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第五章　三角函数 本 章 复 习
1. 梳理本章知识点，形成知识体系．
2. 巩固三角函数的概念，灵活运用同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间）；理解和（差）公式、倍角公式等所反映出的三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示；理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和图象变换，综合运用这些知识解决问题．
3. 体会数形结合思想、由特殊到一般思想、整体代换思想、分类讨论思想及转化思想的应用．
活动一 构建知识网络
活动二 理解概念，掌握基本方法
例1　(1) 与－30°角终边相同的角的集合为　　　　　　　　；（用弧度制表示）
(2) 已知P（－，m）为角α的终边上的一点，且sin α＝，则m的值为　　　　；
(3) 化简：1＋cos ·sin ·tan (π＋α)＝　　　　．
已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值．
活动三　三角函数的图象与性质　
例2　函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k（A＞0，ω＞0，|φ|<）的部分图象如图所示．
(1) 求函数的解析式；
(2) 分析一下该函数的图象是如何通过y＝sin x 的图象变换得来的．
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|<）的部分图象如图所示，求函数y＝f(x)的解析式．
例3　已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1（其中a为常数）.
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3) 求f(x)取最大值时x的取值集合．
活动四 提升探究能力，数形结合思想
例4　如图，在平面直角坐标系xOy中，P(x，y)是单位圆上的一个动点，它以单位圆与y轴负半轴的交点P0为初始位置，沿单位圆按逆时针方向旋转，设旋转角为α.
(1) 将x表示为α的函数f(α)；
(2) 若f＝2f(α)，求sin αcos α的值；
(3) 若f＝，且－<α<，求sin 的值．
例5　作出函数f(x)＝sin 的图象，并写出它的单调增区间．
若f(x)＝sin 在区间[0，a]上有且只有两个最大值，求实数a的取值范围．
若方程sin ＝a在区间上有两解．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若方程的两解为α和β，求α＋β的值．
若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，则实数a的取值范围是　　　　．
例6　已知函数f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a)；
(2) 若g(a)＝，求a的值及此时函数f(x)的最大值．
活动五 三角恒等变换的综合应用
例7　某公园内有一个半径为20 m的扇形空地OAB，且∠AOB＝.公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个形状为矩形MNPQ的老年活动场所，如下图所示有两种方案可供选择．
(1) 若选择方案一，设∠NOA＝α，请用α表示矩形MNPQ的面积，并求面积的最大值；
(2) 若选择方案二，求矩形MNPQ面积的最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）？
参考数据：≈1.414，≈1.732.
方案一 方案二
　
如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.
(1) 将十字形的面积S表示成θ的函数；
(2) 求十字形面积S的最大值，并求出此时的值．
活动六　转化与化归思想　
例8　已知＜α＜，0＜β＜，cos （－α）＝，sin ＝，求sin (α＋β)的值．
设tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且0＜α＜，π＜β＜，求α＋β的值．
1. （2024北京大兴期末）sin 的值为(　　)
A. － B. － C. D.
2. 下列区间是函数f(x)＝5cos （2x－）的减区间的是(　　)
A. （－，） B. （－，）
C. （，π） D. （，）
3. （多选）（2024郑州期末）已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的最大值为2
B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称
C. 直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
D. 函数y＝f(x)在区间上单调递增
4. （2025北京海淀期末）若θ为第二象限角，且sin θ＝，则cos (π＋θ)cos ＝　　　　
5. （2025郴州期末）已知f(x)＝－2cos 2x＋2sin x cos x＋1.
(1) 求f(x)的最小正周期与单调增区间；
(2) 已知f＝，α∈，角β的终边与单位圆交于点A，求cos (α＋β)的值．??　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
?????
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1)
(2) 　r＝，所以sin α＝＝，解得m＝±.因为sin α＝＞0，所以m＞0，所以m＝.
(3) cos2α　原式＝1－sin α·cos α·tan α＝1－sin α·cos α·＝1－sin2α＝cos2α.
跟踪训练　因为sinα＋cos α＝，①
两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以cos α＜0＜sin α.
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.②
由①②得sin α＝，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
例2 　(1) 由图象知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝，
所以y＝sin －1.
(2) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，然后纵坐标不变、横坐标变为原来的，得到y＝sin 的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin （2x＋）的图象，最后将函数y＝sin （2x＋）的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin （2x＋）－1的图象．
跟踪训练　由题意，得A＝，
由T＝＝4×＝π，得ω＝2，
所以f＝sin ＝－，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin .
例3 (1) 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2) 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin ≤1，
所以f(x)max＝2＋a＋1＝4，所以a＝1.
(3) 当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝＋kπ，k∈Z，所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
例4 (1) x＝f(α)＝cos ＝sin α.
(2) 由题意，得sin ＝cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以或
所以sin αcos α＝.
(3) 因为－<α<，所以－<2α＋<，
所以cos ＝＝，
所以sin ＝cos ＝.
例5
单调增区间为(k∈Z).
跟踪训练1　因为x∈[0，a]，
所以2x＋∈.
