资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 本章主要内容是算术平均数、加权平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差等统计量的统计意义。课本要求是；学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散程度，并通过研究如何用样本的平均数和方差估算总体的平均数个方差，体会用样本估计整体的思想，
内容分析 本章属于“统计与概率”领域，在本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有三章。前二章是统计，最后一章是概率。统计部分的二章内容按照数据处理的基本过程来安排。本章主要学习如何利用平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数等描述数据的集中趋势，以及如何利用离差平方和差、方差、标准差等描述数据的波动情况。
学情分析 八年级学生认知水平处于直观到抽象转变的阶段,基本形成完整的知识结构体系。由于学生所特有的年龄特点,学生有意注意力占主要地位,以直观思维为主。从整体上看,八年级学生探索欲和求知欲不断增强,大多数学生上课基本上能够跟上教师讲课的思路,而且学生的学习积极性也很容易调动。但自主建构知识体系，提升数学思维水平方面还有待加强。本章节内容较多，区分算术平均数、加权平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差等概念有一定的困难。且计算较为复杂，所以教学时要始终关注学生的状态，及时对学生的学生做出积极的评价。
单元目标 （一）教学目标1.理解平均数、中位数和众数的统计意义；2.会计算中位数、众数、加权平均数。能选择适当地统计量表示数据的集中趋势；3.理解离差平方和、方差、标准差的统计意义，会计算简单数据的离差平方和、方差、标准差；4.能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5.会用样本平均数、方差估计总体平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会样本估计总体的思想；6.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活（二）教学重点、难点重点：正确的求一组数据的平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差，并利用它们对数据做出分析。难点：体会平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、标准差的区别。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数601算术平均数和加权平均数1602离差平方和、方差、标准差1603中位数与箱线图1604哪个团队收益大1605回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务算术平均数和加权平均数1、知识与技能：理解算术平均数、加权平均数的概念，会选用合适的方法求一组数据的算术平均数和加权平均数.2、经历用平均数描述数据集中趋势的过程，体会数据中所蕴含的信息，发展数据分析观念；3、体会算术平均数与加权平均数的联系与区别，发展应用意识.1、学生聆听教师讲授的内容。2、复习众数的含义。3、复习算术平均数的求法4、理解加权平均数的意义5、小组合作探究加权平均数的计算方法。6、小组合作交流算术平均数与加权平均数的联系与区别。7、自学例题。8、交流讨论推导求加权平均数的公式。9、完成课堂练习。10、引导学生进行课堂总结。环节一：章节引入环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结离差平方和、方差、标准差1.了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念1、回顾已学过的几个数据分析的统计量。2、思考如何对两位选手进行评价。3、根据离差平方和，方程标准差的概念，计算本章引入题甲选手设计的离差平方和，方差、标准差.4、计算丁选手射击的方差，比较甲、丁选手的方差大小，组内交流方程对数据稳定性的影响。5、探究10个苹果分成两组的方法。6、分别计算这几种方法的离差平方和，7、小组交流如何分组能使离差平方和最小。8、完成课堂练习。9、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二；问题引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结中位数与箱线图知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图中读取信息。过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计意识和数据分析能力。情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。1、思考经理、职员C、职员D所说的是什么统计量？2、由应聘者的问题导入新课。3、知识衔接，复习平均数、众数、中位数各自的特点。4、复习中位数的求法。5、读图《百分位数值表》判断自己的身高在同龄人中的大致位置。6、计算例题中的四分位数。7、交流归纳四分位数的计算方法。8、观察交流“箱子”中的五线的含义。9、交流“箱子”上半部分比下半部分大，说明说明原因？10、根据箱线图判断中位数和平均数谁大？11、认识箱线图另一种表现形式。12、比较直方图与箱线图的优缺点。13、从两幅箱线图中获取信息对数据进行分析。14、完成课堂练习。15、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结哪个团队收益大1、理解数据的分析在比较团队收益中的作用,掌握通过数据比较不同团队收益大小的方法.2、能够运用数据分析判断哪个团队的收益更大,培养从数据中提取有效信息解决实际问题的能力.3、体会数学在实际生活中对决策的重要性,提高合作交流和自主探究解决问题的能力.1、回顾旧知。2、利用平均数比较A、B两个团队的经营情况。3、利用方差数比较A、B两个团队的经营情况。4、利用箱线图比较A、B两个团队的经营情况。5、完成课堂练习。6、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、能说出并掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均数和加权平均数。2、能说出中位数、众数的定义，会求一组数据的中位数、众数；体会平均数、中位数、众数三者的差别。3、了解刻画数据离散程度的三个量：方差、标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用。4、根据数据绘制箱线图，能从箱线图中获取数据，初步选取恰当的数据代表作为自己的判断。1展示课前布置的思维导图（挑选较完整的展示）。引导生完成完成知识梳理，深化学生对知识的认识和理解，如学生有困难，老师可以把问题进行分解。3、完成课堂练习。4、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《数据的分析》单元教学设计
活动一：章节引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务一：平均数和加权平均数
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：问题引入
数据的分析
任务二：离差平方和、方差、标准差
活动三：探究新知
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：情景引入
活动三：探究新知
任务三：中位数与箱线图
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
任务四：哪个团队收益大
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
数据的分析
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务五：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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第六章 数据的分析
6.2中位数与箱线图
01
教学目标
02
复习导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图中读取信息。
01
过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计意识和数据分析能力。
02
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。
03
02
情景导入
某公司员工月工资收入如下
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工
月收入（元） 10000 8000 5200 5000 4800 4500 4500 4500 2100
经理：我公司员工收入很高，平均5400元。
职员C：我的工资4800，在公司算中等收入。
职员D：我们好几个人的工资都是4500
应聘者：这个公司的收入到底怎样？
平均数
中位数
众数
03
新知探究
① 存在性：平均数和中位数必然存在且唯一，众数可能存在多个或不存在。
② 数据依赖性：平均数依赖所有数据，中位数仅依赖中间位置数据，众数依赖频率最高的数据。
③ 极端值影响：平均数最敏感，中位数次之（仅在偶数个数据时可能受中间两数影响），众数完全不受影响。
众数、平均数、中位数各有什么特点
众数、平均数、中位数都是描述数据集中趋势的统计量
03
知识衔接
定义：
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
例：
数据2，3，3，5，7，它们的中位数为3；
数据2，3，3，5，7，8，它们的中位数为(3+5)÷2=4。
※
中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表
中位数
03
知识衔接
求中位数步骤
1、排序
将所有数据按大小顺序排列，可从小到大或从大到小排列，排序是求中位数的基础，为后续确定中间位置做准备。
2、判奇偶
确定数据个数的奇偶性，因为奇偶不同，中位数的确定方法有别。若为奇数，中间数即中位数；若为偶数，需取中间两数平均。
3、定中位数
若数据个数为奇数，最中间的数据就是中位数；若为偶数，最中间两个数据的平均数为中位数。通过此步可得最终结果。
03
新知探究
探究一：百分位数的计算
中位数是一组数据从小到大排列数据中占据50%位置的数，优点是简单，受极端数据的影响较小。但仅有中位数不能完整反映数据的分布情况，为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据，（处于p%位置上的数据称为第P百分位数，记为p%分位数，制作百分位数值表。它能更细致地反映数据在整体中的分布情况，比如在身高数据中，可明确自己身高在同龄人中的位置。
03
新知探究
下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生身高百分位数值表，你能读懂这张表吗？能能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗？
03
新知探究
在百分位数中，除了最大值和最小值外，我们尤为关注25%，50%、75%分位数，把一组数据分位个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数（ ）、中位数（ ）、上四分位数，
（ ），如何计算一组数据的四分位数呢？同学之间互相交流。
探究二：四分位数的计算
03
新知探究
某市12月16日--31日每日的最高气温（单位：摄氏度）依次如下;
5 3 2 2 2 2 3 3 5 5 -2 -2 -5 -1 -1 -1
解：将这16个数由小到大排列
-5，-2，-2，-1，-1，-1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，5
中位数（50%分位数）（2+2）÷2=2 即
下四分位数（25%分位数），前一半数据的中位数 [（-1）+（-1）]÷2=-1
即
上四分位数（75%分位数），后一半数据的中位数 （3+3）÷2=3 即
知识点1
怎样计算四分位数：
1、把这组数据从小到大排列
2、计算这组数据的中位数
3、下四分位：计算前一半数据的中位数
4、上四分位：计算后一半数据的中位数
03
新知探究
探究三：箱线图
下面是全班40个同学1min跳绳的次数；
132，136，144，162，144，115，132，136，123，144，136，132，132，159，136，144，129，136，139，153，123，133，144，137，152，138，136，129，129，134，138，149，125，128，128，133，138，134，146，148。
（1）求全班同学1min跳绳的最小值，下四分位数，中位数，上四分位数、最大值。
03
新知探究
解：从小到大排列：
115，123，123，125，128，128，129，129，129，132，132，132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，136，136，137，138，138，138、139，144，144，144，144，144，146，148，149，152，153，159，162
中位数：（136+136）÷2=136 即
下四分位数，前一半数据的中位数（132+132）÷2=132 即
上四分位数，后一半数据的中位数 （144+144）÷2=144 即
这组数据的最小值是115；最大值是162.
03
新知探究
下面是有关40个同学1min跳绳的箱线图，
看图回答下列问题
图中有5条横线：分别表示什么含义？
中间长方形（箱子）被136分成两部分，上半部分比下半部分大，说明说明原因？
估计一下这组数据的平均数大还是中位数大？
03
探究小结
箱线图也可以表示为
数据中的最大值，代表数据的上限，反映数据可能达到的最高水平。
数据中的最小值，代表数据的下限，体现数据的最低水平。
最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
前一半数据的中位数
后一半数据的中位数
整组数据的中位数
03
新知探究
直方图与箱线图的比较
直方图的特点是能够显示各组频数分布的情况，易于比较各组之间频数的差异，并反映数据的分布形态。
箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
03
新知探究
下图是同一个班级两次1min跳绳成绩箱线图，
两次跳绳成绩比较：
最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
第一次
第二次
115
132
130
136
144
162
146
153
160
181
该班跳绳的成绩有所提升。
知识要点2
箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
箱线图的特点：
上、下四分位数的计算
下四分位数；前一半数据的中位数；
上四分位数：后一半数据的中位数。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某射击运动员在一次训练中，10次射击的成绩（环数）分别是：9.2, 9.5, 9.8, 10.0, 9.0, 9.6, 9.3, 9.7, 9.9, 9.4。这组数据的中位数是________环。
2.对于一组数据，其下四分位数（ ）、中位数（ ）、上四分位数（ ）将所有数据分成了四个部分。每个部分包含的数据个数约占总数据个数的________%。
9.55
25
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.一组数据的上四分位数是85，下四分位数是60，则这组数据的四分位距（IQR）是________。
4.某班25名学生的身高数据（单位：cm）已按从小到大的顺序排列。已知第7名学生的身高是160cm，第13名学生的身高是168cm，第19名学生的身高是175cm。则这组身高的中位数是________cm，下四分位数（ ）约是________cm，上四分位数（ ）约是________cm。
(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)

