资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 本章主要内容是算术平均数、加权平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差等统计量的统计意义。课本要求是；学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散程度，并通过研究如何用样本的平均数和方差估算总体的平均数个方差，体会用样本估计整体的思想，
内容分析 本章属于“统计与概率”领域，在本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有三章。前二章是统计，最后一章是概率。统计部分的二章内容按照数据处理的基本过程来安排。本章主要学习如何利用平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数等描述数据的集中趋势，以及如何利用离差平方和差、方差、标准差等描述数据的波动情况。
学情分析 八年级学生认知水平处于直观到抽象转变的阶段,基本形成完整的知识结构体系。由于学生所特有的年龄特点,学生有意注意力占主要地位,以直观思维为主。从整体上看,八年级学生探索欲和求知欲不断增强,大多数学生上课基本上能够跟上教师讲课的思路,而且学生的学习积极性也很容易调动。但自主建构知识体系，提升数学思维水平方面还有待加强。本章节内容较多，区分算术平均数、加权平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差等概念有一定的困难。且计算较为复杂，所以教学时要始终关注学生的状态，及时对学生的学生做出积极的评价。
单元目标 （一）教学目标1.理解平均数、中位数和众数的统计意义；2.会计算中位数、众数、加权平均数。能选择适当地统计量表示数据的集中趋势；3.理解离差平方和、方差、标准差的统计意义，会计算简单数据的离差平方和、方差、标准差；4.能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5.会用样本平均数、方差估计总体平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会样本估计总体的思想；6.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活（二）教学重点、难点重点：正确的求一组数据的平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差，并利用它们对数据做出分析。难点：体会平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差的区别。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数601算术平均数和加权平均数1602离差平方和、方差、标准差1603中位数与箱线图1604哪个团队收益大1605回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务算术平均数和加权平均数1、知识与技能：理解算术平均数、加权平均数的概念，会选用合适的方法求一组数据的算术平均数和加权平均数.2、经历用平均数描述数据集中趋势的过程，体会数据中所蕴含的信息，发展数据分析观念；3、体会算术平均数与加权平均数的联系与区别，发展应用意识.1、学生聆听教师讲授的内容。2、复习众数的含义。3、复习算术平均数的求法4、理解加权平均数的意义5、小组合作探究加权平均数的计算方法。6、小组合作交流算术平均数与加权平均数的联系与区别。7、自学例题。8、交流讨论推导求加权平均数的公式。9、完成课堂练习。10、引导学生进行课堂总结。环节一：章节引入环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结离差平方和、方差、标准差1.了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念1、回顾已学过的几个数据分析的统计量。2、思考如何对两位选手进行评价。3、根据离差平方和，方程标准差的概念，计算本章引入题甲选手设计的离差平方和，方差、标准差.4、计算丁选手射击的方差，比较甲、丁选手的方差大小，组内交流方程对数据稳定性的影响。5、探究10个苹果分成两组的方法。6、分别计算这几种方法的离差平方和，7、小组交流如何分组能使离差平方和最小。8、完成课堂练习。9、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二；问题引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结中位数与箱线图知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图中读取信息。过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计意识和数据分析能力。情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。