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5.7　三角函数的应用
5.7.1　三角函数的应用(1)
1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题．
2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．
活动一 了解简谐运动
现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，可以利用三角函数建立一些周期性运动的数学模型．
问题　某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
思考
在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)各参数的物理意义是什么？
例1　如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时．
(1) 求物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；
(2) 求该物体在t＝5 s时的位置．
已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞）（取向上的方向为正方向）.
(1) 作出这个函数在一个周期内的简图；
(2) 小球在开始振动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(3) 小球往返振动一次需经过多长时间？
活动二　了解三角函数在水轮、摩天轮模型中的应用　
例2　一个半径为4 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度y（单位：m）表示为时间x（单位：s）的函数；
(2) 点P第一次到达最高处大约需要多长时间？
如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，已知此摩天轮每20 min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．
(1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7 m？
1. （2024北京密云期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点P（，2），其对应的方程为|y|＝（2－）|sin ωx|（x≥0，其中[x]为不超过x的最大整数，0<ω<5）.若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
（第1题） （第2题） （第3题）
2. 如图，记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA＝5 cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y（单位：cm）与时间t（单位：min）的函数解析式为(　　)
A. y＝5|sin t| B. y＝5|cos t|　 C. y＝5|sin t| D. y＝5|cos t|
3. （多选）（2024广州期末）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋b（A>0，ω>0，－<φ<），则下列结论中正确的是(　　)
A. A＝3 B. ω＝　 C. sin φ＝－ D. b＝－0.8
4. （2024金华期末）若函数f(n)＝200cos （＋）＋300（n为月份且n∈{1，2，3，…12}）近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断当n＝　　　　时，游客流量最大．
5. 如图，某地一天中6～14时的温度变化曲线近似满足y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π).
(1) 求这段曲线的函数解析式；
(2) 某行业在该地经营，当温度在区间[20－5，20＋5]上时为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间有多少小时？
5.7.2　三角函数的应用(2)
1. 能应用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题．
2. 理解三角函数是描述周期现象的重要数学模型，并能熟练运用．
活动一 港口水深的变化与三角函数
例1　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口某天的时刻与水深y（单位：m）的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深/m 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
时刻 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 7.5 5.0 2.5 5.0
(1) 选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系；
(2) 一艘货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为4.75 m，安全条例拟定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5 m，请问该船何时能进出港口？
已知某海滨浴场海浪的高度y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b.
(1) 根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2) 依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
三角函数模型构建的步骤：
(1) 收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2) 制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3) 利用三角函数模型解决实际问题．
(4) 根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
活动二　了解解决三角函数应用题的一般步骤　
例2　生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了一昼夜人的体温的变化（从夜间零时开始计时）.
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8
(1) 作出这些数据的散点图；
(2) 选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3) 和散点图一起，画出(2)中所选函数的图象．
已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1) 求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2) 如果有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
1. 现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本例中一昼夜人的体温的变化，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述．
2. 建立三角函数模型解决实际问题的思路是：
(1) 收集与角有关的信息，确定相应的三角模型．
(2) 建立三角函数关系式．
(3) 求解．
(4) 作答．
活动三 三角函数模型在物理中的应用
例3　已知电流强度I（单位：A）与时间t（单位：s）的关系式是I＝A sin (ωt＋φ)（A>0，ω>0，|φ|<）.
