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5.2.2　同角三角函数的基本关系(1)
1. 掌握同角三角函数之间的基本关系式．
2. 能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算，初步掌握同角三角函数之间的基本关系式的应用．
活动一 探究同角三角函数的基本关系式
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.
思考1
设角α的终边与单位圆相交于点P，则点P的坐标是什么？
思考2
在思考1的条件下，你能得到什么结论？
思考3
由正切函数的定义，你能用sin α，cos α来表示tan α吗？
同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.
注意点：
(1) 同角三角函数关系式强调的是“同角”，跟角的表达形式无关，如sin22α＋cos22α＝1等．
(2)在tan α＝中，α≠kπ＋(k∈Z).
(3) sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”．
思考4
你能用三角函数的定义证明sin2α＋cos2α＝1，tanα＝吗？
活动二　已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值　
例1　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．
若sin α＝，求cos α，tan α的值．
例2　已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
已知tan α＝－，且α是第二象限角，求sin α，cos α的值．
思考5
已知角α的一个三角函数值，如何求出其余两个三角函数值？有什么注意点？
1. 若已知sin α（或cos α）的值，可以先应用关系式sin2α＋cos2α＝1，求得cosα（或sin α）的值，再由关系式tan α＝，求得tan α的值．
2. 若已知tan α＝m，可以先应用关系式tan α＝＝m得sin α＝m cos α，再结合sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±，sin α＝±.
活动三　根据条件求值　
例3　已知tan α＝－，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) sin2α－cos2α＋sinαcos α.
已知tan θ＝2，求下列各式的值：
(1) ；
(2) sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ；
(3).
1. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况：
(1) 若分子、分母中sin α，cos α的次数相同（称为齐次式），由cos α≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tan α的值求解．
(2) 若待求式形如a sin2α＋b sinαcos α＋cos2α，注意可将分母1化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后再求值．
2. 若已知sin α与cos α的关系式，可以先求出tan α的值再求解，也可以直接代入求解．
1. （2024娄底期末）若cos α＝，且α为第一象限角，则tan α的值为(　　)
A. B. － C. D. －
2. （2025惠州模拟）已知tan α＝－2，则的值为(　　)
A. －3 B. － C. D. 3
3. （多选）（2024涟水一中月考）下列说法中，正确的有(　　)
A. 若sin α＝，则cos α＝±
B. 已知角α∈，若tan α＝3，则sin α＝－
C. 已知角α∈(0，π)，若cos α＝，则tan α＝
D. 对任意角α都有tan α＝
4. （2025茂名期末）已知cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝　　　　．
5. 已知tan θ＝－.
(1) 求的值；
(2) 求sin2θ＋2sinθcos θ－3cos2θ的值．
5.2.2　同角三角函数的基本关系(2)
1.能运用同角三角函数之间的基本关系式进行简单的三角函数式的化简、求值，并从中了解一些三角运算的基本技巧．
2. 运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明．
活动一 熟练掌握同角三角函数间的关系式的应用（求值）
同角三角函数的基本关系有哪些变形形式？
例1　已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求下列各式的值：
(1) sin αcos α；
(2) sin α－cos α；
(3) sin3α－cos3α.
已知sinα＋cos α＝－，α∈(0，π)，求tan α.
1. sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2. 求sin α＋cos α 或sin α－cos α的值时，要注意它们的符号．
活动二　进一步掌握同角三角函数间的关系式的应用（化简）
例2　化简：
(1) ；
(2)tan α（α是第二象限角）；
(3)，α∈；
(4) ＋（α为第三象限角）.
同角三角函数式化简过程中常用的方法：
(1) 对于含有根号的，常把被开方数（式）化为完全平方数（式），然后去根号达到化简的目的．
(2) 化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(3) 对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
已知0<θ<，化简：·.　
活动三 三角恒等式的证明
例3　求证：＝.（用尽可能多的方法）
求证：
(1) ＝；
(2) 2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.
利用同角三角函数关系证明三角恒等式的方法：
(1) 从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2) 左右归一，即证明左、右两边都等于同一个式子．
(3) 化异为同法，即针对题设与结论间的差异进行变形，以消除差异．
(4) 变更为命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5) 比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
1. （2024保定期末）若α为第二象限角，则等于(　　)
A. 1 B. －1 C. sin α D. cos α
2. （2025长乐一中月考）已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则tan α的值是(　　)
A. － B. － C. D.
3. （多选）（2025内蒙古期末）已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则下列等式中正确的是(　　)
A. <θ<π B. sin θcos θ＝－
C. sin θ－cos θ＝ D. tan θ＝－
4. （2025巴中期末）已知tan α＝，则sin αcos α＝　　　　．
5. (1) 化简：（x为第二象限角）；
(2) 求证：＝.