25
168
160
175
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.某小组8名同学的数学测试成绩如下（单位：分）：
85, 92, 78, 95, 88, 85, 90, 98
（1）求这组数据的平均数、中位数和众数。
（2）求这组数据下四分位数( )、上四分位数（ ) 。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解析（1）：首先，将数据按从小到大的顺序排列：
78, 85, 85, 88, 90, 92, 95, 98
平均数：
(78 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 + 95 + 98) ÷8 = 88.875 (分)
中位数：
中位数= (88 + 90) ÷ 2 = 89 (分)
众数：数据中出现次数最多的数是85（出现了2次）。
众数= 85 (分)
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
（2）下四分位数是前半部分数据的中位数。前半部分数据为 78, 85, 85, 88。
=(85 + 85) ÷2 = 85 (分)。
上四分位数是后半部分数据的中位数。后半部分数据为 90, 92, 95, 98。
=(92 + 95) ÷2 = 93.5 (分)。
04
课堂练习
6.甲、乙两名运动员在10次训练中的跳远成绩（单位：米）如下：
甲： 5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.5
乙： 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.7, 7.0
（1）分别计算甲、乙两组数据的五数概括（最小值、 、中位数、 、最大值）。
（2）在同一数轴上，绘制出甲、乙两名运动员跳远成绩的箱线图。
（3）根据箱线图，比较两名运动员成绩的异同点（至少写出两点）。
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
(1)
甲： 最小值=5.8, =6.0, 中位数=6.15, =6.3, 最大值=6.5
乙： 最小值=5.5, =5.9, 中位数=6.1, =6.55, 最大值=7.0
(2)
5.8 6.0 6.1 6.3 6.5
甲跳远成绩的箱线图。
乙跳远成绩的箱线图。
5.5 5.9 6.1 6.55 7.0
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
（3）相同点：
集中趋势相近：甲的中位数（6.15米）和乙的中位数（6.1米）非常接近，说明两名运动员成绩的中间水平差不多。
都有较好的稳定性：从箱子的长度来看，甲的为0.3米，乙的为0.65米，说明甲的成绩中间50%更集中，稳定性略好。但两者都没有特别离谱的极端值（在箱线图须线范围内）。

【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
不同点：
成绩的离散程度（波动性）不同：甲的箱线图整体更“紧凑”，箱子（IQR=0.3）和须线（范围=0.7）都较短，说明甲的成绩波动小，表现非常稳定。乙的箱线图整体更“分散”，箱子（IQR=0.65）和须线（范围=1.5）都较长，说明乙的成绩波动大，表现不够稳定。
成绩的分布范围不同：甲的成绩集中在5.8米到6.5米之间。乙的成绩范围更广，从5.5米到7.0米，说明乙既有发挥失常的时候（5.5米），也有超常发挥的时候（7.0米）。
【知识技能类作业】选做题：
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 为了解A、B两个品种的小麦生长情况，农业技术员各抽取了10株小麦，测量了它们的株高（单位：cm），数据如下：
品种A： 45, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 65
品种B： 40, 42, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 80
（1）计算两个品种小麦株高的中位数和平均数。
（2）计算两个品种小麦株高的四分位数 和 。
（3）一位技术员说：“品种B的平均高度更高，所以品种B的生长情况更好。” 你同意这个观点吗？请结合中位数、四分位距和箱线图（可自行绘制或想象）的知识，从稳定性和异常情况等方面进行分析，并说明理由。
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）计算中位数和平均数。

品种A：中位数 = (53 + 55) ÷2 = 54 cm

平均数= (45+48+50+52+53+55+56+58+60+65) ÷10 = 54.2 cm

品种B：中位数 = (53 + 54) ÷2 = 53.5 cm

平均数= (40+42+50+52+53+54+55+56+58+80) ÷ 10 = 54 cm

06
课堂练习
【综合拓展类作业】
品种A：

（前半段 45, 48, 50, 52, 53 的中位数）= 50 cm

（后半段 55, 56, 58, 60, 65 的中位数）= 58 cm

品种B：

（前半段 40, 42, 50, 52, 53 的中位数）= 50 cm

（后半段 54, 55, 56, 58, 80 的中位数）= 56 cm

06
课堂练习
【综合拓展类作业】
我 不同意 这个观点。理由如下：
从集中趋势看，品种A更优：
技术员只看到了平均数（A: 54.2 cm, B: 54.0 cm），两者几乎一样。但 中位数 是更能抵抗极端值影响的集中趋势指标。品种A的中位数（54 cm）高于品种B的中位数（53.5 cm），这说明品种A中大多数植株的高度要高于品种B。因此，从普遍水平来看，品种A的生长情况更好。
从稳定性和离散程度看，品种A远胜于品种B：
品种B的平均数被一个 异常值（80cm）严重拉高了。如果没有这个80cm的植株，品种B的平均数会远低于品种A。这说明品种B的生长情况 极不稳定，大部分植株长势一般，但存在个别“疯长”的特例。

