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5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1)
了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．
活动一 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
由y＝sin x到y＝A sin (ωx＋φ)的过程中，其性质发生了哪些变化？请结合函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，归纳其周期、单调性及最值的变化．
函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)
定义域 R
值域 [－A，A]
周期 T＝
对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得， 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得
例1　已知函数y＝a－b cos (b>0)的最大值为，最小值为－.
(1) 求a，b的值；
(2) 求函数g(x)＝－4a sin 的最小值，并求出对应x的集合．
已知函数f(x)＝sin ，x∈R.
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b中影响最值的量是A的符号，b的大小以及x的范围．
2. 对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(y＝A cos （ωx＋φ)＋b）的最大值、最小值问题，重点在于求解函数取得最大值、最小值时相应自变量x的取值集合，这时一定要把ωx＋φ看作一个整体，将其与函数y＝sin x(y＝cos x)相类比．
活动二　熟练掌握图象的变换　
例2　(1) 要得到y＝sin 的图象，只需将y＝cos 的图象上所有的点向　　　平移　　　个单位长度；
(2) 为了得到y＝3sin 的图象，只需将y＝3sin 的图象上所有点的　　　坐标变为原来的　　　　倍；
(3) 将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，所得到的图象对应的函数解析式是　　　　．
如何由函数y＝cos x的图象得到函数y＝3cos 的图象？
由y＝A cos ωx的图象变换成y＝A cos (ωx＋φ)的图象时，可将y＝A cos (ωx＋φ)化为y＝A·cos [ω（x＋）].由x＋与x的关系确定左右平移的方向，当>0时，向左平移个单位长度，当<0时，向右平移个单位长度．
活动三　函数y＝A sin (ωx＋φ)、y＝A cos (ωx＋φ) 和y＝A tan (ωx＋φ)图象的对称性　
例3　(1) 函数y＝sin x图象的对称轴方程是　　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　；
(2) 函数y＝3sin 图象的对称轴方程是　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　；
(3) 函数y＝cos x图象的对称轴方程是　　　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　；
(4) 函数y＝5cos 图象的对称轴方程是　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　．
将函数y＝2sin 的图象向左平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是　　　　．
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z；函数y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z.
例4　(1) 函数y＝tan x图象的对称中心的坐标是　　　　　　；
(2) 函数y＝tan 图象的对称中心的坐标是　　　　　　．
函数y＝A tan (ωx＋φ)图象的对称中心为（，0），k∈Z.
活动四 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的简单应用
例5　已知函数f(x)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为－2，相邻两条对称轴之间的距离为.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 当x∈时，求函数f(x)的值域；
(3) 若方程f(x)＝m在区间上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
1. （2025辽宁期末）已知函数f(x)＝cos 2x，函数g(x)的图象可看作f(x)的图象向左平移个单位长度得到的，则g的值为(　　)
A. 0 B. C. D.
2. 已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则g(x)等于(　　)
A. 2sin B. 2sin C. 2sin D. 2sin
3. （多选）已知函数f(x)＝cos ，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
B. f(x)图象的对称中心是，k∈Z
C. f(x)在区间上的值域是
D. 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(－2 025)＋g(2 025)＝0
4. （2025郴州期末）将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到y＝sin 的图象，则φ的最小值为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝2sin .
(1) 写出函数f(x)的最小正周期；
(2) 将函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性．
5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2)
根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象特征及性质求函数解析式．
活动一 根据图象特征求解析式
例1　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象（部分）如图所示，求函数f(x)的解析式．
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，求函数的解析式．
1. 一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
2. 因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.
3. 从寻找“五点法”中的第一个“零点”（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.
例2　设函数y＝A sin ＋b(A＞0，ω>0)，在同一周期内，当x＝时，y有最大值；当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式．
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，在同一周期内，当x＝时，函数取最大值4；当x＝时，函数取最小值－4，那么函数的解析式为　　　　　　　　．
活动二　掌握三角函数的单调性与奇偶性　
例3　求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝sin ；
(2) f(x)＝cos ；
(3) f(x)＝2tan .
