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5.5.2　简单的三角恒等变换(1)
1. 能用二倍角公式推导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式推导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
活动一 半角公式的推导及理解
我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下几个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．
思考1
α与有什么关系？
例1　用cos α表示sin2，cos2，tan2.
思考2
sin2＝，cos2＝，tan2＝这三个式子有什么共同特点？
求证：tan ＝＝.
1. 例1的结果还可以表示为：sin ＝± ，cos ＝± ， tan ＝± ，并称之为半角公式，符号由角所在象限决定．
2. 降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．
3. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．
活动二 积化和差与和差化积公式的推导及理解
例2　求证：
(1) sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
(2) sin θ＋sin φ＝2sin cos .
求证：
(1) cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]；
(2) sin θ－sin φ＝2 cos sin .
本例的证明过程中用到了换元的思想，如将α＋β看作θ，α－β看作φ，从而将包含 α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，将sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，将等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．
活动三　三角函数式的化简求值　
例3　(1) 已知α∈，化简：＋＝　　　　；
(2) －＝　　　　．
若α∈，且cos α＝，则＝　　　　．
化简问题中的“三变”：
(1) 变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2) 变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3) 变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
活动四 证明三角恒等式
例4　求证：＝1－.
求证：＝sin 2α.
三角恒等式证明的思路：通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
1. （2024南京期中）若cos α＝－，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A. B. － C. ± D.
2. （2024武威十八中期中）sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　　)
A. 0 B. C. D. 1
3. （多选）（2025长春期末）下列各式中，值为的是(　　)
A. 2sin 75°cos 75° B. 1－2sin 2
C. sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15° D. tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
4. （2025湖北部分学校一模）若α∈，且cos 2α＝cos ，则α＝　　　　．
5. 求证：＝.
5.5.2　简单的三角恒等变换(2)
1. 通过三角恒等变形将形如y＝a sin x＋b cos x的函数转化为y＝A sin (x＋φ)的函数.
2. 灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．
3. 通过对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力．
活动一 辅助角公式的推导及理解
思考1
三角函数y＝sin x，y＝cos x的周期、最大值和最小值是多少？
思考2
函数y＝a sin x＋b cos x的变形与应用是怎样的？
例1　求下列函数的最小正周期、最大值和最小值：
(1) y＝sin x＋cos x；
(2) y＝3sin x＋4cos x.
设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝　　　　．
(1) 利用a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)将形如y＝a sin x＋b cos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．
(2) 化a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)时φ的注意点：tan φ＝；φ所在象限由点(a，b)确定．
活动二　恒等变换与三角函数图象性质的综合　
例2　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinx cos x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求证：当x∈时，f(x)≥－.
　
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k（或y＝A cos (ωx＋φ)＋k）的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
活动三　三角函数在实际问题中的应用　
思考3
用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
思考4
建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
例3　如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
　
应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项：
(1) 方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
(2) 注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；②注意实际问题中变量的范围；③重视三角函数有界性的影响．
活动四　三角恒等变换与三角形的结合　
例4　已知实数x0，x0＋是函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(ω>0)的相邻的两个零点．
(1) 求ω的值；
(2) 在△ABC中，若f(A)＝，且＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2) 已知△ABC为锐角三角形，A＝，且f(B)＝，求cos 2B的值．
三角恒等变换与三角形的结合的解题模板：
利用辅助角公式化简f(x)→研究f(x)的相关性质→结合条件求解三角形内角→利用正、余弦定理求解相关问题→反思解题过程注意规范化．
1. （2024上海期中）函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期是(　　)
A. 6π B. －6π C. － D.
2. （2024石家庄二中期中）在△ABC中，内角A，B，C满足2sin B cos C＝sin A，则△ABC的形状为(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
3. （多选）（2025宿州期末）已知函数f(x)＝sin ＋sin ，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x＋2π)＝f(x)
B. 直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)的最大值为2
D. f是偶函数
4. （2025上海期末）方程 sin x－cos x＝2 在区间 [0，2π]上的解为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝sin （x－）cos x＋cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和减区间；
(2) 求函数f(x)在区间上的值域．
5.5.2　简单的三角恒等变换(1)
【活动方案】
思考1：α是的二倍角．
例1 由cos α＝1－2sin2，得sin2＝；
由cos α＝2cos2－1，得cos2＝.
两式相除可得tan2＝＝.
思考2：(1) 用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；
(2) 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）.
跟踪训练　tan ＝＝＝，tan ＝＝＝，
所以tan ＝＝.
例2 (1) 因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
两式相加得2sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)，
所以sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)].
(2) 由(1)得sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β.①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
将α，β的值代入①式，
得sin θ＋sin φ＝2sin cos .
跟踪训练　(1) 因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
两式相减得2cos αsin β＝sin (α＋β)－sin (α－β)，
所以cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)].
(2) 由(1)得sin (α＋β)－sin (α－β)＝2cos αsin β.①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
将α，β的值代入①式，
得sin θ－sin φ＝2cos sin .
例3 (1) －cos 　原式＝＋.因为π＜α＜，所以＜＜，所以cos ＜0，sin＞0，所以原式＝＋＝－＋＝－cos .