1、思考经理、职员C、职员D所说的是什么统计量？2、由应聘者的问题导入新课。3、知识衔接，复习平均数、众数、中位数各自的特点。4、复习中位数的求法。5、读图《百分位数值表》判断自己的身高在同龄人中的大致位置。6、计算例题中的四分位数。7、交流归纳四分位数的计算方法。8、观察交流“箱子”中的五线的含义。9、交流“箱子”上半部分比下半部分大，说明说明原因？10、根据箱线图判断中位数和平均数谁大？11、认识箱线图另一种表现形式。12、比较直方图与箱线图的优缺点。13、从两幅箱线图中获取信息对数据进行分析。14、完成课堂练习。15、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结哪个团队收益大1、理解数据的分析在比较团队收益中的作用,掌握通过数据比较不同团队收益大小的方法.2、能够运用数据分析判断哪个团队的收益更大,培养从数据中提取有效信息解决实际问题的能力.3、体会数学在实际生活中对决策的重要性,提高合作交流和自主探究解决问题的能力.1、回顾旧知。2、利用平均数比较A、B两个团队的经营情况。3、利用方差数比较A、B两个团队的经营情况。4、利用箱线图比较A、B两个团队的经营情况。5、完成课堂练习。6、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、能说出并掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均数和加权平均数。2、能说出中位数、众数的定义，会求一组数据的中位数、众数；体会平均数、中位数、众数三者的差别。3、了解刻画数据离散程度的三个量：方差、标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用。4、根据数据绘制箱线图，能从箱线图中获取数据，初步选取恰当的数据代表作为自己的判断。1展示课前布置的思维导图（挑选较完整的展示）。引导生完成完成知识梳理，深化学生对知识的认识和理解，如学生有困难，老师可以把问题进行分解。3、完成课堂练习。4、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《数据的分析》单元教学设计
活动一：章节引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务一：平均数和加权平均数
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：问题引入
数据的分析
任务二：离差平方和、方差、标准差
活动三：探究新知
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：情景引入
活动三：探究新知
任务三：中位数与箱线图
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
任务四：哪个团队收益大
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
数据的分析
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务五：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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北师大版（2024）八年级数学上册第六章《数据的分析》
6.2离差平方和、方差、标准差教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 离差平方和、方差、标准差 课时 1
课标要求 离差平方和、方差、标准差这三个量是衡量数据波动大小（离散程度）的基石，它们层层递进逻辑关系非常严密。课标的具体要求：理解方差是刻画数据离散程度的度量，知道方差越小，数据的波动也小；了解标准差是方差的算术平方根，也是衡量数据波动的量；能够根据给定的数据计算出方差和标准差；能够运用方差、标准差来解决实际问题，能比较两组数据的稳定性或波动大小；体会用“数”来刻画“波动”这种抽象概念的统计思想。以及用统计结果进行推断个决策的过程。
教材分析 本节课在学生有了一定的初步统计意识，并能对数据进行相应的处理和分类的基础上，安排怎样对数据进行分析，力图使学生在统计意识和统计方法上再上一个台阶，通过对现实生活中的四个射击选手的成绩析分析，引出离差平方和、方差、标准差等几个相关的概念，培养学生统计应用能力。
学情分析 学生已经学均数、中位数众数等几个刻画一组数据的集中程度的统计量，具有一定的分析数据和处理数据的能力和初步的统计思想，但学生对数据的波动情况并不了解，它们是否稳定，稳定的依据是什么学生缺乏直观的和理性的认识，在以前的统计学习课程中学生经历了大量的统计活动，感受到数据的收集和整理必要性和作用，有了一定的活动经验，具备了一定的合作和交流能力。
核心素养目标 1.了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念
教学重点 了解离差平方和、方差、标准差的意义.
教学难点 方差的含义.
