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5.4.3　正切函数的性质与图象
1. 推导并理解正切函数的周期性和奇偶性．
2. 能利用性质画出正切函数的图象，并能借助图象理解y＝tan x在区间上的性质．
3. 掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题．
活动一 探究正切函数的性质
我们通过画正弦、余弦函数的图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？研究函数的哪几个方面的性质？
思考1
正切函数y＝tan x的定义域是什么？
思考2
诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？
思考3
诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？
思考4
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
活动二　掌握正切函数的图象　
思考5
如何画出函数y＝tan x，x∈的图象？
思考6
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
探究　观察正切函数的图象完成下表：
函数性质 正切函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
活动三　掌握正切函数的定义域、值域　
例1　求函数y＝tan 的定义域．
思考7
函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定义域是怎样的？
例2　(1) 求函数y＝tan x（≤x≤，且x≠）的值域；
(2) 求函数y＝tan2x－2tanx＋3，x∈的值域．
(1) 函数y＝tan （－x）的定义域是　　　　　　　　；
(2) 求函数y＝tan2＋tan（3x＋）＋1的定义域和值域．
1. 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．
2. 求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
活动四 掌握正切函数的单调性及其应用
例3　(1) 求函数y＝－tan 的单调区间；
(2) 比较tan 与tan 的大小．
(1) 比较大小：tan 1与tan 4；
(2) 求函数y＝tan 的单调区间．
1. 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2. 运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
活动五　掌握正切函数的性质的应用　
例4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
思考8
函数y＝tan x图象的对称中心是什么？函数y＝|tan x|图象的对称轴是什么？
1. （2025牡丹江期末）函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A. B. C. π D. 2π
2. 下列坐标所表示的点不是函数y＝tan 的图象的对称中心的是(　　)
A. B. C. D.
3. （多选）（2024武汉期中）与函数y＝tan 的图象相交的直线是(　　)
A. x＝ B. y＝ C. x＝ D. x＝
4. （2025常德期末）若将函数f(x)＝3tan (ω>0)的图象向左平移 个单位后与原图象重合，则ω的最小值为　　　　．
5. 设函数f(x)＝tan .
(1) 求函数f(x)的定义域和单调区间；
(2) 求不等式f(x)≤的解集．
5.4.3　正切函数的性质与图象
【活动方案】
背景引入：正弦、余弦函数的性质是从周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值这几个方面来研究的，有了这些知识准备，我们也从这几个方面来探究正切函数的性质．
思考1：
思考2：周期性．正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：奇偶性．正切函数是奇函数．
思考4：可以先考察函数y＝tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．
思考5：如图，设x∈，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0，y0).过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tan x＝＝＝＝AT.
由此可见，当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象．如下图所示：
由图可知， 当x∈时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于时， AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tan x，x∈的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x＝.
思考6：
正切函数的图象叫做正切曲线．正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
探究　
函数性质 正切函数
定义域
值域 R
周期性 π
奇偶性 奇函数
单调性 增区间为(k∈Z)， 无减区间
例1 由2x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.
思考7：
例2 　(1) （－∞，－]∪[1，＋∞）
(2) 由题意，得y＝(tan x－1)2＋2.
因为x∈，所以tan x∈[1，]，
所以原函数的值域为[2，6－2].
跟踪训练　(1) (k∈Z)　由题意，得tan ＞0，即tan ＜0，所以kπ－＜x－＜kπ(k∈Z)，所以kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故定义域为(k∈Z).
(2) 由3x＋≠kπ＋(k∈Z)，
得x≠＋(k∈Z)，
所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
设t＝tan ，则t∈R，
y＝t2＋t＋1＝＋≥，
所以原函数的值域是.
例3 　(1) 因为y＝－tan 的减区间满足kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
所以4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)，
所以y＝－tan 的单调减区间是（4kπ－，4kπ＋）(k∈Z)，没有单调增区间．
(2) tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan .
因为y＝tan x在区间上单调递增，
且<<<π，所以tan ＞tan ，
即tan ＞tan .
跟踪训练　(1) 因为tan 4＝tan [π＋(4－π)]＝tan (4－π)，－＜4－π＜1＜，且y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan (4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4.
(2) 由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)，
所以函数y＝tan 的单调增区间是（2k－，2k＋）(k∈Z)，没有单调减区间．
例4 　y＝|tan x|的图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
增区间为(k∈Z)，减区间为（－＋kπ，kπ）(k∈Z)，周期为π.
思考8：函数y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)，函数y＝|tan x|图象的对称轴是直线x＝(k∈Z).
【检测反馈】
1. C　由正切型函数的性质，知f(x)＝tan 的最小正周期T＝＝π.
2. B　令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以函数图象的一个对称中心是，故A正确；当k＝1时，x＝＋＝，所以函数图象的一个对称中心是，故D正确；当k＝－2时，x＝－＋＝－，所以函数图象的一个对称中心是，故C正确；令＝＋，k∈Z，无解．故B错误．
3. ABC　对于A，当x＝时，y＝tan ＝tan ＝1，所以直线x＝与函数y＝tan 交于点，故A正确；对于B，由正切函数的图象可知，直线y＝与函数y＝tan 的图象相交，故B正确；对于C，当x＝时，y＝tan ＝tan ＝－1，所以直线x＝与函数y＝tan 交于点，故C正确；对于D，当x＝时，y＝tan （2×＋）＝tan ，无意义，所以直线 x＝与函数y＝tan 的图象无交点，故D错误．故选ABC.
4. 　由题意，得是该函数周期的整数倍，即＝×k(k∈Z)，解得ω＝(k∈Z).又ω>0，所以ω的最小值为.
5. (1) 由题意，得－≠kπ＋(k∈Z)，
解得x≠2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的定义域为.
令－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
解得－＋2kπ所以f(x)的增区间为（－＋2kπ，＋2kπ）(k∈Z)，无减区间．
(2) 由f(x)≤，得－＋kπ<－≤＋kπ(k∈Z)，
解得－＋2kπ则f(x)≤的解集为(k∈Z).

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