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5.3　诱 导 公 式
5.3.1　诱导公式(1)
1. 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，推导三角函数的诱导公式一、二、三、四．
2. 理解并掌握诱导公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简等问题．
活动一 掌握三角函数的诱导公式一、二、三、四
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．
探究1　终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？为什么？
探究2　除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则角α与角β的三角函数值之间有什么关系呢？
探究3　若角α的终边与角β的终边关于x轴对称（如图），你有什么结论？
思考1
由公式三，你可以得到三角函数的什么性质？
探究4　若角α的终边与角β的终边关于y轴对称（如图），你有什么结论？
思考2
根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？
思考3
上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．想一想，公式一到四的名称和符号有怎样的规律？
公式一的作用是将角转化为区间[0，2π]上的角，公式二的作用是将区间上的角转化为区间上的角，公式三的作用是将负角转化为正角，公式四的作用是将区间上的角转化为区间上的角．
活动二　利用诱导公式解决给角求值问题　
例1　求值：
(1) sin ；　　
(2) cos ；　　
(3) tan (－1 560°).
求值：
(1) cos 225°；　　
(2) sin ；
(3) sin ；
(4) cos (－2 040°).
活动三　利用诱导公式解决给值求值问题　
例2　已知cos (π＋α)＝－，α是第四象限角，求tan α的值．
例3　已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)＋cos (α－105°)的值．
思考4
如何探究已知角与所求角的关系？
已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值．
活动四　利用诱导公式研究三角函数的奇偶性　
例4　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝1－cos x；
(2) g(x)＝x－sin x.
已知f(x)＝x cos x－sin x＋5，f(a)＝4，则f(－a)＝　　　　．
1. （2025东莞期末）tan (－330°)的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2. 已知cos (53°－α)＝，则cos (127°＋α)的值为(　　)
A. ± B. C. D. －
3. （多选）（2024忻州期末）下列与sin 的值相等的是(　　)
A. cos B. cos C. sin D. sin （－）
4. （2024汕尾月考）已知cos ＝，则cos 的值为　　　　．
5. 已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，且<α<π.
(1) 求sin α－cos α的值；
(2) 求cos3(－α)＋sin3(π＋α)的值．
5.3.2　诱导公式(2)
1.推导出诱导公式五、六，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
2. 能运用公式解决基本的三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
活动一 掌握三角函数的诱导公式五、公式六
探究1　若角α的终边与角β的终边关于直线y＝x对称（如图），设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′.
(1) 角α与角β的三角函数值之间有什么关系？
(2) 角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？
(3) 由(1)，(2)你能发现什么结论？
探究2　利用公式三和公式五，探求sin （＋α），cos 的值与α的三角函数值的关系．
探究3　你能推导出tan （＋α），tan （－α）与tan α之间的关系吗？
公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区间上的角的三角函数转化为锐角的三角函数．
例1　求证：sin ＝－cos α，cos （＋α）＝sin α.
求证：sin ＝－cos α，cos ＝－sin α.　
活动二　掌握诱导公式的运用　
例2　已知tan α＝3，求的值．
已知tan θ＝2，则＝　　　　．
例3　已知cos (75°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，求cos (15°－α)的值．
(1) 已知sin (π＋A)＝－，则cos （－A）的值是　　　　；
(2) 已知sin ＝，则cos 的值是　　　　．
1. 给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2. 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
例4　已知sin (5π－θ)＋sin ＝，求sin3－cos3的值．
1.（2025沙坪坝期末）若sin α＝，则cos 的值为(　　)
A. B. C. － D. －
2. 若cos （α＋）＝，则sin （－α）的值为(　　)
A. － B. C. － D.
3. （多选）（2024成都期中）下列结论中，正确的是(　　)
A. sin ＝－cos α B. cos (α－π)＝－cos α
C. tan (－α－π)＝－tan α D. cos ＝sin α
4. （2025昆明期末）已知sin (52°－α)＝，且－120°<α<－90°，则sin (38°＋α)＝　　　　．
5. 已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 已知tan α＝2，求f(α)的值．
5.3.3　诱导公式(3)
1. 能正确运用诱导公式解决有关三角函数的求值、化简和恒等式证明问题．
2. 能通过对公式的运用，了解由未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．
活动一 诱导公式的运用（求值）
例1　(1) 已知sin ＝，求sin （－x）＋sin2（－x）的值；
(2)已知tan α＝－2，求的值．
已知cosα＝，且－＜α＜0，则＝　　　　．
用诱导公式化简求值的方法：
(1) 对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2) 对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．
活动二 诱导公式的运用（化简、证明）
例2　(1) 化简：·sin ·cos ；
(2) 求证：＝tan α.　
求证：＝.