(1) 若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的部分图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2) 为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一段 s的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
1. 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题．解决这类问题必须清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2. 将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝A sin (ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
1. 函数f(x)＝sin 的周期，振幅，初相分别是(　　)
A. π，， B. 4π，－2，－ C. 4π，， D. 2π，2，
2. 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝3cos （t＋），t∈[0，＋∞），取g＝10 m/s2，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s，则线长约为（精确到0.1 cm）(　　)
A. 12.7 cm B. 25.3 cm　 C. 101.3 cm D. 50.7 cm
3. （多选）（2024西安期末）如图，天津永乐桥摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮．以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：min）与座舱P距离地面的高度h(t)（单位：m）的函数关系式为h(t)＝A sin （t＋θ）＋h，A>0，|θ|<π，且开始转动5 min后，座舱P距离地面的高度为37.5 m，转动10 min后，座舱P距离地面的高度为92.5 m，则下列结论中正确的是(　　)
A. θ＝－
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30 min
C. A＝55
D. 该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120 m
（第3题） （第4题）
4. 三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形的面积S2之比为1∶16，则cos （α－）＝　　　　．
5. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：℃）随时间t（0≤t≤24，单位：h）的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)关系．
(1) 求y＝f(t)的表达式；
(2) 请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
5.7　三角函数的应用
5.7.1　三角函数的应用(1)
【活动方案】
问题：振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝A sin (ωt＋φ)来刻画．根据已知数据作出散点图，如图所示．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A＝20；振子振动的周期为0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为－20，可得sin φ＝－1，因此φ＝－，所以振子位移关于时间的函数解析式为y＝20sin （t－），t∈[0，＋∞）.
思考：x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需要的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相．
例1 (1) 设x＝3sin (ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，x＝3sin φ＝3，则φ＝，
所以x＝3cos t.
(2) 当t＝5时，x＝3cos ＝－1.5，
所以物体在t＝5 s时的位置是在点O的左侧1.5 cm处．
跟踪训练　(1) 依“五点法”作简图，列表如下：
t
2t＋ π 2π
s 4 0 －4 0 4
描点作图，如图所示：
(2) 将t＝0代入函数式得s＝4sin ＝4sin ＝2，所以小球开始振动时，离开平衡位置的位移为2 cm.
(3) 函数的周期为T＝＝π，即小球往返振动一次所需的时间约为π s.
例2 (1) 如图，建立平面直角坐标系．
设角φ∈是以Ox为始边，OP0为终边的角．
易知OP在x s内所转过的角为x＝x，
故点P的纵坐标为4sin ，
则y＝4sin （x＋φ）＋2.
又当t＝0时，y＝0，可得sin φ＝－，
所以φ＝－，所以y＝4sin ＋2.
(2) 当点P第一次到达最高处时，
4sin ＋2＝6，即sin ＝1.
取x－＝，解得x＝5，
故点P第一次到达最高处大约需要5 s.
跟踪训练　(1) 设时间为t，相对于地面的高度为y.
由题意得每秒旋转的角度为＝，
所以y＝10sin t＋12.
(2) 由题意，得10sin t＋12≤7，即sin t≤－，所以≤t≤，解得≤t≤，－＝(min)，
所以约有 min此人相对于地面的高度不超过7 m.
【检测反馈】
1. D　将点P（，2）代入|y|＝（2－）|sin ωx|中，得（2－[]）|sin |＝2，即|sin |＝1.因为0<ω<5，所以0<<，所以＝，解得ω＝2，故|y|＝（2－）|sin 2x|.当x＝时，|y|＝（2－）|sin |＝|sin |＝，即点M到x轴的距离为.
2. D　由题意，得分针每分钟转＝，则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为y＝5|sin （－t＋φ）|，当t＝0时，点A在钟表的12点处，此时y＝5，所以5＝5|sin |，则|sin φ|＝1，取φ＝，此时y＝5|cos t|.
3. ABC　由题意知，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以振幅A＝3，且T＝＝40，可得ω＝＝＝，故A，B正确；由筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m，可得b＝2.2，故D错误；根据题意，当t＝0时，d＝0，即0＝3sin φ＋2.2，得sin φ＝－，故C正确．故选ABC.
4. 8　因为n∈{1，2，3，…，12}，所以＋∈{，π，，，，，，2π，，，，}，所以当＋＝2π，即n＝8时，cos 取最大值1，所以当n＝8时，f(n)取最大值．又游客流量越大所需服务工作的人数越多，即当n＝8时，游客流量最大．
5. (1) 由题图知A＝＝10，b＝＝20，T＝·＝14－6＝8，得ω＝，
所以y＝10sin ＋20.
把t＝6，y＝10代入上式，得φ＝，
所以这段曲线的函数解析式为y＝10sin （t＋）＋20，t∈[6，14].
