资源简介

1.1.2　空间向量的数量积运算
学案设计(一)
学习目标
(1)通过类比,理解和掌握空间向量的数量积的定义、性质以及运算律.
(2)掌握空间向量投影及投影向量,理解空间向量数量积的几何意义.
(3)基本掌握运用空间向量数量积运算解决空间距离、夹角问题,进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想与方法.
自主预习
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则　　　　　叫做向量a,b的夹角,记作　　　　　.
图示
范围 通常规定,　　　≤≤　　　. 当=　　　　时,a与b垂直,记作　　　　　.
2.空间向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则　　　　　　　　叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=　.
特别地,零向量与任意向量的数量积为　　　.
(2)由数量积的定义,可以得到:
a⊥b 　　　　　　;
a·a=|a||a|cos=　　　　.
3.投影向量
(1)在空间,向量a向向量b投影:
如图①,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=　　　　　　,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a在直线l上的投影如图②.
图①
图②
图③
(3)向量a向平面β投影:
如图③,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量.
4.空间向量的数量积的运算律
(1)(λa)·b=　　　　　,λ∈R;
(2)a·b=　　　　　(交换律);
(3)(a+b)·c=　　　　　　(分配律).
课堂探究
[导入新课]
为了研究滑翔运动,我们引入了空间向量的概念,并类比平面向量得到了空间向量的线性运算,即空间向量的加法、减法以及数乘运算.
思考1:由于空间向量的概念和线性运算与平面向量的概念和线性运算具有一致性,那么平面向量的数量积运算是否适用于空间向量呢
思考2:我们发现任意两个空间向量都可以转化为同一个平面内的向量,所以平面向量的数量积运算能不能推广到空间向量 你能定义空间向量的数量积吗
[讲授新课]
1.类比平面向量,给出空间向量的夹角的定义.
平面向量的夹角 空间向量的夹角
已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,规定0≤≤π. 如果=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b
2.类比平面向量,给出空间向量的数量积的运算.
平面向量的数量积 空间向量的数量积
3.在平面向量中我们学习过投影向量的概念,你能把它推广到空间向量中吗
平面向量的投影 图示
两个非零向量a,b,=a,=b,过点A和B分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1和B1,得到,称上述变换为向量a向向量b的投影,叫做向量a在向量b上的投影向量
图示 空间向量的投影向量
4.空间向量的数量积运算有哪些运算律
平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律
　　　　①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②a·b=b·a(交换律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
思考3:空间向量数量积运算由平面向量数量积运算推广而来,与平面向量数量积运算一样,要注意它与向量的线性运算及实数乘法运算的区别.你能回答下列问题吗
(1)由a·b=0,能否得到a=0或b=0
(2)对于三个均不为零的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c吗
(3)对于三个均不为零的数a,b,c,若ab=c,则a=或b=.对于向量a,b,若a·b=k,能不能写成a=或b=
(4)对于三个均不为零的数a,b,c,有(ab)c=a(bc).对于向量a,b,c,有(a·b)c=a(b·c)成立吗
【学以致用】
例1　如下图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求:
(1);
(2)AC'的长(精确到0.1).
例2　如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.求证:DC1⊥BC.
核心素养专练
1.(多选题)下列各命题中,真命题是(　　)
A.=|a|
B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)
C.a·(b+c)=(b+c)·a
D.a2b=b2a
2.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.5
C.6 D.
3.(多选题)设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则下列结论错误的是(　　)
A.=a2 B.a2
C.=a2 D.=a2
4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于(　　)
A.6 B.6
C.12 D.144
5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则=　　　　　.
参考答案
自主预习
1.∠AOB　　0　π　　a⊥b
2.(1)|a||b|cos　|a||b|cos　0　(2)a·b=0　|a
3.(1)|a|cos
4.(1)λ(a·b)　(2)b·a　(3)a·c+b·c
课堂探究
[导入新课]
思考1:略
思考2:略
[讲授新课]
1.
空间向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,规定0≤≤π. 如果=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b
2.
平面向量的数量积 空间向量的数量积
已知非零向量a,b,|a||b|cos叫做向量a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos. 特别地,零向量与任意向量的数量积为0
3.能,如下表所示.
图示 空间向量的投影向量
将空间向量a,b,平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos,向量c称为向量a在向量b上的投影向量
思考3:
(1)不一定!因为a·b=|a||b|cos=0,所以|a|=0或|b|=0或cos=0,即a=0或b=0或a⊥b.
(2)不一定!由a·b=a·c,有a·(b-c)=0.从而有b=c或a⊥(b-c).
(3)不能!没有定义向量的除法运算.
(4)不一定!两个向量的数量积是一个实数,若a·b和b·c非零,则(a·b)c和a(b·c)分别表示一个与向量c和向量a共线的向量,它们不一定相等.
【学以致用】
例1　解 (1)=||||cos<>=5×3×cos 60°=7.5.
(2)因为,
所以||2=||2=()2=||2+||2+||2+2()=52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56,
所以AC'≈13.3.
例2　证明 因为,且D是棱AA1的中点,所以.
由DC1⊥BD,得·=·=0.
因为AC=AA1,所以·=·=2-=0,
所以=0,
所以DC1⊥BC.
核心素养专练
1.ABC　解析 ∵a·a=|a|2,∴=|a|,故A为真命题;
m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B为真命题;
a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a=a·b+a·c=a·(b+c),故C为真命题;
a2·b=|a|2·b,b2·a=|b|2·a,故D不确定.
2.A　解析 由题意知(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=1+1+4-2cos 60°=5,则|a-b+2c|=.
3.ABD　解析 如图所示,由题意得<>=<0,A错误;是向量,不是实数,B错误;=a·acos=a2,C正确;<0,D错误.
