资源简介

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(1)
1.了解周期函数的概念．
2. 理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期．
3. 理解正、余弦函数的奇偶性以及对称性.
活动一 了解周期函数的概念
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
思考1
观察正弦函数的图象，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律，这一点可以从定义中看出，也可用我们前面学习的哪个公式来说明？
思考2
如何用数学语言刻画函数的周期性？
思考3
正弦函数和余弦函数的周期是多少？
思考4
(1) 对于函数y＝sin x，x∈R，有sin （＋）＝sin ，能否说是它的周期？
(2) 如果函数f(x)的周期为T，那么2T是不是它的周期？3T，4T呢？你能发现一般规律吗？
思考5
一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
1. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
2. 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π.
思考6
是不是所有的函数都有最小正周期？如：函数f(x)＝C（C为常数）是周期函数吗？如果是，那么周期是多少？最小正周期又是多少？
注意：如果不加特别说明，那么所说的周期一般都是指函数的最小正周期．
活动二 掌握周期函数的简单应用
例1　已知做周期性运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．
(1) 求该函数的周期；
(2) 求t＝10 s时钟摆的高度．
活动三　求三角函数的周期　
例2　求函数f(x)＝cos 2x的周期．
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为.例如，对于函数g(x)＝2sin ，可直接由T＝求得g(x)的周期为4π.
求下列函数的周期：
(1) y＝3sin ；
(2) y＝2cos .
活动四 函数周期性的判断
例3　已知函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)对于一切x∈R都成立，求证：4是f(x)的一个周期．
设函数y＝f(x)，x∈R，若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数．
1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f(x＋T)＝f(x)对定义域中一切x都成立．
2. 若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，则f(x)都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数．
活动五　正、余弦函数的奇偶性　
思考7
根据诱导公式有sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x，这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质？
例4　(1) 函数y＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A. 奇函数　　
B. 偶函数　　
C. 既是奇函数又是偶函数　　
D. 既不是奇函数也不是偶函数
(2) 函数y＝1＋cos x的图象(　　)
A. 关于x轴对称　　
B. 关于y轴对称　
C. 关于原点对称　　
D. 关于直线x＝对称
1. （2025连云港期末）设k为正数，若函数f(x)＝sin 的最小正周期为，则k的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. （2024牡丹江期末）函数y＝3cos （4x＋）的最小正周期是(　　)
A. 2π B. C. D. π
3. （多选）下列关于函数y＝cos 的说法中，正确的是(　　)
A. 最小正周期为π B. 最小正周期为2π
C. 为偶函数 D. 为奇函数
4. 函数f(x)＝cos 的最小正周期为　　　　．
5. 求下列函数的最小正周期．
(1) f(x)＝cos ；
(2) y＝4sin (a≠0).
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(2)
1. 借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质．
2. 通过观察、猜想、归纳，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力．
活动一 探究正弦函数、余弦函数的性质
根据正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的性质，完成下列表格．
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域
值域
最值
周期性
奇偶性
单调性
对称轴
对称中心
活动二 掌握正弦函数、余弦函数的值域与最值　　
例1　下列函数有最大值、 最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝cos x＋1，x∈R；
(2) y＝－3sin 2x，x∈R.
求下列函数的值域：
(1) y＝3－2cos x；
(2) y＝cos2x＋2sinx－2.
1. 求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2. 求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c（或y＝a cos2x＋b cosx＋c），x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x（或cos x），将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x（或cos x）的有界性．
活动三 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2　不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) sin 与sin ；
(2) cos 与cos .
比较下列各组数的大小：
(1) cos 与cos ；
(2) sin 194°与cos 160°.
比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用三角函数的单调性进行比较．
活动四 掌握正弦函数、余弦函数的性质的应用
例3　已知函数y＝3sin x.
(1) 求函数的定义域、值域；
(2) 求函数的最小正周期；
(3) 求函数的增区间．
1. （2024惠州月考）已知a＝30.4，b＝log0.54，c＝cos ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c>b>a B. b>a>c
C. c>a>b D. a>c>b
2. 函数f(x)＝－2sin x＋1的最大值是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. （多选）（2024黑龙江月考）设函数f(x)＝2sin ，则下列结论中错误的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的图象关于直线x＝对称
C. f(x)的一个零点为x＝－
D. f(x)的最大值为1
4. （2025泰州期末）函数f(x)＝5sin ＋2图象的对称中心为　　　　．
5. （2024柳州期末）已知函数f(x)＝2sin （2x－）.
(1) 求函数f(x)的最小正周期及对称轴；
(2) 求f(x)在区间上的最值．
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(3)
1. 用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质．
2. 能应用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题．
活动一 掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质
思考
如何作正弦曲线和余弦曲线？
活动二 掌握三角函数的定义域和值域的求法
例1　求下列函数的值域：
(1) y＝3－2cos x，x∈[－，]；
(2) y＝2－sin 2x，x∈.
1. 对于求形如y＝a sin x＋b或y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到正弦、余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑sin x或cos x的范围．
2. 求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
例2　求下列函数的值域：
(1) y＝1－2sin2x＋2cosx；
(2) y＝.