06
课堂练习
【综合拓展类作业】
从 箱线图 的角度看（可以想象），品种B的箱线图会有一个非常长的上须线，指向80cm，这明显是一个异常值。而品种A的数据分布则相对均匀和稳定。
虽然 四分位距 显示品种B（IQR=6cm）中间50%的数据比品种A（IQR=8cm）更集中，但这主要是因为品种B的异常值“拉大”了整体范围，使得其 相对靠后。IQR在这里的参考价值需要结合整体分布来看。品种A的整体分布（从最小值45到最大值65）比品种B（从最小值40到最大值80）要 稳健得多。
结论：
评价一个品种的生长情况，不能只看平均数。一个稳定、普遍长势良好的品种（如品种A）比一个大部分长势一般、仅靠个别植株拉高平均数的品种（如品种B） 更具推广价值和实际意义。因此，品种A的生长情况更好。
05
课堂小结
1、一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表
2、下四分位数；前一半数据的中位数；
3、上四分位数：后一半数据的中位数。
4、箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、某公司8名员工的月薪（单位：元）分别为：4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 5800, 6000, 20000。为了更真实地反映该公司员工的普遍收入水平，下列统计量中最合适的是（ ）。
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2、在箱线图中，能反映数据离散程度，且不受极端值影响的部分是（ ）。
A. 上边缘 B. 中位数线
C. 箱体（四分位距 IQR） D. 下边缘

B
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3、一组数据有15个数，已排序。下列说法不正确的是（ ）。
A. 第8个数是这组数据的中位数
B. 第7个数和第8个数的平均值是中位数
C. 第4个数是下四分位数
D. 第12个数是上四分位数
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4、某小组9名同学的数学测验成绩如下（单位：分）：
78, 85, 92, 95, 98, 100, 100, 65, 88
(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数。
(2) 如果去掉一个最低分65分，再求剩下8个成绩的平均数和中位数。
(3) 比较(1)和(2)的结果，说明极端值对平均数和中位数的影响。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
解：(1) 求平均数、中位数和众数。
排序： 65, 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
平均数： (65+78+85+88+92+95+98+100+100) ÷9 = 89 (分)
中位数： 共9个数据，中位数是第5个数，即 92 (分)。
众数： 100出现了2次，是出现次数最多的数，所以众数是 100 (分)。
(2) 去掉最低分65后，求平均数和中位数。
新数据： 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
新平均数： (801 - 65) ÷8 = 92 (分)
新中位数： 共8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，
即 (92 + 95) ÷ 2 = 93.5 (分)。

06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
(3) 比较与说明。
原平均数为89分，新平均数为92分，上升了3分。
原中位数为92分，新中位数为93.5分，上升了1.5分。
结论： 极端值（最低分65）对平均数的影响比对中位数的影响更大。当数据中存在极端值时，平均数会向极端值的方向偏移，而中位数则相对稳定，更能反映数据的中间水平。
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5. 箱线图绘制与分析
为了解A、B两个工厂生产的同一种零件的直径稳定性，质检员各随机抽取了10个零件进行测量，得到如下数据（单位：mm）：
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
(1) 分别计算A、B两厂数据的中位数、下四分位数、上四分位数和四分位距。
(2) 根据计算结果，在同一个数轴上绘制A、B两厂数据的箱线图。
(3) 根据箱线图，比较A、B两厂生产的零件直径的分布特征，并判断哪个工厂的生产过程更稳定。请说明理由。

06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
最小值= 20.1 ，最大值= 22.0，
中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.4 + 20.5) ÷ 2 = 20.45
下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.3
上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.6
四分位距=20.6-20.3=0.3
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
最小值= 19.8 ，最大值= 20.7，
中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.2 + 20.3) ÷ 2 = 20.25
下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.0
上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.5
四分位距=20.5-20.0=0.5
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(2) 绘制箱线图。
20.1 20.3 20.45 20.6 22.0
19.8 20.0 20.25 20.5 20.7
A厂箱线图。
B厂箱线图。
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(3) 比较与分析。
集中趋势： A工厂的中位数（20.45mm）略高于B工厂的中位数（20.25mm），说明A工厂生产的零件直径整体上偏大。
离散程度：
A工厂的箱体长度（IQR=0.3）比B工厂的箱体长度（IQR=0.5）短，说明A工厂中间50%的数据更集中，波动更小。
但是，A工厂存在一个明显的极端值（22.0mm），导致其数据范围（最大值-最小值）远大于B工厂。这表明A工厂的生产过程偶尔会出现严重的偏离。
稳定性判断： B工厂的生产过程更稳定。
理由： 虽然A工厂中间大部分产品的直径更集中，但那个极端值（22.0mm）暴露了其生产过程存在不稳定因素，质量控制可能存在漏洞。而B工厂的所有数据点分布都比较均匀，没有出现离群值，整体表现更平稳、更可靠。稳定性不仅看中间部分的集中程度，更要看整个生产过程的可控性，B工厂显然表现更好。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
6.实际应用与综合分析
某市连续15天记录了每日的PM2.5浓度（单位：μg/m ），数据如下：
35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150
(1) 求这组数据的五数概括（最小值、 , , 最大值）。
(2) 计算四分位距（IQR），并利用“1.5×IQR”法则判断这组数据中是否存在异常值。如果存在，请指出是哪个（或哪些）。
(3) 剔除异常值后，重新计算剩余数据的五数概括，并绘制新的箱线图（草图即可）。
(4) 结合原始数据和剔除异常值后的分析，评价这15天该市的空气质量情况。

06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：
(1) 求五数概括。

数据排序：35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150

最小值： 35 最大值： 150

中位数( )： n=15，位置是第(15+1)÷2=8个数，即 78。

位置是第(15+1)÷4=4个数，即 60。

位置是第3(15+1)÷4=12个数，即 90。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
2) 判断异常值。

计算四分位距；IQR： IQR = - = 90 - 60 = 30。

计算上下限：

下限= - 1.5 × IQR = 60 - 1.5 × 30 = 60 - 45 = 15。

上限= + 1.5 × IQR = 90 + 1.5 × 30 = 90 + 45 = 135。

判断： 数据中小于15或大于135的值为异常值。数据中150 > 135，所以 150是异常值。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（3）剔除异常值后，重新计算并绘图。

新数据： 35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120 (共14个)

新五数概括：最小值= 35 最大值= 120

中位数( ) = (第7个数 + 第8个数) ÷ 2 = 76.5

= 第 (14+1)÷4 = 3.75 个数 ≈ 第4个数 = 60

= 第 3(14+1)÷4 = 11.25 个数 ≈ 第11个数 = 85

绘制新箱线图（草图）：
35 60 76.5 85 120
06
作业布置
【综合拓展类作业】
(4) 空气质量评价。
基于原始数据分析： 15天的PM2.5浓度中位数为78μg/m ，根据国家标准，这属于“轻度污染”水平。但数据范围很大（35-150），且存在一个严重污染的异常值（150μg/m ，达到“重度污染”），表明这期间空气质量波动剧烈，大部分时间处于不健康状态，并出现过非常糟糕的情况。
基于剔除异常值后分析： 剔除最糟糕的一天后，剩余14天的中位数降至76.5μg/m ， 也从90降到85，说明整体污染水平略有下降。IQR变为25，数据相对集中了一些。但最大值仍有120，表明即使在没有极端值的日子里，也出现过“中度污染”的情况。
综合评价： 总体来看，这15天该市的空气质量不容乐观。虽然大部分时间的PM2.5浓度集中在60-85之间（轻度污染），但污染水平波动较大，且频繁出现中度甚至重度污染天气。这表明该市在监测期间可能受到了不利气象条件或污染源排放增加的影响，空气质量不稳定，对市民健康构成潜在威胁。相关部门需要关注并采取措施以改善空气质量。