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 回顾已学过的几个数据分析的统计量1、一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。2、一组数据按从小到大（从大到小）顺序排列中间位置的数叫中位数；如果这组数据有偶数个则中间两个的平均数是这组数据的中位数3、一般地，对于 n 个数 x，x，…，x，我们把 ( x+x+…+x )÷n 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数。记为 4、一般地,如果在n个数中,x出现f次,x出现f次,…… x出现f次，那么这n个数的加权平均数为 回顾已学过的几个数据分析的统计量。 回顾学过的几个分析数据集中趋势的统计量。为本课学习几个数据分解离散程度的几个统计量。
二、引新 问题引入在本章一开始的射击问题中，甲、丁每次射击的成绩如下图，它们的平均成绩都是8环，两人的射击表现一样吗？你如何对两位选手进行评价？在实际生活中，除了关注数据的集中趋势外，往往还需要关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。在统计学中数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画 思考如何对两位选手进行评价。 问题引入，激发学生兴趣，顺利进行探究阶段。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：离差平方和，方差、标准差.1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。即例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）离差平方和是2．方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，这个量是用来衡量这组数据的波动大小的．即，一组数据x1，x2，…，xn中，平均数为x，方差为例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）方差是3．标准差：一组数据的方差的算术平方根叫标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）标准差是计算标准差的步骤（1）计算这组数据的平均数.（2）计算这组数据的方差.（3）计算这组数据的标准差.探究2：探究方差对数据稳定性的影响1、丁的射击成绩是（单位环）6、6、6、6、7、7、9、9、10、10、10、10。平均数是（6×4+7×2+9×2+10×4）÷12=8（环）方差是 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 比较甲、丁的射击成绩平均数都是8，甲的方差是 ，丁的方差是3结论：方差越小，数据越稳定2、做一做：某日,A、B两地的气温情况如下图不计算，说一说两地气温特点。过计算A、B两地气温的方差，验证说法的合理性。（可以用计算机计算）探究3 离差平方和最小值引入：10个苹果的直径如下图如果把10个苹果分成2组，使它们的“个头”差距不大，该这样分？例题：按照“组内离差平方和最小”的分组方法，把10个苹果分成2组。将10个苹果从小到大排列：60，69，70，75，76，76，78，80，80，8110个苹果分成2组有9种方法：第一种1个和9个；第二种2个和8个；第三种3个和7个；第四种4个和6个；第五种5个和5个；第六种6个和4个；第七种7个和3个；第八种8个和2个；第九种9个和1个。分别计算9种情况的离差平方和（第一组离差平方和+第二组离差平方和）填写下表分组情况组内离差平方和第一种1个和9个146.899第二种2个和8个98第三种3个和7个48第四种4个和6个74.25第五种5个和5个98第六种6个和4个107.583第七种7个和3个136.095第八种8个和2个182.375第九种9个和1个218计算结果表明将10个苹果分成2组离差平方和最小值是48，分为第一组：65，69，70；第二组：75，76，76，78，80，80，81.结论：组内离差平方和最小分组方法：（1）组内数据相差不大，（2）组与组之间数据相差明显。 1、根据离差平方和，方程标准差的概念，计算本章引入题甲选手设计的离差平方和，方差、标准差.2、计算丁选手射击的方差，比较甲、丁选手的方差大小，组内交流方程对数据稳定性的影响。3、探究10个苹果分成两组的方法。4、分别计算这几种方法的离差平方和，5、小组交流如何分组能使离差平方和最小。 探究活动分三个步骤；1、探究离差平方和，方差、标准差.的概念，体会三者之间的关系式递进关系，从而得出计算标准差的步骤。2、通过计算两位选手射击成绩的方差，组内交流，得出方差的大小对数据波动（离散程度）的影响。探究如何分组使组内的离差平方和最小。整个探究过程做到讲练结合小组学习的学习模式，由于计算较为复杂，允许学生借助计算机进行计算。
五、尝试 基础达标：1、一组数据－1，2，5，8、9、10的的平均数是（ 5.5 ）、离差平方和是（ 93.5 ），方差是（ 15.58 ），标准差是（ 3.95 ）.除不尽的保留2位小数。2.计算方差 中,数字“10”表示 数据个数 ，数字“5”表示 这组数据的 平均数 ．3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的(　 B 　)A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数4.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10,10,12,x,8.已知5.这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是 16 ．5.已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 9 ．6．一组数据有n个数，方差为s2.若将每个数据都乘2，所得到的一组新的数据的方差是_______．7.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是(　 A 　)A．18，18，1 B．18，17.5，3C．18，18，3 D．18，17.5，1能力提升：8.某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm )：165，163，165，167，165.增加1名身高为165cm 的成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( C )A.平均数不变，方差不变 B.平均数不变，方差变大C.平均数不变，方差变小 D.平均数变小，方差不变拓展迁移：9. 