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专项突破提升(二)
相似三角形的常见模型
类型一　平行线A型
1．(4分)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，增加下列哪个条件不能使△ADE与△ABC相似(　A　)
A．＝ ＝
C．∠AED＝∠B D．∠AED＝∠C
2．(8分)如图，在△ABC中，已知D，E分别是边AC，AB的中点．求证：△ADE∽△ACB．
证明：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥CB．
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC．
∴△ADE∽△ACB．
类型二　平行线X型
3．(4分)如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(　D　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
4．(12分)如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
(1)求CD的长；
(2)求证：△CDE∽△BDC．
(1)解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12．
∴AE＝AC－CE＝9．
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE．
∴＝．
∴CD＝＝＝2．
(2)证明：∵在Rt△ECB中，∠ECB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3．
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE．
∴＝＝．
∴DE＝．
∴BD＝4．
∵＝＝＝＝，
∴＝．
又∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
类型三　相交线型
5．(4分)如图，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　D　)
A．∠C＝∠AED
B．∠B＝∠ADE
C．AE·AB＝AD·AC
D．AE·BC＝ED·AB
6．(12分)如图，P是△ABC的边AB上的一点．
(1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？
(2)如果＝，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果＝呢？
解：(1)△ACP∽△ABC．理由如下：
∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC．
(2)如果＝，△ACP与△ABC相似．理由如下：
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC．
如果＝，△ACP与△ABC不一定相似．理由如下：
∵＝，但∠ACB≠∠ACP，
∴△ACP与△ABC不一定相似．
类型四　旋转型
7．(4分)如图，在△ABC与△ADE中，点D在边BC上，∠1＝∠2＝∠3．若AB＝4，AD＝2，AC＝3，则AE的长为(　B　)
A．
C．2 D．
8．(8分)如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝．
∴△ABC∽△AED．
9．(10分)如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B．求证：△ABC∽△ADE．
证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC＋∠CAD＝∠DAB＋∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC．
又∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
类型五　双垂直型
10．(4分)如图，BD，CE是△ABC的两条高，BD，CE交于点O，则图中与△BOE相似的三角形有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边AC上一点，DE⊥AB于点E．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)如果AC＝8，BC＝6，CD＝3，求BE的长．
(1)证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED＝∠C＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
(2)解：∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴由勾股定理，得AB＝10．
∵AC＝8，CD＝3，∴AD＝5．
∵△ABC∽△ADE，
∴＝．
∴＝．∴AE＝4．
∴BE＝10－4＝6．
类型六　一线三等角型
12．(4分)如图，在边长为8的等边三角形ABC中，BD＝2，∠ADE＝60°，则AE的长为 ．
13．(10分)如图，点B，C，D在同一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1＋∠2＝90°．求证：△ABC∽△CDE．
证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴∠A＋∠1＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠A＝∠2．
∴△ABC∽△CDE．
类型七　分类讨论型
14．(12分)如图，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使以C，D，P为顶点的三角形与以P，B，A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，请说明理由．
解：存在．
①若△PCD∽△APB，则＝，
即＝，
解得DP＝2或12．
②若△PCD∽△PAB，则＝，
即＝，
解得DP＝5.6．
∴当DP的长为2或12或5.6时，以C，D，P为顶点的三角形与以P，B，A为顶点的三角形相似．
15．(12分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，点E从点C出发，在边CA上以2 cm/s的速度移动；点D从点A出发，在边AB上以1 cm/s的速度移动．若点E，D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多长时间，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？
解：设经过t s，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t cm，CE＝2t cm．
∴AE＝(12－2t)cm．
∵∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，
∴AB＝＝＝5(cm)．
若△ADE∽△ABC，则＝，
∴＝．
∴t＝．
若△ADE∽△ACB，
则＝，
∴＝．
∴t＝．
综上所述，经过 s或 s，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
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