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北师大版（2024）八年级数学上册第六章《数据的分析》
6.2中位数与箱线图教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 中位数与箱线图 课时 1
课标要求 培养学生数据分析素养，理解中位数与箱线图的含义它们在解决问题时有什么优势；掌握怎样看箱线图，能够从箱线图中获取信息；学会选择合适的统计量分析数据；能够利用箱线图进行客观的比较和分析数据。
教材分析 北师大版（2024）八年级数学教材中的《中位数与箱线图》这一章节，主要围绕数据的集中趋势和分布特征展开讨论，通过学习中位数和箱线图，帮助学生更好地理解和分析数据。教材从公司员工工资情景导入引出中位数（中位数定义：将一组数据按大小顺序排列后处于中间位置的数称为这组数据的中位数。如果数据个数为奇数，则中位数就是正中间的那个数；如果是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。意义：中位数反映了数据集的中心位置，不受极端值的影响，能够更准确地表示大多数数据的位置），分位数，继而认识四分位数，由于数据分析的需要对箱线图进行探究。箱线图构成：箱线图由最小值、第一四分位数（）、中位数（）、第三四分位数（）以及最大值五个数值组成，其中到之间的区域构成了“箱子”。作用：箱线图可以直观展示数据的分布情况，包括数据的中心位置、离散程度以及是否存在异常值等。
学情分析 已有的知识基础：有理数的加减乘除，有理数的基本排列，统计的基本技能，图表的认知基础。认知与思维特点：从具体到抽象的过渡；概念易混淆，比如中位数与平均数，中位数与众数；新概念的陌生与复杂性：四分位数的定义，箱线图的解读等需要较强的抽象思维和信息整合能力。
核心素养目标 知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图中读取信息。过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计意识和数据分析能力。情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。
教学重点 掌握中位数、百分位数、四分位数概念，从箱线图中获取信息。
教学难点 运用箱线图分析数据分布。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 1、某公司员工月工资收入如下经理：我公司员工收入很高，平均5400元。（平均数）职员C：我的工资4800，在公司算中等收入。（中位数）职员D：我们好几个人的工资都是4500元，（众数）应聘者：这个公司的收入到底怎样？2、议一议：众数、平均数、中位数各有什么特点众数、平均数、中位数都是描述数据集中趋势的统计量① 存在性：平均数和中位数必然存在且唯一，众数可能存在多个或不存在。② 数据依赖性：平均数依赖所有数据，中位数仅依赖中间位置数据，众数依赖频率最高的数据。③ 极端值影响：平均数最敏感，中位数次之（仅在偶数个数据时可能受中间两数影响），众数完全不受影响。3、中位数定义：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。例：数据2，3，3，5，7，它们的中位数为3；数据2，3，3，5，7，8，它们的中位数为(3+5)÷2=4。中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表4、求中位数步骤（1）排序将所有数据按大小顺序排列，可从小到大或从大到小排列，排序是求中位数的基础，为后续确定中间位置做准备。（2）判奇偶确定数据个数的奇偶性，因为奇偶不同，中位数的确定方法有别。若为奇数，中间数即中位数；若为偶数，需取中间两数平均。（3）定中位数若数据个数为奇数，最中间的数据就是中位数；若为偶数，最中间两个数据的平均数为中位数。通过此步可得最终结果。 1、思考经理、职员C、职员D所说的是什么统计量？2、由应聘者的问题导入新课。3、知识衔接，复习平均数、众数、中位数各自的特点。4、复习中位数的求法。 设计情景，根据情景中的对话，复习平均数、中位数、众数的概念及特点，中位数的求法，由应聘者提出的疑问导入新课。
二、探究 探究1百分位数的计算中位数是一组数据从小到大排列数据中占据50%位置的数，优点是简单，受极端数据的影响较小。但仅有中位数不能完整反映数据的分布情况，为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据，（处于p%位置上的数据称为第P百分位数，记为p%分位数，制作百分位数值表。它能更细致地反映数据在整体中的分布情况，比如在身高数据中，可明确自己身高在同龄人中的位置。下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生身高百分位数值表，你能读懂这张表吗？能能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗？探究2，四分位数的计算在百分位数中，除了最大值和最小值外，我们尤为关注25%，50%、75%分位数，把一组数据分位个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数（ ）、中位数（）、上四分位数，（ ），如何计算一组数据的四分位数呢？同学之间互相交流。例题：某市12月16日--31日每日的最高气温（单位：摄氏度）依次如下;5 3 2 2 2 2 3 3 5 5 -2 -2 -5 -1 -1 -1中位数（50%分位数）（2+2）÷2=2 即 =2C下四分位数（25%分位数），前一半数据的中位数 [（-1）+（-1）]÷2=-1 即=-1C上四分位数（75%分位数），后一半数据的中位数 （3+3）÷2=3 即=3C【强调】怎样计算四分位数：1、把这组数据从小到大排列2、计算这组数据的中位数（）3、下四分位：计算前一半数据的中位数（）4、上四分位：计算后一半数据的中位数（）探究3：箱线图1、下面是全班40个同学1min跳绳的次数；132，136，144，162，144，115，132，136，123，144，136，132，132，159，136，144，129，136，139，153，123，133，144，137，152，138，136，129，129，134，138，149，125，128，128，133，138，134，146，148。（1）求全班同学1min跳绳的最小值，下四分位数，中位数，上四分位数、最大值。解：从小到大排列：115，123，123，125，128，128，129，129，129，132，132，132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，136，136，137，138，138，138、139，144，144，144，144，144，146，148，149，152，153，159，162中位数：（136+136）÷2=136 即=136下四分位数，前一半数据的中位数（132+132）÷2=132 即=132.上四分位数，后一半数据的中位数 （144+144）÷2=144 即=144这组数据的最小值是115；最大值是162.2、下面是有关40个同学1min跳绳的箱线图，看图回答下列问题①图中有5条横线：分别表示什么含义？②中间长方形（箱子）被136分成两部分，上半部分比下半部分大，说明说明原因？③估计一下这组数据的平均数大还是中位数大？3、箱线图也可以表示为4、直方图与箱线图的比较直方图的特点是能够显示各组频数分布的情况，易于比较各组之间频数的差异，并反映数据的分布形态。箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。利用箱线图进行数据分析下图是同一个班级两次1min跳绳成绩箱线图，最小值中位数最大值第一次11513213514416第二次130146153160181两次跳绳成绩比较（填写下表）结论：该班跳绳的成绩有所提升。6、探究小结（1）箱线图的特点：箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。（2）上、下四分位数的计算下四分位数；前一半数据的中位数；上四分位数：后一半数据的中位数。 读图《百分位数值表》判断自己的身高在同龄人中的大致位置。计算例题中的四分位数。交流归纳四分位数的计算方法。观察交流“箱子”中的五线的含义。5、交流“箱子”上半部分比下半部分大，说明说明原因？6、根据箱线图判断中位数和平均数谁大？7、认识箱线图另一种表现形式。8、比较直方图与箱线图的优缺点。9、从两幅箱线图中获取信息对数据进行分析。 通过读图《百分位数值表》活动，引入尤为关注的25%，50%，75%分为数，进行四分位计算探究。有四分位知识作基础来认识箱线图，这样学生比较容易接受箱线图的知识，对于读懂箱线图也就简单了，使学生的知识与技能得到提升。在基本掌握箱线图知识的基础上，设计直方图和箱线图，箱线图和箱线图作比较，使学生认知水平得到发展。培养学生的统计意识和数据分析能力。
