资源简介

1.1.1　空间向量及其线性运算
学习目标
1.理解空间向量的相关概念,掌握空间向量的表示方法.
2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算.
3.会用图形说明空间向量加法、减法的运算律.
自主预习
知识点一:几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 　　　　　　　的向量叫做零向量,记为0
单位 向量 　　　　　的向量叫做单位向量
相反 向量 与向量a长度　　　　而方向　　　　的向量,叫做a的相反向量,记为-a
共线 向量 (平行 向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定:对于任意向量a,都有0∥a
相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量叫做相等向量
知识点二:空间向量的线性运算
空间 向量 的线 性运 算 加法 a+b=
减法 a-b=
数乘 当λ>0时, λa=λ; 当λ<0时, λa=λ; 当λ=0时, λa=0
交换律:a+b=　　　　　; 结合律:a+(b+c)=　　　　　　,λ(μa)=　　　　　; 分配律:(λ+μ)a=　　　　　　,λ(a+b)=　　　　　.
知识点三:共线向量
1.空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是　　　　　　　　　　　.
2.直线的方向向量
在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量叫做直线l的　　　　　　.
知识点四:共面向量
1.共面向量
如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l　　　　　或　　　　　,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA　　　　　于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做　　　　　　.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　　　　.
课堂探究
[导入新课]
如图,一块均匀的正三角形钢板,三顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下静止,三根绳子的受力情况如何
思考1:通过这个实验,你能发现正三角形钢板受到的三个力的特点吗
[讲授新课]
与平面向量一样,在空间,我们把具有　　　　　和　　　　　的量,叫做空间向量.
合作探究一:平面向量与空间向量有关概念
思考2:空间向量的有关概念如何定义呢
探究成果如下表.
内容 平面向量 空间向量
概念
画法及其表示
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
【小试牛刀】
例1　(1)判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
①零向量与任意向量平行. (　　)
②向量的长度与向量的长度相等. (　　)
③空间向量a用几何表示法表示时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取. (　　)
(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的任意两个顶点为起点和终点的向量中:
①单位向量共有多少个
②试写出的相反向量.
跟踪训练　1.下列命题中,假命题是(　　)
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.单位向量都相等
2.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是(　　)
A.a=b
B.a+b为实数0
C.a与b方向相同
D.|a|=3
合作探究二:空间向量的加法、减法运算及运算律
思考3:在平行四边形OABC中,由平行四边形法则可知,,类比平行四边形中的结论,那么在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,体对角线如何表示
=　　　　　　　　　　.
思考4:任意两个空间向量是否一定是共面向量
总结:　.
探究成果:(1)加法运算
①平行四边形法则:　　　　　　　　;
②三角形法则:　　　　　　　　.
注:首尾相接,起点指向终点.
推广:+…+=　　　　　.
即:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
(2)减法运算:　　　　　　　　.
注:减向量的终点指向被减向量的终点.
(3)空间向量加法的运算律
思考5:平面向量的加法运算符合交换律和结合律,空间向量是否也符合 能否借助平行六面体图形证明
①加法交换律:　　　　　　　　　　;
②加法结合律:　　　　　　　　　　.
证明:
【学以致用】空间向量的加法、减法运算
例2　如图,已知平行六面体ABCD -A'B'C'D',化简下列表达式.
(1);
(2).
跟踪训练　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　　.
合作探究三:空间向量的数乘运算
思考6:请阅读教材第4页,对任意两个不共线的空间向量a与b,如果a=λb(λ∈R),a与b有什么位置关系 反过来,a与b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)
思考7:任意两个向量是共面的,若有三个向量,在什么条件下可以共面
核心素养专练
1.如图,在底面为正方形的平行六面体ABCD-A'B'C'D'的棱中,与向量模相等的向量有(　　)
A.0个
B.3个
C.7个
D.9个
2.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.||=||
3.如图,在四面体ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则)=(　　)
A. B.
C. D.
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点.若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c B.a-b-c
C.a-b+c D.a-b+c
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点.若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.a-b+c
6.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,是　　　　　向量,是　　　　　向量.(用相等、相反填空)
7.已知A,B,C,D为空间中任意四点,化简()-()=　　　　　.
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=　　　　　.
9.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简:,并标出化简结果的向量.
10.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3).
参考答案
自主预习
知识点一:长度为0　模为1　相等　相反　相同　相等
知识点二:b+a　(a+b)+c　(λμ)a　λa+μa　λa+λb
知识点三:存在实数λ,使a=λb　方向向量
知识点四:1.平行　重合　平行　共面向量
2.p=xa+yb
课堂探究
[导入新课]
绳子受力情况分析略.
