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课时分层训练(六)　用公式法求解一元二次方程
知识点一　一元二次方程的一般形式
1．用公式法解方程x2－2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是(　D　)
A．a＝1，b＝－2，c＝3
B．a＝1，b＝2，c＝－3
C．a＝1，b＝2，c＝3
D．a＝1，b＝－2，c＝－3
2．将方程3x2＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式为 3x2－5x－10＝0 ．
知识点二　用公式法解一元二次方程
3．小明在解方程x2－4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝－4，c＝－2，(第一步)
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24．(第二步)
∴x＝．(第三步)
∴x1＝－2＋，x2＝－2－．(第四步)
小明解答过程开始出错的步骤是(　C　)
A．第一步 B．第二步
C．第三步 D．第四步
4．方程－x2＋4x－1＝0的根是 x1＝2＋，x2＝2－ ．
5．解方程：
(1)x2－4x＋2＝0；(用配方法)
(2)2x2＋3＝7x．(用公式法)
解：(1)∵x2－4x＋2＝0，
∴x2－4x＝－2．
∴x2－4x＋4＝2，即(x－2)2＝2．
∴x－2＝±．
∴x1＝2＋，x2＝2－．
(2)∵2x2＋3＝7x，
∴2x2－7x＋3＝0．
∵a＝2，b＝－7，c＝3，
∴Δ＝(－7)2－4×2×3＝25＞0．
∴x＝＝．
∴x1＝3，x2＝．
知识点三　根的判别式
6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是(　A　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
7．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8．若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 9 ．
9．关于x的一元二次方程x2－2x＋3m－2＝0有实数根．
(1)当x＝0是方程的一个根时，求m的值；
(2)求m的取值范围．
解：(1)把x＝0代入原方程，得3m－2＝0，解得m＝．
(2)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(3m－2)≥0，解得m≤1．
10．方程x2－3x＝2中与求根公式中相对应的a，b，c的值分别是(　C　)
A．0，－3，2
B．0，－3，－2
C．1，－3，－2
D．1，－3，2
11．x＝是下列哪个一元二次方程的根(　D　)
A．2x2＋2x＋1＝0
B．x2＋2x＋2＝0
C．x2－2x＋2＝0
D．x2－2x－2＝0
12．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是(　C　)
A．k＞－1
B．k＜－1
C．k＝－1
D．k＞－1且k≠0
13．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　C　)
A．k≥－4
B．k＞－3
C．k＞－3且k≠1
D．k≥－3且k≠1
14．已知关于x的方程ax2－bx－c＝0(a≠0)的系数满足a－b－c＝0，且4a＋2b－c＝0，则该方程的根是 x1＝1，x2＝－2 ．
15．用公式法解一元二次方程，得y＝，则该一元二次方程为 3y2＋5y－1＝0 ．
16．定义a*b＝，则方程(x*x2)－(x2*x)＝2的根为 x＝ ．
17．若关于x的方程x2＋6x－a＝0无实数根，则a的取值范围是 a＜－9 ．
18．解方程：
(1)6x2－13x－5＝0；
(2)12x2＋1＝－7x．
解：(1)由题意，得a＝6，b＝－13，c＝－5，
∵Δ＝(－13)2－4×6×(－5)＝169＋120＝289＞0，
∴x＝．∴x1＝，x2＝－．
(2)∵12x2＋7x＋1＝0，
∴a＝12，b＝7，c＝1．
∵Δ＝72－4×12×1＝1＞0，
∴x＝．
∴x1＝－，x2＝－．
19．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－1＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
(1)证明：∵Δ＝m2－4(m－1)＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)解：x＝，
解得x1＝－1，x2＝－m＋1．
∵方程有一个根为正数，
∴－m＋1＞0．
∴m＜1．
【创新运用】
20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：
把x＝－1代入方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
(2)△ABC为直角三角形．理由如下：
根据题意，得Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即b2＋c2＝a2，所以△ABC为直角三角形．
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c．
∴方程化为x2＋x＝0，
解得x1＝0，x2＝－1．
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