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5.1.2　弧　度　制
1. 理解弧度的意义，能进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数．
2. 了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性．
3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．
活动一 理解角度、弧度的概念
如图，在半径为r的圆O中，如何比较∠AOB与∠COD的大小？并说明理由．
思考1
在初中，我们已经学过角的度量，1度的角是怎样定义的？角还有没有新的度量方法？
思考2
当弧长l一定时，随着半径r的增大，圆心角α发生什么变化？
思考3
弧长l、半径r和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式？
把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为0.
思考4
(1) 圆的半径为r，弧长为2r，3r，的弧所对的圆心角（正角）分别为多少弧度？
(2) 角的弧度数与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．
探究1　作图，探求平角、周角的弧度数并与它们的角度数进行比较．
注意：(1) 以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式；
(2) 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示时不能混用．
探究2　在下图中写出各特殊角所对应的弧度数．
活动二 掌握角度与弧度互化
例1　将下列各角从弧度化为度：
(1) ；
(2) 3.5；
(3) －.
例2　将下列各角从度化为弧度：
(1) 250°；
(2) －22°30′；
(3) －150°.
将下列各角度与弧度互化：
(1) ；
(2) －；
(3) －157°30′.
活动三 用弧度表示终边相同的角
例3　将下列各角化成2kπ＋α，α∈[0，2π），k∈Z的形式．
(1) ；　　　　(2) －315°.
已知角α＝2 020°.
(1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2) 在区间[－5π，0）上找出与α终边相同的角．
活动四　掌握扇形的弧长与面积公式　
探究3　推导弧度制下的弧长和扇形面积公式
角度制 弧度制
角 n°(0半径 r r
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝·πr2
例4　已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积．
求解下列各题：
(1) 已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角（正角）的弧度数；
(2) 若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积；
(3) 若一扇形的周长为60 cm，当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积最大？最大面积是多少？
1. （2025菏泽巨野二中月考）等于(　　)
A. 120° B. 150° C. 210° D. 240°
2. （2024重庆期末）已知扇形的面积为4 cm2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为(　　)
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
3. （多选）（2025昭通延津二中月考）下列转化结果中，正确的是(　　)
A. 150°化成弧度是 B. －120°化成弧度是－
C. －化成角度是45° D. 化成角度是30°
4. （2025广州期末）若扇形的半径为r，面积为r2，则扇形圆心角为　　　　弧度．
5. 已知在半径为2的圆O中，弦AB的长为4.求：
(1) 弦AB所对圆心角α的大小；
(2) α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
5.1.2　弧　度　制
【活动方案】
背景引入：①用量角器度量；②比较弦长；③比较弧长．理由略．
思考1：周角的为1度的角．还有弧度制．
思考2：变小．
思考3：|α|＝.
思考4：(1) 2，3，.(2) 无关．
探究1　
　
探究2
度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
弧度 0 π
例1 (1) 108°　(2) 　(3) －1 140°
例2 (1) 　(2) －　(3) －
跟踪训练　(1) 75°　(2) －210°　(3) －
例3 (1) ＋6π　(2) －2π
跟踪训练　(1) 2 020°＝2 020×＝＝5×2π＋.
又π＜＜，所以α与终边相同，是第三象限角．
(2) 与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z).
又－5π≤γ＜0，
所以当k＝－3时，γ＝－；
当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
探究3　由|α|＝，可得弧长l＝αr.
在弧度制中，若0<α<2π，则圆心角为α的扇形面积S＝·πr2＝αr2＝rl.
例4 设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得
所以扇形的面积为S＝rl＝4(cm2).
跟踪训练　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为θ.
(1) 因为l＋2r＝20，所以l＝20－2r.
又lr＝9，所以(20－2r)r＝9，
解得r＝1或r＝9.
当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18>2π（不合题意，舍去），
所以r＝9，可得l＝2，θ＝，
即扇形的圆心角的弧度数为.
(2) 扇形的圆心角的弧度数为75×＝，扇形半径为15 cm，则扇形的面积S＝θ·r2＝××152＝(cm2).
(3) 设扇形的面积为S.
由题意得l＋2r＝60，则l＝60－2r，且0又S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225.
当r＝15时，Smax＝225，
此时θ＝＝＝＝2.
故当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大面积为225 cm2.
【检测反馈】
1. C　由题意，得＝×180°＝210°.
2. A　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，则扇形的面积S＝αr2＝×2r2＝4，解得r＝2(cm)，所以l＝αr＝2×2＝4(cm).
3. ABD　因为150°＝150×1°＝150×＝，所以150°化成弧度是，故A正确；因为－120°＝－120×1°＝－120×＝－，所以－120°化成弧度是－，故B正确；因为－＝－×＝－45°，所以－化成角度是－45°，故C错误；因为＝×＝30°，所以化成角度是30°，故D正确．故选ABD.
4. 　设扇形的圆心角的弧度数为α，则r2＝αr2，解得α＝.
5. (1) 因为圆O的半径为2，弦AB的长为4，
所以OA＝OB＝2，AB＝4，
所以OA2＋OB2＝AB2，
所以△OAB为直角三角形，且∠AOB为直角，
所以弦AB所对圆心角α的大小为.
(2) 由题意，得l＝αr＝×2＝π.
扇形的面积S1＝lr＝×π×2＝2π，
S△AOB＝×2×2＝4，
所以S＝S1－S△AOB＝2π－4，
即弧所在的弓形的面积S＝2π－4.

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