三、课堂练习 基础达标：1.某射击运动员在一次训练中，10次射击的成绩（环数）分别是：9.2, 9.5, 9.8, 10.0, 9.0, 9.6, 9.3, 9.7, 9.9, 9.4。这组数据的中位数是 9.55 环。2.对于一组数据，其下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（ ）将所有数据分成了四个部分。每个部分包含的数据个数约占总数据个数的 25 %。3.一组数据的上四分位数是85，下四分位数是60，则这组数据的四分位距（IQR）是 25 。4.某班25名学生的身高数据（单位：cm）已按从小到大的顺序排列。已知第7名学生的身高是160cm，第13名学生的身高是168cm，第19名学生的身高是175cm。则这组身高的中位数是 168 cm，下四分位数（）约是 160 cm，上四分位数（ ）约是 175 cm。(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)5.某小组8名同学的数学测试成绩如下（单位：分）：85, 92, 78, 95, 88, 85, 90, 98（1）求这组数据的平均数、中位数和众数。（2）求这组数据下四分位数( )、上四分位数（ ) 。解析（1）：首先，将数据按从小到大的顺序排列：78, 85, 85, 88, 90, 92, 95, 98平均数：(78 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 + 95 + 98) ÷8 = 88.875 (分)中位数= (88 + 90) ÷ 2 = 89 (分)众数：数据中出现次数最多的数是85（出现了2次），众数= 85 (分)（2）下四分位数是前半部分数据的中位数。前半部分数据为 78, 85, 85, 88。 =(85 + 85) ÷2 = 85 (分)。上四分位数是后半部分数据的中位数。后半部分数据为 90, 92, 95, 98。 =(92 + 95) ÷2 = 93.5 (分)。能力提升：6.甲、乙两名运动员在10次训练中的跳远成绩（单位：米）如下：甲： 5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.5乙： 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.7, 7.0（1）分别计算甲、乙两组数据的五数概括（最小值、 、中位数、 、最大值）。（2）在同一数轴上，绘制出甲、乙两名运动员跳远成绩的箱线图。（3）根据箱线图，比较两名运动员成绩的异同点（至少写出两点）。解(1)甲： 最小值=5.8, =6.0, 中位数=6.15, =6.3, 最大值=6.5乙： 最小值=5.5, =5.9, 中位数=6.1, =6.55, 最大值=7.0(2)甲跳远成绩的箱线图乙跳远成绩的箱线图。（3）相同点：集中趋势相近：甲的中位数（6.15米）和乙的中位数（6.1米）非常接近，说明两名运动员成绩的中间水平差不多。都有较好的稳定性：从箱子的长度来看，甲的为0.3米，乙的为0.65米，说明甲的成绩中间50%更集中，稳定性略好。但两者都没有特别离谱的极端值（在箱线图须线范围内）。不同点： 成绩的离散程度（波动性）不同：甲的箱线图整体更“紧凑”，箱子（IQR=0.3）和须线（范围=0.7）都较短，说明甲的成绩波动小，表现非常稳定。乙的箱线图整体更“分散”，箱子（IQR=0.65）和须线（范围=1.5）都较长，说明乙的成绩波动大，表现不够稳定。成绩的分布范围不同：甲的成绩集中在5.8米到6.5米之间。乙的成绩范围更广，从5.5米到7.0米，说明乙既有发挥失常的时候（5.5米），也有超常发挥的时候（7.0米）。拓展迁移：7. 为了解A、B两个品种的小麦生长情况，农业技术员各抽取了10株小麦，测量了它们的株高（单位：cm），数据如下：品种A： 45, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 65品种B： 40, 42, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 80（1）计算两个品种小麦株高的中位数和平均数。（2）计算两个品种小麦株高的四分位数 和 。（3）一位技术员说：“品种B的平均高度更高，所以品种B的生长情况更好。” 你同意这个观点吗？请结合中位数、四分位距和箱线图（可自行绘制或想象）的知识，从稳定性和异常情况等方面进行分析，并说明理由。解：（1）计算中位数和平均数。品种A：中位数 = (53 + 55) ÷2 = 54 cm平均数= (45+48+50+52+53+55+56+58+60+65) ÷10 = 54.2 cm品种B：中位数 = (53 + 54) ÷2 = 53.5 cm平均数= (40+42+50+52+53+54+55+56+58+80) ÷ 10 = 54 cm（2）品种A：（前半段 45, 48, 50, 52, 53 的中位数）= 50 cm（后半段 55, 56, 58, 60, 65 的中位数）= 58 cm品种B：（前半段 40, 42, 50, 52, 53 的中位数）= 50 cm（后半段 54, 55, 56, 58, 80 的中位数）= 56 cm （3）我不同意这个观点。理由如下：从集中趋势看，品种A更优：技术员只看到了平均数（A: 54.2 cm, B: 54.0 cm），两者几乎一样。但 中位数 是更能抵抗极端值影响的集中趋势指标。品种A的中位数（54 cm）高于品种B的中位数（53.5 cm），这说明品种A中大多数植株的高度要高于品种B。因此，从普遍水平来看，品种A的生长情况更好。从稳定性和离散程度看，品种A远胜于品种B：品种B的平均数被一个 异常值（80cm）严重拉高了。如果没有这个80cm的植株，品种B的平均数会远低于品种A。这说明品种B的生长情况 极不稳定，大部分植株长势一般，但存在个别“疯长”的特例。从 箱线图 的角度看（可以想象），品种B的箱线图会有一个非常长的上须线，指向80cm，这明显是一个异常值。而品种A的数据分布则相对均匀和稳定。虽然 四分位距 显示品种B（IQR=6cm）中间50%的数据比品种A（IQR=8cm）更集中，但这主要是因为品种B的异常值“拉大”了整体范围，使得其 相对靠后。IQR在这里的参考价值需要结合整体分布来看。品种A的整体分布（从最小值45到最大值65）比品种B（从最小值40到最大值80）要 稳健得多。结论：评价一个品种的生长情况，不能只看平均数。一个稳定、普遍长势良好的品种（如品种A）比一个大部分长势一般、仅靠个别植株拉高平均数的品种（如品种B） 更具推广价值和实际意义。因此，品种A的生长情况更好。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
四、提升 1、一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表（）2、下四分位数；前一半数据的中位数；（）3、上四分位数：后一半数据的中位数。（）4、箱线图包括最大值、最小值、上下四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。 引导学生进行课堂小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
五、作业设计（课外练习） 基础达标：1、某公司8名员工的月薪（单位：元）分别为：4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 5800, 6000, 20000。为了更真实地反映该公司员工的普遍收入水平，下列统计量中最合适的是（ B ）。A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2、在箱线图中，能反映数据离散程度，且不受极端值影响的部分是（ C ）。A. 上边缘 B. 中位数线 C. 箱体（四分位距 IQR） D. 下边缘3、一组数据有15个数，已排序。下列说法不正确的是（ B ）。A. 第8个数是这组数据的中位数 B. 第7个数和第8个数的平均值是中位数C. 第4个数是下四分位数 D. 第12个数是上四分位数4、某小组9名同学的数学测验成绩如下（单位：分）：78, 85, 92, 95, 98, 100, 100, 65, 88(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数。(2) 如果去掉一个最低分65分，再求剩下8个成绩的平均数和中位数。(3) 比较(1)和(2)的结果，说明极端值对平均数和中位数的影响。解：(1) 求平均数、中位数和众数。排序： 65, 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100 平均数： (65+78+85+88+92+95+98+100+100) ÷9 = 89 (分) 中位数： 共9个数据，中位数是第5个数，即 92 (分)。 众数： 100出现了2次，是出现次数最多的数，所以众数是 100 (分)。 (2) 去掉最低分65后，求平均数和中位数。 新数据： 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100 新平均数： (801 - 65) ÷8 = 92 (分) 新中位数： 共8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即 (92 + 95) ÷ 2 = 93.5 (分)。