一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由成绩5060708090100人数/人甲251013146乙441621212解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些　(2)＝172，＝256，∵＜，∴甲组成绩比乙组好；(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数分别都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分(包括90分)的人数20人，乙组24人且满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。 学生完成课堂作业。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。数据分组离差平方和的最小值遵循原则①组内数据相差不大，②组与组数据差距明显2、方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数；方差越小，数据越稳定。3、标准差：一组数据的方差的算术平方根，计算标准差的步骤：①计算离差平方和，②计算方差，③求方差的平方根。 引导学生课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 离差平方和方差标准差 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， 则成绩较为稳定的班级是（ B ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定2．已知数据1，2，2，4，6，这组数据的方差是多少？可先求出这组数据的平均数为 3 .再根据方差计算公式 求出方差为 3.2 3.甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是： ＝2， ＝1.5,则射击成绩较稳定的是 乙 ．(填“甲”或“乙”)4．数据0，1，2，4，3的 标准差为 5．一组数据6,4,a,3,2的平均数是5,这组数据的方差为(　A 　)A．8 B．5 C．2 D．36、甲乙二人参加某体育训练，近期5次测试成绩得分情况如下图所示分别求出两人得分的平均数与方差．解析：此题数据较简单，由图容易看出：甲的五次成绩分别为：10分，13分，12分，14分，16分，乙的五次成绩依次为：13分，14分，12分，12分，14分． 容易求得二人平均成绩都是13分， ，从折线的走势就可看出甲的方差比乙的方差大．能力提升：甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图根据以上信息，整理分析数据如下：（1）写出表格中的a、b、c的值；（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）÷10=7， b=7， c=8；（2）甲队方差=[（5﹣7） ×1+（6﹣7） ×2+（7﹣7） ×4+（8﹣7） ×2+（9﹣7） ×1]÷10==1.2， ∵甲队方差＜乙队方差， ∴甲队员的射击成绩较稳定．拓展迁移：8．甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：　　甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179　　乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？解：甲队的平均身高是：　　（179×3+177×3+178×4）÷10=178（cm）；　　乙队的平均身高是：　　（179+178×4+180×2+176×2+177）÷10=178（cm）甲仪仗队更为整齐，理由如下：　　= ×[3（177－178） +4（178－178） +3（179－178） ]=0.6； = ×[2（176－178） +（177－178） +4（178－178） +（179－178）+2（180－178） ]=1.8；　　∵0.6＜1.8，　　∴甲仪仗队更为整齐．
教学反思
4s2
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第六章 数据的分析
6.1离差平方和、方差与标准差
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.
01
经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.
02
经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念.
03
02
知识再现
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
一组数据按从小到大（从大到小）顺序排列中间位置的数叫中位数；如果这组数据有偶数个则中间两个的平均数是这组数据的中位数
学过的几个数据分析的统计量
02
知识再现
学过的几个数据分析的统计量
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把 ( x1+x2+…+xn )÷n 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数。记为 。
一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,…… xk出现fk次，那么这n个数的加权平均数为
03
问题引入
在本章一开始的射击问题中，甲、丁每次射击的成绩如下图，它们的平均成绩都是8环，两人的射击表现一样吗？你如何对两位选手进行评价？
03
问题引入
在实际生活中，除了关注数据的集中趋势外，往往还需要关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学中数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画
03
新知探究
离差平方和，方差、标准差
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。即
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
离差平方和是
03
新知探究
2．方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，这个量是用来衡量这组数据的波动大小的．即，一组数据x1，x2，…，xn中，平均数为x，方差为
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
方差是
03
新知探究
3．标准差：一组数据的方差的算术平方根叫标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
标准差是
知识要点1
（1）计算这组数据的平均数.
（2）计算这组数据的方差.
（3）计算这组数据的标准差.