(2) 由题意，得20－5≤10sin ＋20≤20＋5，
即－≤sin ≤，
解得kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z，
即8k－8≤t≤8k－4，k∈Z.
因为t∈[6，14]，取k＝2，得8≤t≤12，
所以最佳营业时间有12－8＝4(h).
5.7.2　三角函数的应用(2)
【活动方案】
例1 (1) 设时间为x，所求函数为y＝A sin ωx＋k，
则由已知数据可以得出A＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝＝，所以这个港口的水深与时间的函数关系为
y＝2.5sin x＋5，x∈[0，24].
(2) 货轮需要的安全水深为4.75＋1.5＝6.25(m)，
所以当y≥6.25时就可以进出港．
令2.5sin x＋5≥6.25，得sin x≥，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即12k＋1≤x≤12k＋5，k∈Z.
因为x∈[0，24]，所以1≤x≤5或13≤x≤17，
因此货轮在1：00至5：00和13：00至17：00可以进出港口．
跟踪训练　(1) 由表中数据知周期T＝12，
所以ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1，
所以A＝0.5，b＝1，所以y＝cos t＋1.
(2) 由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
所以cos t＋1>1，所以cos t>0，
所以2kπ－即12k－3因为0≤t≤24，所以可令k分别为0，1，2，
得0≤t<3或9所以在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即9：00至15：00.
例2 (1) 设时间为t，温度为y，图象如图所示．
(2) 设t时的体温为y＝A sin (ωt＋φ)＋C，
则C＝＝37，A＝＝0.4，
ω＝＝，则由0.4sin ＋37＝37.4，得sin ＝1，取φ＝－，故可用y＝0.4sin （t－）＋37来近似描述这些数据．
(3) 如图所示．
跟踪训练　(1) 因为x∈[4，16]，
所以x－∈.　
由函数图象易知，当x－＝，即x＝14时，函数取最大值，即最高温度为30℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取最小值，即最低温度为10℃，
所以最大温差为30－10＝20(℃).
(2) 令10sin ＋20＝15，
可得sin ＝－.
又x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin ＋20＝25，
可得sin （x－）＝.
又x∈[4，16]，所以x＝，
故该细菌的存活时间为－＝(h).
例3 (1) 由图知A＝300，T＝2×＝，
所以ω＝＝100π.
由图可知，当t＝＝时，I取最小值－300，
则 ×100π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，则φ＝，
所以I＝300sin ，t≥0.
(2) 问题等价于T≤，即 ≤，
所以ω≥200π，所以正整数ω的最小值为629.
【检测反馈】
1. C　函数f(x)＝sin 的周期为T＝＝4π，振幅为A＝，初相为φ＝.
2. B　因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s，所以函数s(t)的最小正周期为T＝1.因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝3cos （t＋），t∈[0，＋∞），且取g＝10 m/s2，所以＝1，解得l＝≈25.3(cm)，即线长约为25.3 cm.
3. BCD　由题意，得h(0)＝－A＋h＝A sin θ＋h，则sin θ＝－1.因为|θ|<π，所以θ＝－，故A错误；由h(t)＝A sin （t＋θ）＋h，得周期为T＝＝30，则该摩天轮转动一圈所用的时间为30 min，故B正确；由A知h(t)＝A sin （t－）＋h，由得所以座舱P距离地面的最大高度为A＋h＝55＋65＝120(m)，故C，D正确．故选BCD.
4. 　设大正方形的边长为a，则直角三角形的直角边分别为a sin α，a cos α，则S2＝a2，S1＝S2－4×a2sin αcos α＝a2－2a2sin αcos α，则＝＝1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.因为α∈（0，），所以sin α＋cos α＝，所以cos （α－）＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)＝×＝.
5. (1) 因为f(t)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)图象上最低点坐标为(2，－4)，与之相邻的最高点坐标为(14，12)，
所以A＝＝8，＝14－2＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4，
所以T＝＝24，解得ω＝，
所以f(t)＝8sin ＋4，0≤t≤24.
(2) 由(1)，得8sin ＋4<0，
所以sin <－，
所以＋2kπ解得22＋24k因为0≤t≤24，
所以0≤t<6或22所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8h.

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