三角恒等式的证明方法：
(1) 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2) 常用定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
活动三 诱导公式的综合应用　　
例3　在△ABC中，
(1) 求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cos sin tan (C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形．
例4　已知函数f(x)＝.
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 若f(α)＝，且α∈，求α的值．
是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．
k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数．
1. （2025湖北期末）已知cos ＝，则sin α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2. 已知f(sin x)＝sin 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)
A. － B. C. － D.
3. （多选）（2025温州期末）已知sin 8°＝m，则下列式子中正确的有(　　)
A. cos (－8°)＝ B. cos 98°＝－m
C. sin 172°＝－m D. tan 548°＝
4. （2025三明三校联考）已知sin (α－3π)＝2sin ，则＝　　　　．
5. 在平面直角坐标系中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限，且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为.
(1) 求sin α＋cos α和tan α的值；
(2) 若将射线OP绕点O按逆时针方向旋转，得到角β，求的值．
5.3　诱 导 公 式
5.3.1　诱导公式(1)
【活动方案】
探究1　由三角函数的定义知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)，cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z).（公式一）
探究2　设角α，β的终边分别与单位圆交于点P1，P2，
则点P1和点P2关于原点对称（如图）.
又根据三角函数的定义，得点P1的坐标为(cos α，sin α)，点P2的坐标为(cos β，sin β)，
则有sin β＝－sin α，cos β＝－cos α，tan β＝tan α.
特别地，角π＋α与角α的终边关于原点对称，则有
sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α. （公式二）
探究3　因为角α，β的终边分别与单位圆交于点P1，P3，
所以点P1和点P3关于x轴对称．
又根据三角函数的定义，得点P1的坐标为(cos α，sin α)，
点P3的坐标为(cos β，sin β)，
则有sin β＝－sin α，cos β＝cos α.
由同角三角函数关系，得tan β＝＝＝－tan α.
特别地，角－α与角α的终边关于x轴对称，则有
sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α. （公式三）
思考1：正弦函数y＝sin x是奇函数，余弦函数y＝cos x是偶函数，正切函数y＝tan x是奇函数．
探究4　同理可得sin β＝sin α，cos β＝－cos α，tan β＝－tan α.
特别地，角π－α与角α的终边关于y轴对称，则有
sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α. （公式四）
思考2：sin (π＋α)＝sin [π－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α，
cos (π＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－cos α，
tan (π＋α)＝tan [π－(－α)]＝－tan (－α)＝tan α.
其他情形可以类似推导得到．
思考3：函数名不变，符号看象限．
例1 (1) sin ＝sin ＝－sin ＝－.
(2) cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
(3) tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝.
跟踪训练　(1) 原式＝－cos 45°＝－.
(2) 原式＝sin ＝－sin ＝－.
(3) 原式＝sin ＝sin ＝.
(4) 原式＝cos 120°＝－cos 60°＝－.
例2 因为cos α＝－cos (π＋α)＝，α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，tanα＝＝－.
例3 原式＝2cos (α－105°)＝－2cos (75°＋α)＝－.
思考4：将已知角与所求角求和、差，然后应用诱导公式将所求角变成已知角．
跟踪训练　因为－α＝π－，
所以cos ＝cos ＝－cos （α＋）＝－m.
因为<α<，所以0<－α<，
所以sin ＝＝，
所以tan＝＝－.
例4 (1) 因为函数f(x)的定义域是R，
且f(－x)＝1－cos (－x)＝1－cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2) 因为函数g(x)的定义域是R，
且g(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数．
跟踪训练　6　因为f(x)＋f(－x)＝x cos x－sin x＋5＋[－x cos (－x)－sin (－x)＋5]＝x cos x－sin x＋5－x cos x＋sin x＋5＝10，所以f(a)＋f(－a)＝10.又f(a)＝4，所以f(－a)＝6.
【检测反馈】
1. B　tan (－330°)＝tan (30°－360°)＝tan 30°＝.
2. D　因为cos (53°－α)＝，所以cos (127°＋α)＝cos [180°－(53°－α)]＝－cos (53°－α)＝－.
3. AD　因为sin ＝sin （32π＋）＝－sin ＝－，cos ＝－，cos ＝，sin ＝sin （26π＋）＝，sin （－）＝－.故选AD.
4. －　因为cos ＝，所以cos ＝cos ＝－cos ＝－.
5. (1) 由sin (π－α)－cos (π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，将其两边平方，得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
则2sin αcos α＝－.
因为<α<π，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝＝＝.
(2) cos3(－α)＋sin3(π＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sin α)(cos2α＋sinαcos α＋sin2α)＝－×＝－.
5.3.2　诱导公式(2)
【活动方案】
探究1　(1)由图可知，点P和点P′关于直线y＝x对称．又根据三角函数的定义，得点P的坐标为(cos α，sin α)，点P′的坐标为(cos β，sin β)，
则有sin β＝cos α，cos β＝sin α.