计算标准差的步骤
03
探究新知
探究方差对数据稳定性的影响
丁的射击成绩是（单位环）6、6、6、6、7、7、9、9、10、10、10、10。
平均数是（6×4+7×2+9×2+10×4）÷12=8（环）
方差是
比较甲、丁的射击成绩平均数都是8，甲的方差是 ，丁的方差是3
结论：方差越小，数据越稳定
03
新知讲解
某日,A、B两地的气温情况如下图
不计算，说一说两地气温特点。
通过计算A、B两地气温的方差，验证说法的合理性。（可以用计算机计算）
03
探究新知
离差平方和最小值
引入：10个苹果的直径如下图
如果把10个苹果分成2组，使它们的“个头”差距不大，该这样分？
03
探究新知
例题：按照“组内离差平方和最小”的分组方法，把10个苹果分成2组。
将10个苹果从小到大排列：
60，69，70，75，76，76，78，80，80，81
10个苹果分成2组有9种方法：第一种1个和9个；第二种2个和8个；
第三种3个和7个；第四种4个和6个；第五种5个和5个；第六种6个和4个；
第七种7个和3个；第八种8个和2个；第九种9个和1个。
分别计算9种情况的离差平方和（第一组离差平方和+第二组离差平方和）填写下表
03
探究新知
分组情况 组内离差平方和
第一种1个和9个
第二种2个和8个
第三种3个和7个
第四种4个和6个
第五种5个和5个
第六种6个和4个
第七种7个和3个
第八种8个和2个
第九种9个和1个
146.899
98
48
74.25
98
107.583
136.095
182.375
218
计算结果表明将10个苹果分成2组离差平方和最小值是48，分为第一组：65，69，70；
第二组：75，76，76，78，80，80，81.
知识要点2
组内离差平方和最小分组方法：
（1）组内数据相差不大，
（2）组与组之间数据相差明显。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、一组数据－1，2，5，8、9、10的的平均数是（ ）、离差平方和是（ ），方差是（ ），标准差是（ ）.除不尽的保留2位小数。
2.计算方差 中,数字“10”表示___________，数字“5”表示 ．
3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的(　 　)
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
5.5
93.5
15.58
3.95
数据个数
这组数据的平均数
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10,10,12,x,8.已知5.这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是________．
已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的中位数为1，则其方差为______．
6．一组数据有n个数，方差为s2.若将每个数据都乘2，所得到的一组新的数据的方差是_______．
1.6
4s2
9
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是(　 　)
A．18，18，1 B．18，17.5，3
C．18，18，3 D．18，17.5，1
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm )：165，163，165，167，165.增加1名身高为165cm 的成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A.平均数不变，方差不变
B.平均数不变，方差变大
C.平均数不变，方差变小
D.平均数变小，方差不变
C
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9. 一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
成绩 50 60 70 80 90 100
人数/人 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些
　(2)s甲2＝172，s乙2＝256，∵s甲2＜s乙2，∴甲组成绩比乙组好；
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数分别都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；
(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分(包括90分)的人数20人，乙组24人且满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。
05
课堂小结
离差平方和
方差
标准差
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，
则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2．已知数据1，2，2，4，6，这组数据的方差是多少？
可先求出这组数据的平均数为 .再根据方差计算公式
求出方差为____
B
3
3.2
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是：s甲2＝2，s乙2＝1.5,则射击成绩较稳定的是_______．(填“甲”或“乙”)
4．数据0，1，2，4，3的 标准差为_____
5．一组数据6,4,a,3,2的平均数是5,这组数据的方差为(　 　)
A．8 B．5 C．2 D．3
乙
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6、甲乙二人参加某体育训练，近期5次测试成绩得分情况如下图所示：
分别求出两人得分的平均数与方差．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
解析：此题数据较简单，由图容易看出：甲的五次成绩分别为：10分，13分，12分，14分，16分，乙的五次成绩依次为：13分，14分，12分，12分，14分． 容易求得二人平均成绩都是13分， ，
从折线的走势就可看出甲的方差比乙的方差大．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）÷10=7，b=7，c=8；
（2）甲队方差=[（5﹣7） ×1+（6﹣7） ×2+（7﹣7） ×4+（8﹣7） ×2+（9﹣7） ×1]÷10==1.2，
∵甲队方差＜乙队方差，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8．甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
　　甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179
　　乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178
　　哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
解：甲队的平均身高是：
　　（179×3+177×3+178×4）÷10=178（cm）；
　　乙队的平均身高是：
　　（179+178×4+180×2+176×2+177）÷10=178（cm）；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
甲仪仗队更为整齐，理由如下：
　　S甲2= ×[3（177－178）2+4（178－178）2+3（179－178）2]=0.6；
S乙2= ×[2（176－178）2+（177－178）2+4（178－178）2+（179－178）2+2（180－178）2]=1.8；
　　∵0.6＜1.8，
　　∴甲仪仗队更为整齐．
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第六章 数据的分析
6.1，离差平方和，方差，标准差导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.