4.C　解析 因为,所以+2+2+2=36+36+36+2×36cos 60°=144,所以PC=12.
5.14　解析 =4×3×cos 60°+0+×42=14.
学案设计(二)
学习目标
(1)通过类比思想,理解和掌握空间向量的数量积的定义、性质以及运算律.
(2)掌握空间向量投影及投影向量,理解空间向量数量积的几何意义.
(3)基本掌握运用空间向量数量积运算解决空间距离、夹角问题,进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想与方法.
自主预习
知识点一:空间向量的夹角
1.当=0和=π时,向量a与b有什么关系
2.若a·b=0,则一定有a⊥b吗 为什么
3.,<-a,b>,,<-a,-b>,它们有什么关系
知识点二:空间向量的数量积
1.向量的数量积运算是否满足结合律
2.对于向量a,b,若a·b=k,能否写成a=或b=
课堂探究
[导入新课]
2022年冬季奥林匹克运动会在中国北京市和河北省张家口市联合举行,一些比赛场地场馆惊艳了世界!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型时,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑和地面是否垂直,要不要垂直 构成建筑的部件长度多少 彼此成多少角度比较合适等等.怎样才能解决这些问题呢,必须要有强大的数学工具!
问题1:在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题
问题2:在《必修第二册》中我们已经学面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算,那么空间向量中,什么样的运算能支持判断垂直问题,以及长度、角度计算问题
[讲授新课]
问题3:请同学们四人1小组,借助小组的力量,对照表格中的信息,一起探究:空间向量的数量积到底是什么样的
向量的数量积
维度 平面 空间
夹角定 义范围 对非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB叫做a与b的夹角. 范围:[0,π]
定义 非零向量a·b=|a||b|cos θ 规定:0·a=0
几何意义 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a; (a+b)·c=a·c+b·c
问题4:类比平面向量投影的得到过程,在空间中,一个向量在另一个向量上的投影,该怎么作呢
空间向量的数量积运算的分配律
由于任意两个空间向量都是共面的,所以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量积运算.因此平面向量数量积的运算律都适用于空间向量的数量积运算.但是要注意到(a+b)·c=a·c+b·c.
问题5:这三个向量一定共面吗 如果不是,这条运算律还成立吗 试作出a+b,a,b在c方向上的投影.
问题6:在理清了空间向量数量积的运算律之后,请同学辨析一下教科书第7页思考题中的三个问题.
若a,b,c都不为0 数量积运算误区 结论
可约吗 a·b=a·c b=c
可除吗 若a·b=k,则a=
可结合吗 (a·b)c=a(b·c)
[知识迁移]
例1　(1)已知|a|=3,|b|=4,=120°,则(3a-2b)·(a+2b)=　　　　　.
(2)如图所示,已知正四面体OABC的棱长为1.求:
①;
②()·().
例2　如右图,m,n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m,l⊥n,求证:l⊥α.
核心素养专练
1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则所成角的大小为　　　　　,=　　　　　.
2.已知向量a,b,|a|=6,|b|=8,=120°,则a在b上的投影向量为　　　　　,b在a上的投影向量为　　　　　.
3.如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明:BD⊥PC;
(2)求||的值.
4.如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
参考答案
自主预习
知识点一:
1.提示:当=0时,a与b同向;当=π时,a与b反向.
2.提示:若a·b=0,不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.
3.提示:<-a,b>==π-,<-a,-b>=.
知识点二:
1.提示:不满足.
2.提示:不能.向量没有除法运算.
课堂探究
问题1:略
问题2:略
问题3:具体探究结果见下表.
向量的数量积
维度 平面 空间
夹角定 义范围 对非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB叫做a与b的夹角. 范围:[0,π] 相同
定义 非零向量a·b=|a||b|cos θ 规定:0·a=0 相同
几何意义 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 相同
运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a; (a+b)·c=a·c+b·c 相同
问题4:向量的投影
问题5:不一定共面,还成立,a+b在c方向上的投影=a在c方向上的投影+b在c方向上的投影
问题6:不可以　不可以　不可以
例1　(1)-61　解析 (3a-2b)·(a+2b)=3|a|2+4a·b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos 120°-4|b|2=3×9+4×3×4×--4×16=27-24-64=-61.
(2)解 在正四面体OABC中,||=||=||=1,<>=<>=<>=60°.
①=||||·cos∠AOB=1×1×cos 60°=.
②()·()=()·()=()·(-2)=+2-2-2=12+2×-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1.
例2　证明 在平面α内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,将上式两边分别与向量l作数量积运算,得l·g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0,l·n=0,所以l·g=0.
所以l⊥g,这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥α.
核心素养专练
1.60°　1　解析 如图,连接A1D,则∠PA1D就是所成角,连接PD,在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=,即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即所成角的大小为60°.
因此×cos 60°=1.
2.-b　-a　解析 由题意可得与向量a,b同方向的单位向量分别为,|a|=6,|b|=8,=120°,根据投影向量的定义,可得a在b上的投影向量为|a|cos=-b,b在a上的投影向量为|b|cos=-a.
3.(1)证明 ∵,
∴=()·
=
=||||cos 60°+||||cos 120°
=a2-a2
=0,
∴BD⊥PC.
(2)解 ∵,
∴||2=||2+||2+||2+2+2+2=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2,
∴||=a.
4.证明 设=a,=b,=c,
则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|.
∵)=c+a+b,
=b-a,
)+a+b-c.
∴=c+a+b·(b-a)=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a=(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0.
于是,即A1O⊥BD.
同理可证,
即A1O⊥OG.
又BD∩OG=O,于是有A1O⊥平面GBD.

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