(2) 对称
(3) sin ＝cos α，cos ＝sin α.（公式五）
探究2　sin ＝sin ＝cos (－α)＝cos α，
cos ＝cos ＝sin (－α)＝－sin α.
则有sin ＝cos α，cos ＝－sin α.（公式六）
探究3　tan ＝＝＝－，tan ＝.
例1 sin ＝sin ＝－sin （＋α）＝－cos α.
cos ＝cos ＝－cos ＝sin α.
跟踪训练　sin ＝sin [π＋]＝－sin （－α）＝－cos α.
cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α.
例2 因为tan α＝3，
所以原式＝＝＝－.
跟踪训练　－2　原式＝＝＝＝＝－2.
例3 因为－180°<α<－90°，
所以－105°<75°＋α<－15°，
所以sin (75°＋α)<0.
又cos (75°＋α)＝，所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－＝－＝－.
跟踪训练　(1)－　sin (π＋A)＝－sin A＝－，所以sin A＝，cos （－A）＝－sin A＝－.
(2) 　因为＋＝，所以＋α＝－，所以cos ＝cos [－（－α）]＝sin （－α）＝.
例4 因为sin (5π－θ)＋sin ＝sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]＝，
所以sin3－cos3＝cos3θ＋sin3θ＝(sinθ＋cos θ)(sin2θ－sinθcos θ＋cos2θ)＝×＝.
【检测反馈】
1. A　由题意，得cos ＝cos ＝sin α＝.
2. D　因为（α＋）＋（－α）＝，所以sin （－α）＝sin [－（α＋）]＝cos （α＋）＝.
3. ABC　对于A，sin ＝－sin ＝－cos α，故A正确；对于B，cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α，故B正确；对于C，tan (－α－π)＝－tan (α＋π)＝－tan α，故C正确；对于D，cos ＝cos ＝cos ＝－sin α，故D错误．故选ABC.
4. －　由－120°<α<－90°，得142°<52°－α<172°.又sin (52°－α)＝，所以cos (52°－α)＝－＝－，所以sin (38°＋α)＝sin [90°－(52°－α)]＝cos (52°－α)＝－.
5. (1) f(α)＝
＝＝.
(2) 由(1) 知，f(α)＝.
因为tan α＝2，
所以f(α)＝＝＝＝1.
5.3.3　诱导公式(3)
【活动方案】
例1 (1) 原式＝sin ＋cos2＝＋1－＝.
(2)
＝
＝＝＝tan α.
因为tan α＝－2，所以原式＝tan α＝－2.
跟踪训练　－2　原式＝＝tan α.因为cos α＝，－＜α＜0，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝－2.
例2 (1) 原式＝－·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.
(2)因为左边＝＝＝tan α＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练　左边＝
＝＝
＝＝＝，
右边＝＝，
所以左边＝右边，原式成立．
例3 (1) cos2＋cos2＝cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.
(2)由题意，得sin A cos B tan C<0.
因为A，B，C∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B tan C<0，
即cos B<0或tan C<0，
所以B为钝角或C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形．
例4 (1) f(x)＝
＝
＝－2sin2x.
由cosx≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是，
关于原点对称．
因为f(－x)＝－2sin2(－x)＝－2sin2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)因为f(α)＝－2sin2α＝，
所以－2(1－cos2α)＝，即2cos2α＋＝，
解得cos2α＝或cos2α＝2（舍去）.
又α∈，所以cosα＝，所以α＝.
跟踪训练　将已知方程组化为
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以cos2α＝.
因为α∈，所以cosα＝，
所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos β＝.
因为β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝，β＝代入①，符合条件．
将α＝－代入②，得cos β＝.
因为β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－，β＝代入①，不符合条件，舍去．
综上可知存在满足条件的角α，β，α＝，β＝.
【检测反馈】
1. A　因为cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝，所以sin α＝－.
2. A　因为cos 10°＝sin 80°，所以f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝
－sin 60°＝－.
3. ABD　对于A，因为cos (－8°)＝cos 8°，＝＝cos 8°，所以cos (－8°)＝，故A正确；对于B，cos 98°＝cos (90°＋8°)＝－sin 8°＝－m，故B正确；对于C，sin 172°＝sin (180°－8°)＝sin 8°＝m，又m≠0，所以sin 172°≠－m，故C错误；对于D，tan 548°＝tan 8°＝＝＝，故D正确．故选ABD.
4. 　由sin (α－3π)＝2sin ，得－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则＝＝＝.
5. (1) 由三角函数的定义，得sin α＝.
又因为α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以sinα＋cos α＝，tan α＝＝－.
(2) 由题意，得β＝α＋，则sin β＝sin ＝cos α＝－，cos β＝cos ＝－sin α＝－，
则＝＝＝－4.

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