2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.
3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念
学习重点：了解离差平方和、方差、标准差的意义.
学习难点：方差的含义
预习自测
知识链接
回顾已学过的几个数据分析的统计量
1、一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的 。
2、一组数据按从小到大（从大到小）顺序排列中间位置的数叫 ；如果这组数据有偶数个则中间两个的平均数是这组数据的 。
3、一般地，对于 n 个数 x，x，…，x，我们把 ( x+x+…+x )÷n 叫做这 n 个数的 ，简称 。计算公式 。
4、一般地,如果在n个数中,x出现f次,x出现f次,…… x出现f次，那么这n个数的加权平均数为（写计算公式） 。
教学过程
一、问题引入
在本章一开始的射击问题中，甲、丁每次射击的成绩如下图，它们的平均成绩都是8环，两人的射击表现一样吗？你如何对两位选手进行评价？
在实际生活中，除了关注数据的集中趋势外，往往还需要关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学中数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画
二、合作交流、新知探究
探究1：离差平方和，方差、标准差.
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。即
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
离差平方和是 .
2．方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，这个量是用来衡量这组数据的波动大小的．即，一组数据x1，x2，…，xn中，平均数为x，方差为
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
方差是 .
3．标准差：一组数据的方差的算术平方根叫标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
标准差是 .
【强调】
计算标准差的步骤
（1）计算这组数据的平均数.
（2）计算这组数据的方差.
（3）计算这组数据的标准差.
探究2：
探究方差对数据稳定性的影响
1、丁的射击成绩是（单位环）6、6、6、6、7、7、9、9、10、10、10、10。
平均数是 .
方差是 .
比较甲、丁的射击成绩平均数都是 ，甲的方差是 ，丁的方差是 .
【强调】：方差越小，数据越稳定
2、做一做：某日,A、B两地的气温情况如下图
不计算，说一说两地气温特点。
过计算A、B两地气温的方差，验证说法的合理性。（可以用计算机计算）
探究3 离差平方和最小值
引入：10个苹果的直径如下图
如果把10个苹果分成2组，使它们的“个头”差距不大，该这样分？
例题：按照“组内离差平方和最小”的分组方法，把10个苹果分成2组。
分析：将10个苹果从小到大排列： .
10个苹果分成2组有9种方法：第一种 （ ）个和（ ）个；第二种（ ）个和（ ）个；第三种（ ）个和（ ）个；第四种（ ）个和（ ）个；第五种（ ）个和（ ）个；第六种（ ）个和（ ）个；第七种（ ）个和（ ）个；第八种（ ）个和（ ）个；第九种（ ）个和（ ）个。
分别计算9种情况的离差平方和（第一组离差平方和+第二组离差平方和）填写下表
分组情况 组内离差平方和
第一种1个和9个
第二种2个和8个
第三种3个和7个
第四种4个和6个
第五种5个和5个
第六种6个和4个
第七种7个和3个
第八种8个和2个
第九种9个和1个
计算结果表明将10个苹果分成2组离差平方和最小值是（ ），
第一组：（填苹果重量） .