思考1:正三角形钢板受到的三个力的特点是:
(1)三个力不共面
(2)三个力既有大小又有方向,但不在同一平面上
[讲授新课]
大小　方向
合作探究一:
思考2:我们可以类比平面向量有关概念来定义空间向量.
探究成果如下表.
内容 平面向量 空间向量
概念 在平面上,既有大小又有方向的量,其大小叫做平面向量的模或长度 在空间中,具有大小和方向的量,其大小叫做空间向量的模或长度
画法及 其表示 用有向线段画出来,记作:或a 用有向线段画出来,记作:或a
零向量 长度为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的 长度为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的
单位 向量 平面中模为1的向量 空间中模为1的向量
相等 向量 平面中方向相同且模相等的两个向量 空间中方向相同且模相等的两个向量
相反 向量 平面中长度相等而方向相反的两个向量 空间中长度相等而方向相反的两个向量
【小试牛刀】
例1　(1)①√　②√　③√
(2)解 ①由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
②向量的相反向量有,共4个.
跟踪训练　1.D　解析 容易判断D是假命题,所有的单位向量模相等,但方向不同,所以不一定相等.
2.D　解析 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等、方向相反.故D正确.
合作探究二:
思考3:
思考4:是.
总结:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算都可以转化为平面向量的运算
探究成果:(1)①　②
(2)
(3)思考5:略
①a+b=b+a　②(a+b)+c=a+(b+c)
证明 在平行六面体中,设a=,b=,c=,
因为()+,
+()=,
所以(a+b)+c=a+(b+c).
【学以致用】
例2　解 (1).
(2).
跟踪训练　-a+b-c
合作探究三:
思考6:a∥b,当a与b平行时,a=λb(λ∈R).
思考7:若三个向量中的一个可以被另外两个线性表示,即向量p,a,b,存在唯一的有序数对(x,y),使得p=xa+yb时,这三个向量共面.
核心素养专练
1.C　解析 向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知,与向量模相等的向量为,共7个.故选C.
2.C　解析 对于空间中的任意向量,都有,选项A不符合题意;若,则,而,据此可知,即B,C两点重合,选项B不符合题意;,则A,B,C三点共线,选项C符合题意;||=||,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,选项D不符合题意.
3.C　解析 因为)=,所以)=.故选C.
4.C　解析 )=-)=-=-)+)=-a-b+c.故选C.
5.A　解析 因为M是A1C1的中点,所以)==-a+b+c.故选A.
6.相等　相反
7.0　解析 方法1(利用相反向量的关系转化为加法运算):
()-()==0.
方法2(利用向量的减法运算法则求解):
()-()=()+=0.
8.2　解析 利用向量加法的平行四边形法则,结合正方体的性质,可得|a+b+c|=2||=2.
9.解 .
因为E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,
所以.
所以.
故所求向量为,如图所示.
10.解 (1)∵P是C1D1的中点,∴=a+=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,∴=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,
∴=-a+a+c+b=a+b+c.
学案设计(二)
学习目标
1.理解空间向量的概念.
2.掌握空间向量的加法、减法运算.
3.理解空间向量加法、减法运算及其运算律的意义,提升逻辑推理能力.
自主预习
回顾一下平面向量的相关知识:
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示方法:
几何表示法:用有向线段表示.
字母表示法:用小写字母表示;用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.
3.相等向量:　　　　　　　　　　　　.
4.相反向量:　.
5.零向量:　.
6.单位向量:　　　　　　　　　　　　　　　　.
因为空间向量是既有大小又有方向的向量,所以平面向量的有关知识全都适用于空间向量.
7.共线向量:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是　　　　　　　　　　　.
8.共面向量:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　　　　.
课堂探究
一、平面向量与空间向量有关概念
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
1.求;
2.求.
二、空间向量的基本概念
【小试牛刀】
例1　(1)下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量都不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若a≠b,则|a|≠|b|;
⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a,b为相反向量,则a+b=0
C.零向量是没有方向的向量
D.若a,b是两个单位向量,则a=b
(3)如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,顶点连接的向量中,与向量相等的向量有　　　　　　　　;与向量相反的向量有　　　　　　　　.(要求写出所有符合条件的向量)
跟踪训练　1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题正确的是(　　)
A.是一对相等向量
B.是一对相反向量
C.是一对相等向量
D.是一对相反向量
2.给出下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;
③|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件;
④若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
三、空间向量的加法、减法
例1　化简下列各式:
(1);
(2);
(3);
(4).