求函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈[－，]的值域．
例3　求下列函数的定义域：
(1) y＝；
(2) y＝.
求下列函数的定义域：
(1) y＝log3（sin x－）；
(2) y＝；
(3) y＝＋lg (2sin x－1).
1. 求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图象，关键有两点：(1) 选取合适的一个周期；(2) 确定边界值．
2. 当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．
活动三　掌握三角函数的单调性　
例4　(1) 求函数y＝sin 2x的增区间；
(2) 求函数y＝cos 的增区间．
(1) 求函数y＝cos 的单调区间；
(2) 求函数y＝2sin 的增区间．
求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：
(1) 当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的减区间．
(2) 当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin (－ωx－φ)，则y＝sin (－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．
余弦函数y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上．
1. （2024深圳期末）已知函数f(x)＝lg (2cos x－1)，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
2. （2024重庆期末）函数f(x)＝sin 2x＋2cos x的值域是(　　)
A. [－2，3] B. [－2，2]
C. [0，3] D. [0，2]
3. （多选）（2024江门鹤山一中调研）已知函数f(x)＝cos ，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C. 函数f(x)的图象关于点对称
D. 函数f(x)在区间上单调递减
4. （2025石家庄期末）已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有最大值，无最小值，则ω的取值范围是　　　　Ｗ．
5. 已知函数f(x)＝2cos ，x∈R.
(1) 求函数f(x)的最小正周期和减区间；
(2) 求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合．
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(1)
【活动方案】
背景引入：根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．
思考1：sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)
思考2：一般地，设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
思考3：2π是正弦函数和余弦函数的周期，且4π，6π，…以及－2π，－4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2kπ（k∈Z且k≠0）都是这两个函数的周期．
思考4：(1) 不能
(2) 是，kT（k∈Z且k≠0）都是函数的周期．
思考5：有无数个，周期函数的图象周期性重复出现．
思考6：不是．f(x)＝C是周期函数，周期是任意非零实数；无最小正周期．
例1 (1) 由图象可知，该函数的周期为1.5 s.
(2) 设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，
可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
所以t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
例2 设f(x)的周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，即cos 2(x＋T)＝cos 2x对任意实数x都成立，也就是cos (u＋2T)＝cos u对任意实数u都成立，其中u＝2x.
由y＝cos u的周期为2π，可知使得cos (u＋2T)＝cos u对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，可知2T＝2π，即T＝π，
所以f(x)＝cos 2x的周期为π.
跟踪训练　(1) T＝＝＝4.
(2) 因为y＝2cos ＝2cos ，
所以T＝＝4π.
例3 因为f(x－2＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(x－4)，
所以4是f(x)的一个周期．
跟踪训练　由y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，
得f(2a－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(－x).
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(2a＋x)＝f(x)，
所以f(x)是以2a为周期的函数．
思考7：奇偶性．正弦函数y＝sin x是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x是偶函数，其图象关于y轴对称．
例4 (1) A　(2) B　(1) 令y＝f(x)＝sin 2x，则f(－x)＝sin [2(－x)]＝－sin 2x，所以f(－x)＝－f(x)，所以y＝sin 2x是奇函数．
(2) 设y＝f(x)＝1＋cos x．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝1＋cos x为偶函数，故其图象关于y轴对称．
【检测反馈】
1. C　由题意，得函数f(x)的最小正周期T＝＝＝，解得k＝3.
2. B　由题意，得函数y＝3cos （4x＋）的最小正周期T＝＝.
3. AD　因为f(x)＝cos ＝cos ＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为π.因为f(x)的定义域为R，且f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．故选AD.
4. 8　由题意，得f(x)的最小正周期为T＝＝8.
5. (1) 因为f(x)＝cos ＝cos ，
所以ω＝2.
又T＝＝＝π，
所以函数f(x)＝cos 的最小正周期T＝π.
(2) 当a>0时，T＝；
当a<0时，y＝－4sin ，T＝.
综上，函数y＝4sin (a≠0)的最小正周期T＝.
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(2)
【活动方案】
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性 周期函数，T＝2π 周期函数，T＝2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间：，k∈Z 减区间：，k∈Z 增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 减区间：[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
对称轴 x＝＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
例1 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
(1) 使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.
(2) 令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合.
由2x＝z＝－＋2kπ(k∈Z)，得x＝－＋kπ(k∈Z)，
所以使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是.
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是.
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
跟踪训练　(1) 因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤－cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2，
所以1≤3－2cos x≤5，即1≤y≤5，
故函数y＝3－2cos x的值域为[1，5].
(2) 令t＝sin x(x∈R)，
则由－1≤sin x≤1，知－1≤t≤1，
所以y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－t2＋2t－1＝－(t－1)2(－1≤t≤1).
因为－1≤t≤1，所以－2≤t－1≤0，
所以0≤(t－1)2≤4，即－4≤y≤0，
故函数y＝cos2x＋2sinx－2的值域为[－4，0].
