
所以0.813＜1＜3.14.
跟踪训练　(1) 因为函数y＝x3是增函数，又＞，所以＞.
(2) 因为函数y＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，又2＜2.5，所以2-2＞2.5-2.
(3) 因为函数y＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，又1.1＜1.2，所以1.1-1＞1.2-1.
(4) 因为函数y＝x3是增函数，又4.1＞1，
所以4.13＞13＝1.
因为函数y＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，又3.8＞1，所以0＜3.8-2＜1-2＝1.
因为－1.92＜0，所以4.13＞3.8-2＞－1.92.
【检测反馈】
1. A　因为函数y＝(m＋1)xα为幂函数，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以y＝xα. 因为函数y＝xα的图象经过点(8，4)，所以8α＝4，即23α＝22，所以3α＝2，解得α＝，所以m＋α＝.
2. B　因为g(x)＝f(－x)，所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图所示，所以g(x)的图象为B选项．
3. ABD　因为f(x)＝(m2＋m－1)x－m-1是幂函数，且 m∈N*，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1，所以f(x)＝x-2，故A正确；因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故B正确；又f(－2)＝，f(3)＝，所以f(－2)>f(3)，故C错误；由f(x)＝x-2＝>0，得函数f(x)的值域为(0，＋∞)，故D正确.故选ABD.
4. x－(答案不唯一)　易知f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为减函数，满足题意．
5. (1) 由题意，得m2＋m－11＝1，解得m＝3或m＝－4.
因为f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，所以m＝－4.
(2) 由(1)知，f(x)＝x3在R上单调递增，且f(2－a)>f(a－1)，
所以 2－a>a－1，解得a<.
故实数a的取值范围是.

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