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4.1.1　n次方根与分数指数幂
1. 了解n次方根的概念及其性质.
2. 了解根式的概念及其性质.
3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．
活动一 n次方根
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．
初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝记作c＝S.像S这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
思考1
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？
思考2
类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的 n次方根？
思考3
类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？
活动二　根式　
思考4
什么是根式？
思考5
根式中的被开方数的范围是怎样的？
思考6
表示an的n次方根，＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
例1　求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) (a≤3).
活动三　利用根式的性质化简或求值　
例2　化简：（）2＋＋＝　　　　．
在根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对当且仅当a≥0时，恒有＝（）n，若a<0，则不一定．
化简＋的结果是　　　　．
活动四　有限制条件的根式的化简　
例3　设－3此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
例3中，若将“－3活动五　分数指数幂　
思考7
根据n次方根的定义和数的运算，我们知道
＝＝a2＝a(a>0)，
＝＝a3＝a(a>0).
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
思考8
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
一般地，我们规定a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1).这就是正数a的正分数指数幂的意义．由此可知，2的意义为2＝.
仿照负整数指数幂的意义，我们规定a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) .
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
思考9
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？
例4　求下列各式的值：
(1) 100；
(2) 8；
(3) 9－；
(4) .
求下列各式的值：
(1) 27；
(2) 25－；
(3) ；
(4) .
在进行求解时，首先要将比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．
活动六 用分数指数幂表示根式
例5　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1) a2·；
(2) ；
(3) .
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1) a3·；
(2) a2·；
(3) .
1. （2024佛山三中期中）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是(　　)
A. ＝a(a>0) B. x－＝－(x>0)
C. x－y＝(x>0，y>0) D. ＝x(x>0)
2. 若ab<0，则化简a＋b的结果是(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3. （多选）（2024兰州期中）若<1，化简－－3的结果可能为(　　)
A. 2x－10 B. 4x－6
C. －2x＋4 D. －4x－10
4. （2024江南十校联考）化简：2×3×＝　　　　．
5. 化简下列各式：
(1) ；
(2) 0.25×－4÷20－.
4.1.1　n次方根与分数指数幂
【活动方案】
思考1：如果x2＝a，那么x称为a的平方根．如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，可知正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根；一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2，0的平方根、立方根均为0.
思考2：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
思考3：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根用符号表示；
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；
负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作＝0.
思考4：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
思考5：在根式中，当n为奇数时，a∈R；
当n为偶数时，a≥0.
思考6：不一定成立，当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
例1 (1) ＝－8.
(2) ＝|－10|＝10.
(3) ＝|3－π|＝π－3.
(4) ＝|a－b|＝
跟踪训练　(1) ＝|－3|＝3.
(2) ＝|－2|＝2－.
(3) ＝a－3.
例2 a－1　由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
跟踪训练　　＋＝a＋|1－a|＝
例3 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
因为－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
所以原式＝
跟踪训练　原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|.
因为x≤－3，所以x－1≤－4，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
思考7：这表明，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
思考8：可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，，等写成下列形式：＝a (a>0)，＝b (b>0)，＝c (c>0).
思考9：由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
例4 (1) 100＝(102)＝102×＝10.
(2) 8＝(23)＝23×＝22＝4.
(3) 9－＝(32) －＝3-3＝.
(4) ＝＝＝＝＝.
跟踪训练　(1) 27＝(33)＝32＝9.
(2) 25－＝(52)－＝5-3＝.
(3) ＝(3-1)-4＝34＝81.
(4) ＝＝＝27.
例5　(1) a2·＝a2·a＝a2+＝a.
(2) ＝＝a－.
(3) ＝＝＝(a)＝a.
跟踪训练　(1) a3·＝a3·a＝a3+＝a.
(2) a2·＝a2·a＝a2+＝a.
(3) ＝(a)＝(a·a)＝(a)＝a.
【检测反馈】
1. B　对于A，＝＝＝＝a(a>0)，故A正确；对于B，x－＝＝(x>0)，故B错误；对于C，x－y＝·＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，＝()＝(x)＝x(x>0)，故D正确．
2. B　a＋b＝a＋b＝＋＝(＋).因为ab<0，所以a，b异号，a|b|＋|a|b＝0，所以＋＝＝0，即a＋b＝0.
3. AC　由<1，得－1<0，即>0，所以(x＋2)(x－2)>0，解得x<－2或x>2，则－－3＝－|x＋2|－3＝|3x－5|－|x＋2|－3＝故选AC.
4. 18　2×3×＝2×3×3××(22×3)＝21-+2××3+1+＋＝18.
5. (1) ＝＝＝＝＝＝a.
(2) 0.25×－4÷20－＝×(－2)－4÷1－4＝－－4－4＝－.

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