(1) 求函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调增区间；
(2) 求函数f(x)＝sin 的单调增区间；
(3) 求函数f(x)＝lg 的单调减区间．
设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<0)，函数y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1) 求φ的值；
(2) 求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
例4　将函数y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象对应的函数是偶函数，则φ的最小正值是　　　　．
(1) 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝　　　　；若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝　　　　；
(2) 若f(x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝　　　　；若f(x)＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝　　　　．
1. （2025新乡期末）将函数f(x)＝2sin 的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. g(x)是奇函数
B. g＝
C. g(x)的图象关于点中心对称
D. g(x)的图象关于直线x＝－对称
2. 函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数，当x∈时，方程f(x)－k＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为(　　)
A. [0，1） B.
C. D.
3. （多选）（2024阳泉期末）函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数g(x)的最小正周期为π
B. 函数g(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
C. 函数g(x)为奇函数
D. 函数g(x)的增区间为(k∈Z)
4. （2024天津宁河期末）已知函数y＝sin (ωx＋φ)（ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则φ＝　　　　．
5. 如图，函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象经过P（0，），M（－，0），N（，0）三点．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到g(x)的图象．若h(x)＝＋g(x)，求函数h(x)的增区间．
5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1)
【活动方案】
例1 (1) 因为x∈R，所以cos ∈[－1，1].
又因为b>0，所以－b<0，
所以当cos ＝－1时，ymax＝a＋b＝，
当cos ＝1时，ymin＝a－b＝－，
解方程组得
(2) 由(1)知g(x)＝－2sin .
因为sin ∈[－1，1]，
所以当sin ＝1时，g(x)取最小值－2，
此时x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z，
所以对应x的集合为.
跟踪训练　(1) T＝＝π.
(2) 因为≤x≤，所以0≤2x－≤，
所以－≤sin ≤1，
所以－1≤sin ≤，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
例2 (1) 右　π　(2) 横　2　(3) y＝sin 4x
跟踪训练　方法一：y＝cos x
y＝cos y＝3cos .
方法二：y＝cos x
y＝cos 2x
y＝cos
y＝3cos ＝3cos .
例3 (1) x＝＋kπ，k∈Z　(kπ，0)，k∈Z
(2) x＝＋，k∈Z　，k∈Z
(3) x＝kπ，k∈Z　，k∈Z
(4) x＝－，k∈Z　，k∈Z
跟踪训练　　将y＝2sin 的图象向左平移m个单位长度，则y＝2sin ，其图象关于y轴对称，所以m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z，所以取k＝1，m的最小正值为.
例4 (1) ，k∈Z (2) ，k∈Z
例5 (1) 由已知得解得
由相邻两条对称轴间的距离为可知最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝3sin ＋1.
(2) 当x∈时，2x＋∈，
此时sin ∈[0，1]，
所以f(x)＝3sin ＋1∈[1，4]，
即函数f(x)的值域为[1，4].
(3) 由y＝sin x在区间上先增再减可知f(x)＝3sin ＋1在区间上先增再减．
又f＝＋1，f＝1，f＝4，
根据函数f(x)的草图，易知实数m的取值范围是.
【检测反馈】
1. A　由题意，得g(x)＝cos ＝·cos ，所以g＝cos ＝cos ＝0.
2. B　因为函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，即f(x)＝2sin .将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin [2（x＋）＋]＝2sin （2x＋）的图象．
3. ACD　由x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝cos 的对称轴方程为x＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；由x－＝k1π＋，k1∈Z，解得x＝＋2k1π，k1∈Z，所以f(x)＝cos 的对称中心是，k1∈Z，故B错误；当x∈时，x－∈，此时cos （x－）∈[－，1]，即f(x)∈，故C正确；将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝cos [（x－）－]＝sin x的图象，所以g(－x)＝sin ＝－sin x＝－g(x)，又g(x)的定义域为R，所以g(x)是奇函数，所以g(－2 025)＋g(2 025)＝0，故D正确．故选ACD.
4. 　将f(x)＝sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到g(x)＝sin 的图象，所以2φ＋＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z. 又φ>0，故当k＝0时，φ取得最小值，最小值为.