(3) 比较与说明。原平均数为89分，新平均数为92分，上升了3分。原中位数为92分，新中位数为93.5分，上升了1.5分。结论： 极端值（最低分65）对平均数的影响比对中位数的影响更大。当数据中存在极端值时，平均数会向极端值的方向偏移，而中位数则相对稳定，更能反映数据的中间水平。能力提升：5. 箱线图绘制与分析为了解A、B两个工厂生产的同一种零件的直径稳定性，质检员各随机抽取了10个零件进行测量，得到如下数据（单位：mm）：A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7(1) 分别计算A、B两厂数据的中位数、下四分位数、上四分位数和四分位距。(2) 根据计算结果，在同一个数轴上绘制A、B两厂数据的箱线图。(3) 根据箱线图，比较A、B两厂生产的零件直径的分布特征，并判断哪个工厂的生产过程更稳定。请说明理由。解：（1）A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0最小值= 20.1 ，最大值= 22.0， 中位数() = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.4 + 20.5) ÷ 2 = 20.45下四分位数（）前一半数据的中位数 = 20.3上四分位数（）后一半数据的中位数 = 20.6四分位距=20.6-20.3=0.3 解：（1）B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7最小值= 19.8 ，最大值= 20.7， 中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.2 + 20.3) ÷ 2 = 20.25下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.0上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.5四分位距=20.5-20.0=0.5 (2) 绘制箱线图。A厂箱线图。 B厂箱线图(3) 比较与分析。 集中趋势： A工厂的中位数（20.45mm）略高于B工厂的中位数（20.25mm），说明A工厂生产的零件直径整体上偏大。离散程度：A工厂的箱体长度（IQR=0.3）比B工厂的箱体长度（IQR=0.5）短，说明A工厂中间50%的数据更集中，波动更小。 但是，A工厂存在一个明显的极端值（22.0mm），导致其数据范围（最大值-最小值）远大于B工厂。这表明A工厂的生产过程偶尔会出现严重的偏离。稳定性判断： B工厂的生产过程更稳定。理由： 虽然A工厂中间大部分产品的直径更集中，但那个极端值（22.0mm）暴露了其生产过程存在不稳定因素，质量控制可能存在漏洞。而B工厂的所有数据点分布都比较均匀，没有出现离群值，整体表现更平稳、更可靠。稳定性不仅看中间部分的集中程度，更要看整个生产过程的可控性，B工厂显然表现更好。拓展迁移：6.实际应用与综合分析某市连续15天记录了每日的PM2.5浓度（单位：μg/m ），数据如下：35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150(1) 求这组数据的五数概括（最小值、 , , , 最大值）。(2) 计算四分位距（IQR），并利用“1.5×IQR”法则判断这组数据中是否存在异常值。如果存在，请指出是哪个（或哪些）。(3) 剔除异常值后，重新计算剩余数据的五数概括，并绘制新的箱线图（草图即可）。(4) 结合原始数据和剔除异常值后的分析，评价这15天该市的空气质量情况。解：(1) 求五数概括。数据排序：35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150最小值： 35 最大值： 150 中位数( )： n=15，位置是第(15+1)÷2=8个数，即 78。位置是第(15+1)÷4=4个数，即 60。位置是第3(15+1)÷4=12个数，即 902) 判断异常值。计算四分位距；IQR： IQR = - = 90 - 60 = 30。计算上下限：下限= - 1.5 × IQR = 60 - 1.5 × 30 = 60 - 45 = 15。上限= + 1.5 × IQR = 90 + 1.5 × 30 = 90 + 45 = 135。判断： 数据中小于15或大于135的值为异常值。数据中150 > 135，所以 150是异常值。（3）剔除异常值后，重新计算并绘图。 新数据： 35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120 (共14个)新五数概括：最小值= 35 最大值= 120中位数( ) = (第7个数 + 第8个数) ÷ 2 = 76.5 = 第 (14+1)÷4 = 3.75 个数 ≈ 第4个数 = 60 = 第 3(14+1)÷4 = 11.25 个数 ≈ 第11个数 = 85绘制新箱线图（草图）：(4) 空气质量评价。基于原始数据分析： 15天的PM2.5浓度中位数为78μg/m ，根据国家标准，这属于“轻度污染”水平。但数据范围很大（35-150），且存在一个严重污染的异常值（150μg/m ，达到“重度污染”），表明这期间空气质量波动剧烈，大部分时间处于不健康状态，并出现过非常糟糕的情况。基于剔除异常值后分析： 剔除最糟糕的一天后，剩余14天的中位数降至76.5μg/m ， 也从90降到85，说明整体污染水平略有下降。IQR变为25，数据相对集中了一些。但最大值仍有120，表明即使在没有极端值的日子里，也出现过“中度污染”的情况。 综合评价： 总体来看，这15天该市的空气质量不容乐观。虽然大部分时间的PM2.5浓度集中在60-85之间（轻度污染），但污染水平波动较大，且频繁出现中度甚至重度污染天气。这表明该市在监测期间可能受到了不利气象条件或污染源排放增加的影响，空气质量不稳定，对市民健康构成潜在威胁。相关部门需要关注并采取措施以改善空气质量。
教学反思
5.8 6.0 6.1 6.3 6.5
5.5 5.9 6.1 6.55 7.0
20.1 20.3 20.45 20.6 22.0
19.8 20.0 20.25 20.5 20.7
35 60 76.5 85 120
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第六章 数据的分析
6.2中位数与箱线图导学案
学习目标与重难点
学习目标：
知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图中读取信息。
过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计意识和数据分析能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。
学习重点：掌握中位数、百分位数、四分位数概念，从箱线图中获取信息。
学习难点：运用箱线图分析数据分布。
预习自测
一、知识链接
1、某公司员工月工资收入如下
经理：我公司员工收入很高，平均5400元。数据5400是这组数据的 数。
职员C：我的工资4800，在公司算中等收入。数据4800是这组数据的 数。
职员D：我们好几个人的工资都是4500元。数据4500是这组数据的 数。
应聘者：这个公司的收入到底怎样？
2、议一议：众数、平均数、中位数各有什么特点
众数、平均数、中位数都是描述数据 的统计量
① 存在性：平均数和中位数必然 且 ，众数可能 。
② 数据依赖性：平均数依赖 ，中位数仅依赖 ，众数依赖 的数据。
③ 极端值影响：平均数最敏感，中位数次之（仅在偶数个数据时可能受中间两数影响），众数完全不受影响。
3、中位数
定义：
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最 的一个数据（或 ）叫做这组数据的中位数。
例：数据2，3，3，5，7，它们的中位数为 ；
数据2，3，3，5，7，8，它们的中位数为 。
中位数是刻画一组数据“ ”的一个代表
4、求中位数步骤
（1）排序 （2）判奇偶 （3）定中位数
教学过程
探究1百分位数的计算
中位数是一组数据从小到大排列数据中占据50%位置的数，优点是简单，受极端数据的影响较小。但仅有中位数不能完整反映数据的分布情况，为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据，（处于p%位置上的数据称为第P百分位数，记为p%分位数，制作百分位数值表。它能更细致地反映数据在整体中的分布情况，比如在身高数据中，可明确自己身高在同龄人中的位置。
下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生身高百分位数值表，你能读懂这张表吗？能能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗？
探究2，四分位数的计算
在百分位数中，除了最大值和最小值外，我们尤为关注25%，50%、75%分位数，把一组数据分位个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数（ ）、中位数（）、上四分位数，（ ），如何计算一组数据的四分位数呢？同学之间互相交流。
