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4.3.1　对数的概念
1. 理解指数式和对数式之间的关系.
2. 理解对数的概念，能熟练地进行指数式和对数式的互化.
3. 了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.
活动一 对数、常用对数与自然对数的概念
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
思考1
你能给对数下一个定义吗？
思考2
在科学计算器上，有两个特殊符号“log”“ln ”，你知道它们表示的含义吗？
活动二　指数式与对数式的互化　
思考3
根据对数的定义，对数与指数间有什么关系？
例1　将下列指数式化为对数式：
(1) 24＝16；　　　　(2) 3-3＝；
(3) 5a＝20； (4) ＝0.45.
例2　将下列对数式化为指数式：
(1) log5125＝3； (2) lg 0.01＝－2；
(3) ln 10＝2.303.
1. 掌握指数式与对数式的关系，即ax＝N x＝logaN.
2. 对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) 2-2＝； (2) 102＝100；
(3) ea＝16； (4) 64－＝；
(5) log381＝4； (6) logxy＝z.
活动三　利用对数定义求值　
例3　求下列各式的值：
(1) log264；
(2) log927.
求下列各式的值：
(1) log101 000；
(2) log99；
(3) log4128；
(4) log41.
例4　求下列各式中的x的值：
(1) log64x＝－；
(2) logx8＝6；
(3) lg 100＝x；
(4) －ln e2＝x.
要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.
活动四　对数的基本性质　
思考4
在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？
思考5
是不是所有的实数都有对数？为什么？
思考6
根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1与logaa的值吗？
思考7
已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.
(1) logaa2＝　　　　，logaa5＝　　　　，
logaa-3＝　　　　，logaa＝　　　　，
一般地，logaab＝　　　　，你能证明这个结论吗？
(2) 你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？
例5　求下列各式中x的值：
(1) log2(log5x)＝0；
(2) log3(lg x)＝1；
(3) 81－log85＝x.
若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z＝　　　　．
1. 使式子log(3x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A. (2，＋∞) B. （，2）
C. （，）∪（，2） D. (－∞，2)
2. （2025北京大兴期末）方程log2x2＝1的解集为(　　)
A. {1} B. {－1，1}
C. {} D. {－，}
3. （多选）（2025南充白塔中学月考）下列指数式与对数式的互化中，正确的是(　　)
A. e0＝1与ln 1＝0 B. 8－＝与log8＝－
C. log39＝2与9＝3 D. log77＝1与71＝7
4. （2025湖北期末）计算：＋31－log34＝　　　　．
5. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) log216＝4；
(2)27＝－3；
(3) logx＝3；
(4) 53＝125；
(5) 2-1＝.
4.3.1　对数的概念
【活动方案】
思考1：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
思考2：通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N．
在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
故在科学计算器上，符号“log”表示进行常用对数运算，“ln ”表示进行自然对数运算．
思考3：当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
例1 (1) log216＝4.
(2) log3＝－3.
(3) log520＝a.
(4) 0.45＝b.
例2 (1) 53＝125.
(2) 10-2＝0.01.
(3) e2.303＝10.
跟踪训练　(1) log2＝－2.
(2) lg 100＝2.
(3) ln 16＝a.
(4) log64＝－.
(5) 34＝81.
(6) xz＝y.
例3 (1) 由26＝64，得log264＝6.
(2) 设 x＝log927，则根据对数的定义知9x＝27，即32x＝33，得2x＝3，x＝，所以log927＝.
跟踪训练　(1) 由103＝1 000，得log101 000＝3.
(2) 由91＝9，得log99＝1.
(3) 设 x＝log4128，则4x＝128，即22x＝27，得2x＝7，x＝，所以log4128＝.
(4) 由40＝1，得log41＝0.
例4 (1) x＝(64)－＝(43)－＝4-2＝.
(2) 因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3) 因为10x＝100＝102，所以x＝2.
(4) 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.　
思考4：由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，又ax>0，所以N>0.
思考5：负数与0没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数．
思考6：因为对任意a>0且a≠1，都有a0＝1，所以化成对数式为loga1＝0.
因为a1＝a，所以化成对数式为logaa＝1.
思考7：(1) 2　5　－3　
b，证明如下：
设logaab＝t，则根据对数的定义知at＝ab，得t＝b，
所以logaab＝b.
(2) 令t＝logaN，t∈R，则at＝N，所以alogaN＝at＝N.
例5 (1) 因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，
所以x＝5.
(2) 因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝3，
所以x＝103＝1 000.
(3) 因为81－log85＝＝，所以x＝.
跟踪训练　9　因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
【检测反馈】
1. C　因为log(3x－1)(2－x)有意义，所以解得2. D　由log2x2＝1，得log2x2＝log22，则x2＝2，解得x＝±，所以方程log2x2＝1的解集为{－，}．
3. ABD　对于A，由e0＝1，得ln 1＝0，故A正确；对于B，由8－＝，得log8＝－，故B正确；对于C，由log39＝2，得32＝9，故C错误；对于D，由log77＝1，得71＝7，故D正确. 故选ABD.
4. 3　原式＝2＋＝＋3÷4＝3.
5. (1) 24＝16.
(2) ＝27.
(3) ()3＝x.
(4) log5125＝3.
(5) log2＝－1.

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