例2　如图,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
(1);
(2).
跟踪训练　
如图,在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD边的中点,化简:
(1));
(2)).
【总结归纳】
向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则是解决这类问题的关键,相反向量、相等向量及两向量和、差的灵活应用,可以迅速解决这类问题.
四、空间向量的线性运算
探究一:共线定理
问题1:对任意两个空间向量a与b,如果a=λb(λ∈R),a与b有什么位置关系 反过来,a与b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)
探究二:共面定理
问题2:任意两个向量是共面的,若有三个向量,在什么条件下可以共面
思考1:已知空间中任意一点O与两点A,B,满足向量关系式=x+y(x+y=1)的点P与点A,B是否共面
思考2:已知空间中任意一点O与不共线三点A,B,C,满足向量关系式=x+y+z(x+y+z=1)的点P与点A,B,C是否共面
练习1　在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
A.=3-2
B.=0
C.=0
D.=-OB+
练习2　已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,+β,则β=　　　　　.
核心素养专练
1.有下列说法:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P,M,A,B共面;
④若P,M,A,B共面,则=x+y.
其中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③④ B.①③④
C.①③ D.②④
2.已知A,B,C,D为空间中任意四个点,则等于(　　)
A. B. C. D.
3.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列互为相反向量的是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　)
①;
②;
③;
④.
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式:
(1);(2).
参考答案
自主预习
3.长度相等且方向相同的向量
4.长度相等方向相反的向量互为相反向量
5.长度(模)为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的
6.长度(模)等于1个单位长度的向量称为单位向量
7.存在实数λ,使a=λb
8.p=xa+yb
课堂探究
一、答案不唯一.
二、
【小试牛刀】
例1　(1)B　解析 零向量与它的相反向量相等,①为假命题;由相等向量的定义知,②为真命题;两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③为假命题;a≠b,可能两个向量模相等而方向不同,④为假命题;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,⑤为假命题.故选B.
(2)B　解析 若|a|=|b|,则它们的方向相同时是相等向量,方向相反时是相反向量,还有可能方向既不相同,也不相反,A错误;若a,b为相反向量,则它们的和为零向量,B正确;零向量的方向是任意的,C错误;两个单位向量只是模都等于1个单位长度,方向不一定相同,D错误.故选B.
(3)
跟踪训练　1.D　解析 由条件可知点O为正方体的中心,∵=-=-,∴=-(),∴A错误;
∵,∴是两个相等的向量,∴B错误;
∵=-,
∴=-(),∴C错误;
由条件可得=-(),
∴=-(),
∴D正确.故选D.
2.B　解析 有向线段可以表示向量,但不是向量,故①为假命题;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量的方向相同,模也相等,则,故②为真命题;
③显然为真命题;
向量的平行不具有传递性,比如当n为零向量时,零向量与任何向量都平行,则m,n不一定平行,④为假命题,故选B.
三、
例1　(1)0;(2);(3)0;(4).
例2　(1);(2).
跟踪训练　(1);(2).
四、
问题1:a∥b,当a与b平行时,a=λb(λ∈R).
问题2:若三个向量中的一个可以被另外两个线性表示,即向量p,a,b,存在唯一的有序数对(x,y)使得p=xa+yb时,这三个向量共面.
思考1:提示:共面,证明如下.
∵=x+y(x+y=1),
∴=x+(1-x),∴=x(),
∴=x,∴P,A,B三点共面.
思考2:提示:共面,证明如下.
∵=x+y+z(x+y+z=1),
∴=(1-y-z)+y+z,
∴=y()+z(),
∴=y+z,∴P,A,B,C四点共面.
练习1　C　练习2　
核心素养专练
1.C　解析 若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,则满足共面定理,p与a,b共面,①正确;同理③正确;若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故②错误;同理④错误,故选C.
2.D　解析 .
3.ACD　解析 如图,对于选项A,=-=-,则是一对相反向量,A符合题意.
对于选项B,,而,则不是相反向量,B不符合题意.
对于选项C,,而是相反向量,故C符合题意.
对于选项D,=-=-=-=-,则是相反向量,D符合题意.故选ACD.
4.C　解析 ,①不符合题意;
,②不符合题意;
,③符合题意;
,④符合题意.故选C.
5.解 (1);(2).

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