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5.1.1　任　意　角
1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义．
2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．
3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合．
活动一 了解任意角的概念及象限角
现实生活中随处可见超出0° ～360° 范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°～ 360° 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，下图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕点O旋转所成的角与O′B绕点O′旋转所成的角就会有不同的方向．因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广．
思考1
初中是如何定义角的？
思考2
旋转两周半是转了怎样的一个角？
思考3
为了表示不同旋转方向所形成的角，是如何规定的？
角的概念推广到了任意角，确定角的关键是旋转方向和旋转量的大小．
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 射线从起始位置OA没有做任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角
思考4
如何定义两个角相等？
思考5
如何规定角的加法和角的减法？
思考6
如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么角的终边的位置在坐标系中有几种情况？
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
思考7
－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？
思考8
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB （如图），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
思考9
如何判断两个角的终边是否相同？
1. 在平面直角坐标系内讨论角时，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
2. 任何一个与角α终边相同的角，都可以写成角α与整数个周角的和的形式．
活动二　终边相同的角的表示及象限角的判断　
例1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角.
(1) 650°；
(2) －150°；
(3) －990°15′.
在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出它们是第几象限角．
(1) 430°；
(2) 909°；
(3) －60°；
(4) －1 550°.
例2　写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°间的角写出来．
(1) 35°；　　(2) －21°；　　(3) 363°14′.
已知角α＝2 010°.
(1) 把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2) 求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
1. 将任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k的值．可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．
2. 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
活动三　象限角的表示及其应用　
例3　(1) 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
(2) 终边落在y轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴上的角的集合怎样表示？
(3) 终边落在坐标轴上的角的集合怎样表示？
如图所示：
(1) 写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2) 写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
例4　已知角α与240°角的终边相同，判断是第几象限角？2α是第几象限角？
探究　若α是第三象限角，则是第几象限角？
由角α所在的象限确定nα，(n∈N*)的终边所在的象限的解题步骤：
(1) 由α所在象限先写出α的范围；
(2) 由α的范围写出nα，的范围；
(3) 观察360°前面的系数，进行讨论，使之变形为360°的整数倍，再加后面的一个角；
(4) 从而判定nα与所在的象限．
1. （2025北京期末）若α＝－150°，则角α的终边在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. （2024盐城期末）若角α的终边与角θ的终边关于x轴对称，则α＋θ的终边落在(　　)
A. x轴的非负半轴 B. 第一象限
C. y轴的非负半轴 D. 第三象限
3. （多选）（2024廊坊文安一中月考）下列说法中，正确的是(　　)
A. 锐角都是第一象限角
B. 第二象限角都比第三象限角小
C. 若角α与角β不等，则两角的终边不同
D. 若角α与角β终边相同，则β＝k·360°＋α，k∈Z
4. （2025广州铁一中学月考）在区间[0°，360°]上，与角－240°终边相同的角是　　　　Ｗ．
5. 写出如图所示阴影部分的角α的范围．
(1)
(2)
5.1.1　任　意　角
【活动方案】
思考1：有公共端点的两条射线组成的图形．
思考2：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．如图所示，射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角α.因此，旋转两周半，就是旋转了900°的角．
思考3：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
思考4：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
思考5：设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
类似于实数a的相反数是－a，我们引入任意角α的相反角的概念．如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β).
这样，角的减法可以转化为角的加法．
思考6：在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．
思考7：－300°是第一象限角，－150°是第三象限角，－60°是第四象限角，60°是第一象限角，210°是第三象限角，300°是第四象限角，420°是第一象限角．－300°，60°与420°的终边相同，－150°与210°的终边相同，－60°与300°的终边相同．
思考8：不唯一，如果－32°角的终边是OB，那么328°，－392°，…，角的终边都是OB，即所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S＝{β|β＝－32°＋k·360°， k∈Z}，即任一与－32°角终边相同的角，都可以表示成－32°的角与整数个周角的和．
思考9：若β＝α＋k·360°，k∈Z，则角β与角α的终边相同；否则，终边不相同．
例1 (1) 因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．
(2) 因为－150°＝－360°＋210°，所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角．
(3) 因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角．
跟踪训练　(1) 因为430°＝360°＋70°，所以430°的角与70°的角终边相同，是第一象限角．
(2) 因为909°＝2×360°＋189°，所以909°的角与189°的角终边相同，是第三象限角．
(3) 因为－60°＝－360°＋300°，所以－60°的角与300°的角终边相同，是第四象限角．
(4) 因为－1 550°＝－5×360°＋250°，所以－1 550°的角与250°的角终边相同，是第三象限角．
例2 (1) S＝{α|α＝35°＋k·360°，k∈Z}，－325°，35°，395°.
(2) S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，－21°，339°，699°.
(3) S＝{α|α＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，363°14′，3°14′，－356°46′.
跟踪训练　(1) α＝5×360°＋210°，α为第三象限角．
(2) 与2 010°终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z).
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)，
所以k的值为－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
例3 　(1) 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，终边落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
(2) 终边落在y轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．
(3) 终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
跟踪训练　(1) 终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2) {α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
例4 因为α＝240°＋k·360°，k∈Z，所以＝120°＋k·180°，k∈Z，所以为第二或第四象限角．
因为2α＝480°＋2k·360°＝120°＋(2k＋1)·360°，k∈Z，所以2α为第二象限角．
探究　为第二或第四象限角．
【检测反馈】
1. C　因为－180°<－150°<－90°，所以角α的终边在第三象限．
2. A　角α的终边与角θ的终边关于x轴对称，则角－α的终边与角θ的终边相同，得θ＝－α＋2kπ(k∈Z)，则α＋θ＝2kπ(k∈Z)，所以α＋θ的终边落在x轴的非负半轴．
3. AD　锐角都是第一象限角，故A正确；令α＝480°，β＝210°，则α为第二象限角，β为第三象限角，且α>β，所以第二象限角不是都比第三象限角小，故B错误；若角α与角β终边相同，则β＝k·360°＋α，k∈Z，故C错误，D正确．故选AD.
4. 120°　因为－240°＋360°＝120°∈(0°，360°)，满足题意，所以在区间[0°，360°]上，与角－240°终边相同的角是120°.
5. (1) {α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2) {α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．

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