例题：某市12月16日--31日每日的最高气温（单位：摄氏度）依次如下;
5 3 2 2 2 2 3 3 5 5 -2 -2 -5 -1 -1 -1
中位数（50%分位数）（2+2）÷2=2 即 =2C
下四分位数（25%分位数），前一半数据的中位数 [（-1）+（-1）]÷2=-1 即=-1C
上四分位数（75%分位数），后一半数据的中位数 （3+3）÷2=3 即=3C
【强调】
怎样计算四分位数：
1、把这组数据从小到大排列
2、计算这组数据的中位数（）
3、下四分位：计算前一半数据的中位数（）
4、上四分位：计算后一半数据的中位数（）
探究3：箱线图
1、下面是全班40个同学1min跳绳的次数；
132，136，144，162，144，115，132，136，123，144，136，132，132，159，136，144，129，136，139，153，123，133，144，137，152，138，136，129，129，134，138，149，125，128，128，133，138，134，146，148。
求全班同学1min跳绳的最小值，下四分位数，中位数，上四分位数、最大值。
2、下面是有关40个同学1min跳绳的箱线图，
看图回答下列问题
①图中有5条横线：分别表示什么含义？
②中间长方形（箱子）被136分成两部分，上半部分比下半部分大，说明说明原因？
③估计一下这组数据的平均数大还是中位数大？
3、箱线图也可以表示为
4、直方图与箱线图的比较
直方图的特点是能够显示各组频数分布的情况， 箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息
易于比较各组之间频数的差异，并反映数据的 反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整
分布形态。 体分布情况的比较。
利用箱线图进行数据分析
下图是同一个班级两次1min跳绳成绩箱线图，两次跳绳成绩比较（填写下表）
最小值 中位数 最大值
第一次
第二次
结论：该班跳绳的成绩有所提升。
6、强调
（1）箱线图的特点：
箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
（2）上、下四分位数的计算
下四分位数；前一半数据的中位数；
上四分位数：后一半数据的中位数。
课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.某射击运动员在一次训练中，10次射击的成绩（环数）分别是：9.2, 9.5, 9.8, 10.0, 9.0, 9.6, 9.3, 9.7, 9.9, 9.4。这组数据的中位数是 环。
2.对于一组数据，其下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（ ）将所有数据分成了四个部分。每个部分包含的数据个数约占总数据个数的 %。
3.一组数据的上四分位数是85，下四分位数是60，则这组数据的四分位距（IQR）是 。
4.某班25名学生的身高数据（单位：cm）已按从小到大的顺序排列。已知第7名学生的身高是160cm，第13名学生的身高是168cm，第19名学生的身高是175cm。则这组身高的中位数是 cm，下四分位数（）约是 cm，上四分位数（ ）约是 cm。
(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)
5.某小组8名同学的数学测试成绩如下（单位：分）：
85, 92, 78, 95, 88, 85, 90, 98
（1）求这组数据的平均数、中位数和众数。
（2）求这组数据下四分位数( )、上四分位数（ ) 。
能力提升：
6.甲、乙两名运动员在10次训练中的跳远成绩（单位：米）如下：
甲： 5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.5
乙： 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.7, 7.0
（1）分别计算甲、乙两组数据的五数概括（最小值、 、中位数、 、最大值）。
（2）在同一数轴上，绘制出甲、乙两名运动员跳远成绩的箱线图。
（3）根据箱线图，比较两名运动员成绩的异同点（至少写出两点）。
拓展迁移：
7. 为了解A、B两个品种的小麦生长情况，农业技术员各抽取了10株小麦，测量了它们的株高（单位：cm），数据如下：
品种A： 45, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 65
品种B： 40, 42, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 80
（1）计算两个品种小麦株高的中位数和平均数。
（2）计算两个品种小麦株高的四分位数 和 。
（3）一位技术员说：“品种B的平均高度更高，所以品种B的生长情况更好。” 你同意这个观点吗？请结合中位数、四分位距和箱线图（可自行绘制或想象）的知识，从稳定性和异常情况等方面进行分析，并说明理由。
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1、一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表（）
2、下四分位数；前一半数据的中位数；（）
3、上四分位数：后一半数据的中位数。（）
4、箱线图包括最大值、最小值、上下四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
五、【作业布置】
基础达标：
1、某公司8名员工的月薪（单位：元）分别为：4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 5800, 6000, 20000。为了更真实地反映该公司员工的普遍收入水平，下列统计量中最合适的是（ ）。
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2、在箱线图中，能反映数据离散程度，且不受极端值影响的部分是（ ）。
A. 上边缘 B. 中位数线 C. 箱体（四分位距 IQR） D. 下边缘
3、一组数据有15个数，已排序。下列说法不正确的是（ ）。
A. 第8个数是这组数据的中位数 B. 第7个数和第8个数的平均值是中位数
C. 第4个数是下四分位数 D. 第12个数是上四分位数
4、某小组9名同学的数学测验成绩如下（单位：分）：
78, 85, 92, 95, 98, 100, 100, 65, 88
(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数。
(2) 如果去掉一个最低分65分，再求剩下8个成绩的平均数和中位数。
(3) 比较(1)和(2)的结果，说明极端值对平均数和中位数的影响。
能力提升：
5. 箱线图绘制与分析
为了解A、B两个工厂生产的同一种零件的直径稳定性，质检员各随机抽取了10个零件进行测量，得到如下数据（单位：mm）：
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
(1) 分别计算A、B两厂数据的中位数、下四分位数、上四分位数和四分位距。
(2) 根据计算结果，在同一个数轴上绘制A、B两厂数据的箱线图。
(3) 根据箱线图，比较A、B两厂生产的零件直径的分布特征，并判断哪个工厂的生产过程更稳定。请说明理由。
拓展迁移：
6.实际应用与综合分析
某市连续15天记录了每日的PM2.5浓度（单位：μg/m ），数据如下：
35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150
(1) 求这组数据的五数概括（最小值、 , , , 最大值）。
(2) 计算四分位距（IQR），并利用“1.5×IQR”法则判断这组数据中是否存在异常值。如果存在，请指出是哪个（或哪些）。
(3) 剔除异常值后，重新计算剩余数据的五数概括，并绘制新的箱线图（草图即可）。
(4) 结合原始数据和剔除异常值后的分析，评价这15天该市的空气质量情况。
课堂作业参考答案：
基础达标：
1.9.55
25%
3.25
4.168；160；175。
(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)
5.解析（1）：首先，将数据按从小到大的顺序排列：
78, 85, 85, 88, 90, 92, 95, 98
平均数：(78 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 + 95 + 98) ÷8 = 88.875 (分)
中位数= (88 + 90) ÷ 2 = 89 (分)
众数：数据中出现次数最多的数是85（出现了2次），众数= 85 (分)
（2）下四分位数是前半部分数据的中位数。前半部分数据为 78, 85, 85, 88。
=(85 + 85) ÷2 = 85 (分)。
上四分位数是后半部分数据的中位数。后半部分数据为 90, 92, 95, 98。
=(92 + 95) ÷2 = 93.5 (分)。
能力提升：
6.解(1)