由题意，得≤2a＋<，即≤a<，
所以实数a的取值范围为.
跟踪训练2　(1) 因为x∈，
所以2x＋∈.　
根据图象可知实数a的取值范围为（－1，－]∪[，1）.
(2) 由题意，得的值为或，
所以α＋β的值为或.
跟踪训练3　（－1，1－]　因为≤x≤π，根据正弦函数的图象以及题意可得≤<1，解得－1＜a≤1－.
例6 　(1) f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x＝1－2a－2a cosx－2(1－cos2x)＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)＝2－－2a－1(－1≤cos x≤1).
①当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
则f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；
②当<－1，即a<－2时，则f(x)min＝g(a)＝1；
③当>1，即a>2时，则f(x)min＝g(a)＝1－4a.
综上所述，g(a)＝
(2) ①若a>2，则1－4a＝，解得a＝，不满足题意，舍去；
②若－2≤a≤2，则－－2a－1＝，
即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3（舍去），
此时f(x)＝2＋.
当cos x＝1时，f(x)取得最大值5；
③若a<－2，则g(a)＝1不满足题意，舍去．
综上所述，a＝－1，此时f(x)的最大值为5.
例7 (1) 由题意，得MQ＝NP＝ON·sin α＝20sin α，OP＝ON·cos α＝20cos α，
则OQ＝＝＝sin α，
所以QP＝OP－OQ＝20cos α－sin α，
所以S矩形MNPQ＝MQ·PQ
＝20sin α（20cos α－sin α）
＝400
＝400（sin2α－·）
＝400
＝400[sin （2α＋）－].
因为0<α<，所以<2α＋<，
故当2α＋＝时，即当α＝时，矩形MNPQ的面积取最大值，且最大值为400×＝.
(2) 如图，取PQ的中点D，连接OD，OP.设OD∩MN＝E，∠POD＝β，其中0<β<.
由圆的几何性质可知OD⊥PQ，
则PD＝OP sin β＝20sin β，OD＝OP cos β＝20cos β.
因为四边形MNPQ为矩形，
所以PN∥QM且MN∥PQ.
又OD⊥PQ，所以DE∥PN，且PD∥NE，
所以四边形PDEN为矩形，
所以NE＝PD＝PQ＝MN，
即E为MN的中点．
又OE⊥MN，则OM＝ON，
所以∠EON＝∠MON＝，
所以OE＝＝＝20sin β，
所以PN＝DE＝OD－OE＝20cos β－20sin β.
又因为PQ＝2PD＝40sin β，
所以S矩形MNPQ＝PQ·PN
＝40sin β（20cos β－20sin β）
＝800（sin βcos β－sin2β）
＝800（sin2β－·）
＝800
＝800[sin （2β＋）－]，其中β∈.
因为0<β<，所以<2β＋<，
故当2β＋＝，即当β＝时，矩形MNPQ的面积取最大值，且最大值为800－400.
因为>2－，所以400×>400（2－），所以方案一更优．
跟踪训练　(1) 由题意，得x＝cos θ，y＝sin θ，θ为锐角．
因为y>x>0，所以sin θ>cos θ，解得<θ<，
所以S＝xy＋x××2＝2xy－x2
＝2sin θcos θ－cos2θ.
(2)由(1)知，S＝2sin θcos θ－cos2θ
＝sin2θ－cos 2θ－
＝×－
＝sin (2θ－φ)－（其中cos φ＝，sin φ＝）.
当sin (2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝，即θ＝＋时，十字形取得最大面积Smax＝－＝.
因为sin φ＝－cos ＝－cos ＝－2cos2＋1＝2sin2－1＝，
所以1－＝2cos2，2sin2＝1＋，
此时＝＝＝＝，
所以＝＝.
综上，Smax＝，此时＝.
例8　因为＜α＜，0＜β＜，
所以－＜－α＜0，＜＋β＜π，
所以sin ＝－＝－，
cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－cos ＝－cos [－]＝－[cos ·cos （－α）＋sin ·sin ]＝－[×＋×]＝.
跟踪训练　因为tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，
所以tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因为0＜α＜，π＜β＜，
所以π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝.
【检测反馈】
1. C　由题意，得sin ＝.
2. D　令2kπ<2x－<π＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋3. AB　由题意，得f(x)＝sin x－cos x＝2（sin x cos －cos x sin ）＝2sin （x－）.对于A，f(x)＝2sin ≤2，故A正确；对于B，C，因为f＝0，所以函数y＝f(x)的图象关于点对称，故B正确，C错误；对于D，易知函数y＝f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故D错误. 故选AB.
4. －　因为θ为第二象限角，且sin θ＝，所以cos θ＝－＝－＝－，所以cos (π＋θ)cos ＝(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θcos θ＝×＝－.
5. (1) f(x)＝－2×＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)由f＝2sin ＝，得sin ＝.
因为α∈，所以α－∈，
所以α－＝，解得α＝.
因为角β的终边与单位圆交于点A，
所以cos β＝－，sin β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos －sin ＝－×－×＝.
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