例2 (1) 因为－＜－＜－＜0，
正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin >sin .
(2) cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
因为0＜＜＜π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，所以cos ＞cos .
跟踪训练　(1) cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
因为y＝cos x在区间上单调递减，
且0<<<，所以cos >cos ，
即cos >cos .
(2) sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°.
因为sin 14°cos 160°.
例3 (1) 由函数的解析式知，函数对任意x∈R均有意义，故函数的定义域为R.
由－1≤sin x≤1，得－3≤3sin x≤3，
故函数的值域为[－3，3].
(2) 函数的最小正周期T＝2π.
(3) ，k∈Z.
【检测反馈】
1. D　由题意，得a＝30.4>30＝1，b＝log0.54c>b.
2. C　因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以f(x)＝－2sin x＋1的最大值为(－2)×(－1)＋1＝3.
3. BD　由最小正周期公式知T＝＝π，故A正确；因为f＝2sin ＝2sin ＝，所以直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故B错误；因为f＝2sin ＝2sin 0＝0，所以x＝－是函数f(x)的零点，故C正确；由正弦函数的值域可知，f(x)的最大值为2，故D错误．故选BD.
4. ，k∈Z　令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以其对称中心为，k∈Z.
5. (1)因为f(x)＝2sin （2x－），
所以f(x)的最小正周期T＝＝＝π.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)令2x－＝t，由x∈，得t∈，
所以要求f(x)在区间上的最值，
即求y＝2sin t在t∈上的最值．
当t＝－时，ymin＝2sin （－）＝－2；
当t＝时，ymax＝2sin ＝，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－2.
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(3)
【活动方案】
思考：利用“五点法”作出正弦、余弦函数在区间[0，2π]内的图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线．
例1 (1) 因为－≤x≤，所以≤cos x≤1，
所以－1≤－cos x≤－，
所以－2≤－2cos x≤－，
所以1≤3－2cos x≤3－，
故函数y＝3－2cos x，x∈的值域为[1，3－].
(2) 因为－≤x≤，所以－≤2x≤，
所以－≤sin 2x≤1，
所以－1≤－sin 2x≤，
所以1≤2－sin 2x≤2＋，
故函数y＝2－sin 2x，x∈的值域为[1，2＋].
例2 (1) y＝2cos2x＋2cosx－1＝2（cos x＋）2－，值域为.
(2) y＝·＝（－）＝－×，
值域为∪[1，＋∞）.
跟踪训练　y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sin x－1)2.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤，
所以－－1≤sin x－1≤－1，
所以0≤(sin x－1)2≤＋，
所以－－≤y≤0，
故所求函数的值域为.
例3 (1) 由2sin x＋1≥0，得sin x≥－，
所以函数的定义域为(k∈Z).
(2) 由题意，得
解得－1所以函数的定义域为∪（π＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).
跟踪训练　(1) 由题意，得sin x>，
所以函数的定义域为(k∈Z).
(2) 由题意，得2cos x－≥0，所以cos x≥，
所以函数的定义域为(k∈Z).
(3) 由题意，得即
cos x≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}，
sin x>的解集为{x|＋2kπ所以函数的定义域为{x|＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z}．
例4 (1) 令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数的增区间是(k∈Z).
(2) 令π＋2kπ≤≤2π＋2kπ，k∈Z，
则2π＋4kπ≤x≤4π＋4kπ，k∈Z，
故函数的增区间是[2π＋4kπ，4π＋4kπ](k∈Z).
跟踪训练　(1) 令2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z，
则4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
故函数的增区间是，k∈Z.
令2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，
则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
故函数的减区间是[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z.
(2) 函数y＝2sin ＝－2sin ，
所以要求函数y＝2sin 的增区间，只需求函数y＝2sin 的减区间即可．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即原函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
【检测反馈】
1. A　由题意，得2cos x－1>0，即cos x>，所以x∈，k∈Z，即函数f(x)的定义域为，k∈Z.
2. B　因为f(x)＝sin 2x＋2cos x＝1－cos 2x＋2cos x＝－（cos x－）2＋3，cos x∈[－1，1]，所以－（－1－）2＋3≤f(x)≤－（1－）2＋3，即f(x)∈.
3. BCD　因为f(x)＝cos ，所以函数的最小正周期T＝＝π，故A错误；因为f＝cos （2×＋）＝cos π＝－1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；因为f＝cos [2×（－）＋]＝cos ＝cos ＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故C正确；由x∈，得2x＋∈，因为y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，所以f(x)在区间上单调递减，故D正确. 故选BCD.
4. 　设z＝ωx＋，当x∈(0，π)时，z＝ωx＋∈，作出y＝sin z在区间上的图象如图所示．要使f(x)区间(0，π)上有最大值，无最小值，只需<ωπ＋≤，解得<ω≤，即ω的取值范围为.
5. (1) 因为函数f(x)＝2cos ，x∈R，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的减区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2) 函数f(x)＝2cos ，x∈R，
当2x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，函数f(x) 取得最大值为2，
此时x的取值集合为.

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