甲： 最小值=5.8, =6.0, 中位数=6.15, =6.3, 最大值=6.5
乙： 最小值=5.5, =5.9, 中位数=6.1,
=6.55, 最大值=7.0
(2)甲跳远成绩的箱线图
乙跳远成绩的箱线图。
（3）相同点：
集中趋势相近：甲的中位数（6.15米）和乙的中位数（6.1米）非常接近，说明两名运动员成绩的中间水平差不多。
都有较好的稳定性：从箱子的长度来看，甲的为0.3米，乙的为0.65米，说明甲的成绩中间50%更集中，稳定性略好。但两者都没有特别离谱的极端值（在箱线图须线范围内）。
不同点：
成绩的离散程度（波动性）不同：甲的箱线图整体更“紧凑”，箱子（IQR=0.3）和须线（范围=0.7）都较短，说明甲的成绩波动小，表现非常稳定。乙的箱线图整体更“分散”，箱子（IQR=0.65）和须线（范围=1.5）都较长，说明乙的成绩波动大，表现不够稳定。
成绩的分布范围不同：甲的成绩集中在5.8米到6.5米之间。乙的成绩范围更广，从5.5米到7.0米，说明乙既有发挥失常的时候（5.5米），也有超常发挥的时候（7.0米）。
拓展迁移：
7.解：（1）计算中位数和平均数。
品种A：中位数 = (53 + 55) ÷2 = 54 cm
平均数= (45+48+50+52+53+55+56+58+60+65) ÷10 = 54.2 cm
品种B：中位数 = (53 + 54) ÷2 = 53.5 cm
平均数= (40+42+50+52+53+54+55+56+58+80) ÷ 10 = 54 cm
（2）品种A：
（前半段 45, 48, 50, 52, 53 的中位数）
= 50 cm
（后半段 55, 56, 58, 60, 65 的中位数）
= 58 cm
品种B：
（前半段 40, 42, 50, 52, 53 的中位数）
= 50 cm
（后半段 54, 55, 56, 58, 80 的中位数）
= 56 cm
（3）我不同意这个观点。理由如下：
从集中趋势看，品种A更优：
技术员只看到了平均数（A: 54.2 cm, B: 54.0 cm），两者几乎一样。但 中位数 是更能抵抗极端值影响的集中趋势指标。品种A的中位数（54 cm）高于品种B的中位数（53.5 cm），这说明品种A中大多数植株的高度要高于品种B。因此，从普遍水平来看，品种A的生长情况更好。
从稳定性和离散程度看，品种A远胜于品种B：
品种B的平均数被一个 异常值（80cm）严重拉高了。如果没有这个80cm的植株，品种B的平均数会远低于品种A。这说明品种B的生长情况 极不稳定，大部分植株长势一般，但存在个别“疯长”的特例。
从 箱线图 的角度看（可以想象），品种B的箱线图会有一个非常长的上须线，指向80cm，这明显是一个异常值。而品种A的数据分布则相对均匀和稳定。
虽然 四分位距 显示品种B（IQR=6cm）中间50%的数据比品种A（IQR=8cm）更集中，但这主要是因为品种B的异常值“拉大”了整体范围，使得其 相对靠后。IQR在这里的参考价值需要结合整体分布来看。品种A的整体分布（从最小值45到最大值65）比品种B（从最小值40到最大值80）要 稳健得多。
结论：
评价一个品种的生长情况，不能只看平均数。一个稳定、普遍长势良好的品种（如品种A）比一个大部分长势一般、仅靠个别植株拉高平均数的品种（如品种B） 更具推广价值和实际意义。因此，品种A的生长情况更好。
课外作业参考答案：
基础达标：
B
C
B
4、解：(1) 求平均数、中位数和众数。
排序： 65, 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
平均数： (65+78+85+88+92+95+98+100+100) ÷9 = 89 (分)
中位数： 共9个数据，中位数是第5个数，即 92 (分)。
众数： 100出现了2次，是出现次数最多的数，所以众数是 100 (分)。
(2) 去掉最低分65后，求平均数和中位数。
新数据： 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
新平均数： (801 - 65) ÷8 = 92 (分)
新中位数： 共8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，
即 (92 + 95) ÷ 2 = 93.5 (分)。
(3) 比较与说明。
原平均数为89分，新平均数为92分，上升了3分。
原中位数为92分，新中位数为93.5分，上升了1.5分。
结论： 极端值（最低分65）对平均数的影响比对中位数的影响更大。当数据中存在极端值时，平均数会向极端值的方向偏移，而中位数则相对稳定，更能反映数据的中间水平。
能力提升：
5.解：（1）
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
最小值= 20.1 ，最大值= 22.0，
中位数() = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.4 + 20.5) ÷ 2 = 20.45
下四分位数（）前一半数据的中位数 = 20.3
上四分位数（）后一半数据的中位数 = 20.6
四分位距=20.6-20.3=0.3
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
最小值= 19.8 ，最大值= 20.7，
中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.2 + 20.3) ÷ 2 = 20.25
下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.0
上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.5
四分位距=20.5-20.0=0.5
(2) 绘制箱线图。
A厂箱线图。
B厂箱线图
(3) 比较与分析。
集中趋势： A工厂的中位数（20.45mm）略高于B工厂的中位数（20.25mm），说明A工厂生产的零件直径整体上偏大。
离散程度：
A工厂的箱体长度（IQR=0.3）比B工厂的箱体长度（IQR=0.5）短，说明A工厂中间50%的数据更集中，波动更小。
但是，A工厂存在一个明显的极端值（22.0mm），导致其数据范围（最大值-最小值）远大于B工厂。这表明A工厂的生产过程偶尔会出现严重的偏离。
稳定性判断： B工厂的生产过程更稳定。
理由： 虽然A工厂中间大部分产品的直径更集中，但那个极端值（22.0mm）暴露了其生产过程存在不稳定因素，质量控制可能存在漏洞。而B工厂的所有数据点分布都比较均匀，没有出现离群值，整体表现更平稳、更可靠。稳定性不仅看中间部分的集中程度，更要看整个生产过程的可控性，B工厂显然表现更好。
拓展迁移：
6.解：
(1) 求五数概括。
数据排序：35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150
最小值： 35 最大值： 150
中位数( )： n=15，位置是第(15+1)÷2=8个数，即 78。
位置是第(15+1)÷4=4个数，即 60。
位置是第3(15+1)÷4=12个数，即 90
2) 判断异常值。
计算四分位距；IQR： IQR = - = 90 - 60 = 30。
计算上下限：
下限= - 1.5 × IQR = 60 - 1.5 × 30 = 60 - 45 = 15。
上限= + 1.5 × IQR = 90 + 1.5 × 30 = 90 + 45 = 135。
判断： 数据中小于15或大于135的值为异常值。数据中150 > 135，所以 150是异常值。
（3）剔除异常值后，重新计算并绘图。
新数据： 35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120 (共14个)
新五数概括：最小值= 35 最大值= 120
中位数( ) = (第7个数 + 第8个数) ÷ 2 = 76.5
= 第 (14+1)÷4 = 3.75 个数 ≈ 第4个数 = 60
= 第 3(14+1)÷4 = 11.25 个数 ≈ 第11个数 = 85
绘制新箱线图（草图）：
(4) 空气质量评价。
基于原始数据分析： 15天的PM2.5浓度中位数为78μg/m ，根据国家标准，这属于“轻度污染”水平。但数据范围很大（35-150），且存在一个严重污染的异常值（150μg/m ，达到“重度污染”），表明这期间空气质量波动剧烈，大部分时间处于不健康状态，并出现过非常糟糕的情况。
基于剔除异常值后分析： 剔除最糟糕的一天后，剩余14天的中位数降至76.5μg/m ， 也从90降到85，说明整体污染水平略有下降。IQR变为25，数据相对集中了一些。但最大值仍有120，表明即使在没有极端值的日子里，也出现过“中度污染”的情况。
综合评价： 总体来看，这15天该市的空气质量不容乐观。虽然大部分时间的PM2.5浓度集中在60-85之间（轻度污染），但污染水平波动较大，且频繁出现中度甚至重度污染天气。这表明该市在监测期间可能受到了不利气象条件或污染源排放增加的影响，空气质量不稳定，对市民健康构成潜在威胁。相关部门需要关注并采取措施以改善空气质量。
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