第二组：（填苹果重量） .
【强调】：组内离差平方和最小分组方法：
（1）组内数据相差不大，
（2）组与组之间数据相差明显。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、一组数据－1，2，5，8、9、10的的平均数是（ ）、离差平方和是（ ），方差是（ ），标准差是（ ）.除不尽的保留2位小数。
2.计算方差 中,数字“10”表示 ，数字“5”表示 这组数据的 ．
3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的(　 　)
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10,10,12,x,8.已知5.这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是 ．
5.已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 ．
6．一组数据有n个数，方差为s2.若将每个数据都乘2，所得到的一组新的数据的方差是_______．
7.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是(　 A 　)
A．18，18，1 B．18，17.5，3
C．18，18，3 D．18，17.5，1
能力提升：
8.某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm )：165，163，165，167，165.增加1名身高为165cm 的成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A.平均数不变，方差不变 B.平均数不变，方差变大
C.平均数不变，方差变小 D.平均数变小，方差不变
拓展迁移：
成绩 50 60 70 80 90 100
人数/人 甲 2 5 10 13 14 6
乙 4 4 16 2 12 12
一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。数据分组离差平方和的最小值遵循原则①组内数据相差不大，②组与组数据差距明显
2、方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数；方差越小，数据越稳定。
3、标准差：一组数据的方差的算术平方根，计算标准差的步骤：①计算离差平方和，②计算方差，③求方差的平方根。
五、【作业布置】
基础达标：
人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2．已知数据1，2，2，4，6，这组数据的方差是多少？
可先求出这组数据的平均数为 .再根据方差计算公式
求出方差为 。
3.甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是： ＝2， ＝1.5 ,则射击成绩较稳定的是 ．(填“甲”或“乙”)
4．数据0，1，2，4，3的 标准差为 .
5．一组数据6,4,a,3,2的平均数是5,这组数据的方差为(　 　)
A．8 B．5 C．2 D．3
6、甲乙二人参加某体育训练，近期5次测试成绩得分情况如下图所示
分别求出两人得分的平均数与方差．
能力提升：
甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
拓展迁移：
8．甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
　　甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179
　　乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178
哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
课堂作业参考答案：
5.5, 93.5，15.58， 3.95
数据个数， 平均数。
B
16
9
6、
7、A
8、C
9、解：
(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些
　＝172，＝256，∵＜，∴甲组成绩比乙组好；
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数分别都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；
(3)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分(包括90分)的人数20人，乙组24人且满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。
课外作业参考答案：
B
3; 3.2
乙
A
6、解析：此题数据较简单，由图容易看出：甲的五次成绩分别为：10分，13分，12分，14分，16分，乙的五次成绩依次为：13分，14分，12分，12分，14分． 容易求得二人平均成绩都是13分， ，
从折线的走势就可看出甲的方差比乙的方差大．
7、解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）÷10=7， b=7， c=8；
（2）甲队方差=[（5﹣7） ×1+（6﹣7） ×2+（7﹣7） ×4+（8﹣7） ×2+（9﹣7） ×1]÷10==1.2，
∵甲队方差＜乙队方差，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
8解：甲队的平均身高是：
　　（179×3+177×3+178×4）÷10=178（cm）；
　　乙队的平均身高是：
　　（179+178×4+180×2+176×2+177）÷10=178（cm）
甲仪仗队更为整齐，理由如下：
　　= ×[3（177－178） +4（178－178） +3（179－178） ]=0.6；
= ×[2（176－178） +（177－178） +4（178－178） +（179－178）+2（180－178） ]=1.8；
　　∵0.6＜1.8，
　　∴甲仪仗队更为整齐．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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