5.2.2　同角三角函数的基本关系(1)
【活动方案】
思考1：如图所示，点P的坐标是(cos α，sin α).
思考2：由OP＝1，得sin2α＋cos2α＝1.
思考3：tanα＝.
思考4：设P(x，y)为角α终边上异于原点的任意一点，OP＝r.
①因为x2＋y2＝r2，且sin α＝，cos α＝，
所以sin2α＋cos2α＝1.
②当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝＝＝tan α.
例1 因为sin α＜0，sin α≠－1，
所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
若α是第三象限角，则cosα＜0，
所以cos α＝－＝－，tan α＝＝；
若α是第四象限角，则cos α>0，
所以cos α＝，tan α＝－.
跟踪训练　因为sin α∈(0，1)，
所以α是第一或第二象限角．
①当α是第一象限角时，
cos α＝，tan α＝＝；
②当α是第二象限角时，
cos α＝－，tan α＝＝－.
例2 由＝tan α＝，得sin α＝cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1，
解得cos2α＝.
又由tanα＞0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则cos α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，则cos α＝－，sin α＝－.
跟踪训练　由题意，得 ＝－，
sin2α＋cos2α＝1.
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，所以
思考5：根据同角三角函数之间的基本关系式可求出其余两个三角函数值，注意函数值的正负．
例3 (1) 原式＝＝－.
(2) 原式＝＝＝－.
(3) 原式＝＝＝－.
跟踪训练　(1)原式＝＝.
(2) 原式＝＝＝＝.
(3)原式＝＝＝＝.
【检测反馈】
1. C　因为cos α＝，且α为第一象限角，所以sin α＝＝，tan α＝＝.
2. A　由tan α＝－2，得＝＝＝－3.
3. ABC　对于A，若sin α＝，则cos α＝±＝±＝±，故A正确；对于B，因为α∈，tan α＝3，所以解得sin α＝－，故B正确；对于C，因为α∈(0，π)，若cos α＝，则sin α>0，且sin α＝＝＝，所以tan α＝＝×＝，故C正确；对于D，当α＝kπ＋(k∈Z)时，cos α＝0，此时tan α不存在，故D不正确．故选ABC.
4. －2　因为cos α＝，且α为第四象限角，所以sin α<0，且sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝＝－2.
5. (1) 由tan θ＝－，得＝＝＝－.
(2)由tan θ＝－，得sin2θ＋2sinθcos θ－3cos2θ＝＝＝＝－.
5.2.2　同角三角函数的基本关系(2)
【活动方案】
背景引入：常见的变形形式：
①sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；
②sinα＝±，cosα＝±；
③sinα＝cos αtan α；
④(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
例1 (1) 因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以sin αcos α＝×＝－.
(2) 因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，
所以sin α>0，所以cos α<0，
所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝＝.
(3) sin3α－cos3α＝(sinα－cos α)(sin2α＋sinαcos α＋cos2α)＝×＝.
跟踪训练　因为sinα＋cos α＝－，①
所以(sin α＋cos α)2＝，
所以2sin αcos α＝－＜0.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin α－cos α＞0，
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②可得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
例2 (1) 原式＝cos 44°.
(2) 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝tan α·＝tanα·＝·＝－1.
(3) 原式＝＝|sin α－cos α|＝
(4) 原式＝－＋＝－.
跟踪训练　原式＝·＝
·＝·.
又0<θ<，所以sinθ>0，
故原式＝·＝＝1.
例3 方法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，
所以1＋sin x≠0，
则左边＝＝＝＝＝右边，
所以原式成立．
方法二：因为(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cosx cos x，且1－sin x≠0，cos x≠0，
所以＝.
跟踪训练　(1) 左边＝＝
＝
＝
＝＝＝右边，
所以原等式成立．
(2) 左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
所以原等式成立．
【检测反馈】
1. B　因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以＝＝＝＝－1.
2. B　因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，即sin α>0.由得2sin 2α－sin α－＝0，解得sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.
3. ABC　由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，则sin θcos θ＝－<0.又θ∈(0，π)，所以<θ<π，故A，B正确；sin θ－cos θ＝＝＝＝①，sin θ＋cos θ＝②，联立①②，解得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－2，故C正确；D错误．故选ABC.
4. 　sin αcos α＝＝＝＝.
5. (1) 原式＝＝·＝·＝·＝1.
(2) 左边＝
＝
＝＝＝右边，
故原等式成立．

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