5. (1) 因为f(x)＝2sin ，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝2π.
(2) 将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＝2sin x的图象．
因为g(－x)＝2sin (－x)＝－2sin x＝－g(x)，
所以函数g(x)为奇函数．
5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2)
【活动方案】
例1 由图象知A＝2，＝－＝，所以ω＝π，
所以f＝2sin ＝2.
又|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
跟踪训练　显然A＝2，又图象过点(0，1)，
所以f(0)＝1，所以sin φ＝.
又因为|φ|＜，所以φ＝.
由图象结合“五点法”可知，对应五点中的点(2π，0)，
所以·ω＋＝2π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin .
例2 由题意，得解得
由T＝＝2×，得ω＝，
所以y＝sin ＋.
跟踪训练　y＝4sin 　由最值可以得出A＝4，再由两个相邻对称轴方程知T＝π，则ω＝2.代入一个最值点的坐标，即可求得φ＝，故y＝4sin .
例3 (1) 单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z).
(2) 单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z).
(3) 单调增区间为(k∈Z)，
不存在单调减区间．
跟踪训练1　(1) 由题意，得－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以函数f(x)的单调增区间为，.
(2) f(x)＝sin ＝－sin .
由题意，得＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3) 由题意，得sin >0，且y＝sin （2x＋）单调递减，
所以2kπ＋≤2x＋<π＋2kπ，k∈Z，
解得kπ＋≤x所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋）(k∈Z).
跟踪训练2　(1) 由题意，得2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z.
因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2) 由(1)知，f(x)＝sin .
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
同理可得函数f(x)的单调减区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最小值－1.
例4 　　将y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，得到y＝cos 的图象．因为y＝cos （x－φ＋）是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以cos ＝±1，所以φ－＝kπ，k∈Z.当k＝－1时，φ取得最小正值.
跟踪训练　(1) kπ，k∈Z　kπ＋，k∈Z
(2) kπ＋，k∈Z　kπ，k∈Z
【检测反馈】
1. D　由题意，得g(x)＝2sin ＝2sin .因为g(0)＝－1≠0，所以g(x)不是奇函数，故A错误；g＝2sin ＝1≠，故B错误；令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以g(x)的图象的对称中心为(k∈Z)，故C错误；令2x－＝k′π＋(k′∈Z)，得x＝＋(k′∈Z)，当k′＝－1时，x＝－，故D正确．
2. D　f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin ＝sin （2x＋＋φ）的图象．因为y＝sin （2x＋＋φ）为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .当x∈时，2x＋∈，所以f(x)＝sin ∈，令t＝2x＋∈，g(t)＝sin t，作出其图象如图所示．易知方程f(x)－k＝0有两个不同的实根等价于g(t)－k＝0有两个不同的实根，由图象可知，k∈.
3. ACD　由图象可知，A＝3，T＝－（－），所以T＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝3sin (2x＋φ).由f(x)的图象过点（，－3），得3sin （2×＋φ）＝－3，所以φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝3sin （2x＋），所以g(x)＝3sin ＝3sin 2x，所以g(x)的最小正周期为＝π，故A正确；令2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故B错误；易知g(x)的定义域为R，因为3sin (－2x)＝－3sin 2x，所以g(x)为奇函数，故C正确；令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即g(x)的增区间为(k∈Z)，故D正确．故选ACD.
4. 　由函数图象可知，最小正周期T＝4（－）＝π，则＝π，解得ω＝2，所以y＝sin (2x＋φ).由图象过点（，0），得sin （2×＋φ）＝0，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝.
5. (1) 由图可得，函数f(x)的最小正周期T＝2＝2π，所以ω＝＝1.
又函数f(x)过点，且图象在该点附近单调递增，
所以－＋φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z).
因为0<φ<π，所以φ＝.
因为f(x)的图象过点，
所以A sin ＝，解得A＝1，
所以f(x)＝sin .
(2) 将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin ，
所以h(x)＝sin2＋sin＝＋sin ＝sin 2x＋.
令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以h(x)的增区间为，k∈Z.

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