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4.5.3　函数模型的应用
1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情景中，会选择合适的函数类型来刻画现实问题的变化规律．
2. 结合现实情景中的具体问题，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
3. 培养应用数学方法分析问题、探索问题、解决问题的能力．
活动一 利用已知函数模型求解实际问题
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
例1　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t 表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
(1) 根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型；
(2) 利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(3) 以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
思考
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0（单位：℃），经过一定时间t（单位：min）后的温度是T（单位：℃），则T－Tα＝(T0－Tα)·，其中Tα（单位：℃）表示环境温度，h（单位：min）称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？（结果精确到0.1）
活动二 自建函数模型解决实际问题
例2　2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥） 上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
　建立数学模型应注意的问题
用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，将实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：
(1) 事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
(2) 文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．
(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1) 求每年砍伐面积的百分比；
(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3) 今后最多还能砍伐多少年？
活动三 函数模型的选择问题
例3　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案的年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案的年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？（结果精确到0.01万元）
例4　某纪念章从2020年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x（天） 4 10 36
市场价y（元） 90 51 90
(1) 根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，并说明理由；
①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝＋b.
(2) 利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市时间及最低的市场价．
不同函数模型的选取标准：
(1) 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
(2) 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
(3) 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
(4) 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
1. （2024江苏学业水平合格考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计算方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
已知某用户本月的用水量为15 m3，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是(　　)
A. 45 B. 54 C. 72 D. 90
2. （2024深圳期末）地震时释放出的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为：lg E＝4.8＋1.5M.2008年5月12日，我国汶川发生了里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2023年12月18日甘肃积石山发生的里氏6.2级地震的（参考数据：100.9≈8）(　　)
A. 64倍 B. 256倍 C. 512倍 D. 1 024倍
3. （多选）（2024菏泽鄄城县一中月考）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：
时间（天） 1 2 3 4
利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99
则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是(　　)
A. y＝log2x B. y＝2x C. y＝ D. y＝2x
4. （2024北京月考）某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718……为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　h．
5. 已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y h后，药物在病人血液中的量为x个单位．
(1) 求y与x的关系式；
(2) 当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时（精确到整数）？
（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
4.5.3　函数模型的应用
【活动方案】
例1　(1) 由题意知y0＝55 196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r，则根据马尔萨斯人口增长模型，有67 207＝55 196e9r，由计算工具得r≈0.021 876.
因此我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.021 876t， t∈[0，9].
(2) 分别取t＝1，2，…，8，由y＝55 196e0.021 876 t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表所示．
年份 1951 1952 1953 1954
计算所得人口总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243
实际人口总数/万 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958
计算所得人口总数/万 61 576 62 938 64 330 65 753
实际人口总数/万 61 465 62 828 64 563 65 994
根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.021 876 t(t∈[0，9])的图象．
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(3) 将y＝130 000代入y＝55 196e0.021 876 t，由计算工具得t≈39.16，
所以如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿．
思考：因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
跟踪训练　由题意，得40－24＝(88－24)×，即＝，解得h＝10，故T－24＝64×.
当T＝35时，代入上式，
得35－24＝64×，即＝，
两边取对数，用计算器求得t≈25.4，
因此，约需要25.4 min，可降温到35℃.
例2 设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0根据问题的实际意义，可选择如下模型：
y＝k(1－p)x （k∈R，且k≠0； 0由碳14的半衰期为5 730年，得k(1－p)5 730＝k.
于是1－p＝，所以y＝k.
由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，k＝55.2% k，即＝0.552，解得x＝，由计算工具得x≈4 912.
因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，
所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．
跟踪训练　(1) 设每年砍伐面积的百分比为x(0即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2) 设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
所以＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3) 设从今年开始，以后砍伐了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
所以≥，所以≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
例3 　设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N* )进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1 (x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况．
x 方案一 方案二 方案三
y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4
再画出三个函数的图象如下：
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元．
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下：
方案 天数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三．
跟踪训练　按甲方案，每年的利息为100×10%＝10（万元），5年后本息合计150万元；
按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86（万元）.
故乙方案投资更有利，按乙方案投资5年可多得利息3.86万元．
例4 (1) 选取②y＝ax2＋bx＋c.
理由如下：因为随着上市时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中①y＝ax＋b和③y＝＋b显然都是区间(0，＋∞)上的单调函数，不满足题意，所以选取②y＝ax2＋bx＋c.
(2) 把点(4，90)，(10，51)，(36，90)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得
所以y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26，
所以当x＝20时，y有最小值26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为每枚26元.
跟踪训练　借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示），观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
【检测反馈】
1. B　由题意，得该用户本月应交纳的水费为12×3＋(15－12)×6＝54（元）.
2. C　由lg E＝4.8＋1.5M，得E＝104.8+1.5M.里氏8.0级地震释放的能量为E1＝104.8+1.5×8，里氏6.2级地震释放的能量为E2＝104.8+1.5×6.2，则＝＝101.5×1.8＝(100.9)3≈512.
3. ACD　对于A，把x＝1，2，3，4代入y＝log2x，可得下表：
x 1 2 3 4
y＝log2x 0 1 log23 2
对于B，把x＝1，2，3，4代入y＝2x，可得下表：
x 1 2 3 4
y＝2x 2 4 8 16
对于C，把x＝1，2，3，4代入y＝，可得下表：
x 1 2 3 4
y＝ 1 2
对于D，把x＝1，2，3，4代入y＝2x，可得下表：
x 1 2 3 4
y＝2x 2 4 6 8
显然只有y＝2x的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意，B不符合题意．故选ACD.
4. 24　由题意，得192＝eb①，48＝e22k＋b＝e22k·eb②，将①代入②，得e22k＝，则e11k＝.当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.
5. (1) 由题意，得x＝1×(1－20%)y＝0.8y，
即y与x的关系式为y＝log0.8x(0(2) 因为y＝log0.8x在定义域内单调递减，
所以y＝log0.8x≤log0.80.3＝＝≈≈5，
故再次注射该药物的时间不能超过5h.

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