(2) 4　原式＝＝＝＝4.
跟踪训练　　原式＝＝＝＝.
例4 左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练　方法一：左边＝＝＝＝cos αsin·cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
所以原等式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
所以原等式成立．
【检测反馈】
1. A　因为cos α＝－，所以cos 2＝＝＝.因为α∈(0，π)，所以∈，所以cos ＝.
2. A　sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝2sin ·cos －sin 80°＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝2×cos 10°－sin (90°－10°)＝cos 10°－cos 10°＝0.
3. AC　因为2sin 75°cos 75°＝sin (2×75°)＝，故A正确；因为1－2sin 2＝cos ＝－，故B错误；因为sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝，故C正确；因为1＝tan (20°＋25°)＝，整理，得tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，故D错误．故选AC.
4. －　由cos 2α＝cos ，得cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α).因为α∈，所以cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝，则sin ＝.由α∈，得α＋∈，所以α＋＝，解得α＝－.
5. 左式＝＝＝＝
＝＝右边，
所以原等式成立．
5.5.2　简单的三角恒等变换(2)
【活动方案】
思考1：y＝sin x，y＝cos x的周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.
思考2：函数y＝a sin x＋b cos x＝（sin x＋cos x）.
因为＋＝1，
所以令＝cos φ，＝sin φ，
则a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin (x＋φ)，
所以a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，此公式称为辅助角公式，其中φ可通过tan φ＝以及点(a，b)所在的象限来确定．
例1 (1) y＝sin x＋cos x＝2（sin x＋cos x）＝2＝2sin ，
所以函数的最小正周期为2π，最大值为2，最小值为－2.
(2) y＝3sin x＋4cos x＝5＝5sin (x＋φ)，其中tan φ＝，
所以函数的最小正周期为2π，最大值为5，最小值为－5.
跟踪训练　－　f(x)＝sin x－2cos x＝（sin x－cos x）＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
例2 　f(x)＝5×＋×－2sin 2x＝3＋2cos 2x－2sin 2x＝3＋4＝3＋4sin ＝3－4sin .
因为－≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以sin ∈，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为.
因为y＝sin z，z∈的单调增区间是，
且由－≤2x－≤，得－≤x≤，
所以函数f(x)的单调减区间是.
跟踪训练　(1) f(x)＝cos －2sin x cos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以T＝＝π.
(2) 令t＝2x＋.
因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
因为y＝sin t在区间上单调递增，在区间上单调递减，sin ＝－，sin ＝，
所以f(x)≥sin ＝－.
思考3：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
思考4：化成y＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式．
例3 在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在Rt△OAD中，＝tan ＝，
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝（cos α－sin α）sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos 2α－＝（sin 2α＋cos 2α）－＝sin －.
由0<α<，得＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，即α＝时，S有最大值，
故当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
跟踪训练　如图，设∠AOB＝θ，θ∈，
则AB＝a sin θ，OA＝a cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
所以S＝2a cos θ·a sin θ＝a2sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，
所以当2θ＝，即θ＝时，S有最大值a2，
故当点A，D与点O的距离均为a时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为a2.
例4 (1) f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＝sin ＋1，
由题意得T＝π，所以＝π，所以ω＝1.
(2) 由(1)得f(x)＝sin ＋1，
所以f(A)＝sin ＋1＝，
即sin ＝.
因为0所以2A＋＝，即A＝.
由＋＝，
得＋＝，
所以 cos B＋cos C＝2cos A＝1.
又因为B＋C＝，所以cos B＋cos ＝1，即sin ＝1，所以B＝C＝.
综上，△ABC是等边三角形．
跟踪训练　(1) f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos 2x＝2sin ，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin ≤1，
故f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2) 因为△ABC为锐角三角形，且A＝，
所以即B∈，
所以2B＋∈.
由(1)可知f(B)＝2sin ＝，
即sin ＝，cos ＝－，
所以cos 2B＝cos ＝cos （2B＋）·cos ＋sin sin ＝.
【检测反馈】
1. A　由题意，得f(x)＝－＝－sin （－），所以f(x)的最小正周期T＝＝6π.
2. B　因为2sin B cos C＝sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，即sin (B－C)＝0. 因为B，C∈(0，π)，所以B＝C，所以△ABC为等腰三角形．
3. AD　f(x)＝sin ＋sin ＝sin （x＋）＋cos ＝sin .对于A，由T＝＝2π，得f(x)的最小正周期为2π，故A正确；对于B，f＝sin ＝ ≠±，故B错误；对于C，f(x)的最大值为，故C错误；对于D，因为f＝sin ＝cos x，所以f为偶函数，故D正确．故选AD.
4. x＝　因为sin x－cos x＝2sin ＝2，所以sin ＝1，所以x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z.又因为x∈[0，2π]，所以x＝.
5. (1) 由题意，得f(x)＝sin cos x＋cos2x－＝sinx cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ，
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的减区间为，k∈Z.
(2) 因为x∈，所以2x＋∈，
则sin ∈，
所以f(x)∈，
即函数f(x)在区间上的值域为.

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