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第4章 一元二次方程
4.5一元二次方程根的判别式
情 境 导 入
4.5一元二次方程根的判别式
你会解方程x2+2x+5=0吗？试一试.
方法一：
因为22-4×1×5＜0，所以无法用公式法解这个方程.
方法二：
配方，得(x+1)2=-4.
因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根.
新 课 探 究
4.5一元二次方程根的判别式
由4.3节我们已经知道，当b2-4ac≥0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0 可以利用求根公式
x=
求出它的根.
你发现当b2-4ac＞0与b2-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？
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情境导入
课堂小结
一元二次方程 ax2+bx+c=0 ①
求根公式 x= .
(1) 当b2-4ac＞0时,由于 是正数，-是负数，所以是两个不相等的实数根，因此方程①有两个不相等的实数根：
x1= , x2= .
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课堂小结
合作探究
一元二次方程 ax2+bx+c=0 ①
求根公式 x= .
(2) 如果b2-4ac=0,那么 =0，这时方程①有两个相等的实根：
x1= x2=-.
如果b2-4ac＜0，方程①的根具有什么特征？
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情境导入
课堂小结
一元二次方程 ax2+bx+c=0 ①
求根公式 x= .
(3) 如果b2-4ac＜0,将方程①配方后，得
(x+)2=.
方程的右边由于分母4a2＞0，所以 ＜0，
而(x+)2不可能是负数，这时方程①没有实根.
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课堂小结
由前面的探究可知，一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式b2-4ac的值的符号，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.
通常用Δ表示，即Δ= b2-4ac.
“Δ”是希腊字母，读作“delta”.
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课堂小结
一元二次方程
ax2+bx+c=0
上述命题的逆命题也成立，小组合作说出它的逆命题.
当Δ＞0时有两个不相等的实根；
当Δ=0时有两个相等的实根；
当Δ＜0时没有实根.
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课堂小结
逆命题：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0
有两个不相等的实根，那么Δ＞0；
如果有两个相等的实根，那么Δ=0；
如果没有实根，那么Δ＜0.
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课堂小结
【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x2+x-4=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(t2+1)-6t=0.
解：(1)这里a=2,b=1,c=-4, ∵ Δ=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33＞0, ∴方程有两个不相等的实根.
(2)把原方程化为一般形式，得
4y2-12y+9=0.
这里a=4,b=-12,c=9.
∵ Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0，
∴原方程有两个相等的实根.
(3)把原方程化为一般形式，得
5t2-6t+5=0.
这里a=5,b=-6,c=5.
∵ Δ=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64 ＜0，
∴原方程没有实根.
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课堂小结
【例2】已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根.
(1) 求k的取值范围；(2)选择一个k的正整数值，并求出方程的根.
解:(1) ∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根，∴Δ=(-3)2-4k＞0,即9-4k＞0, 解不等式，得k＜.
∵ kx2-3x+1=0是一元二次方程，∴k≠0,故k的取值范围是k＜且k≠0.
(2)取不等式k＜的一个正整数解k=2,则方程为2x2-3x+1=0.
解这个方程，得x1=1, x2=.
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课堂小结
(1) 运用根的判别式时，必须将方程化为一般形式.
(2) 方程有两个实根时，Δ≥0.
(3) 无法确定方程是否为一元二次方程时，应分类讨论.
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课堂小结
挑战自我
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两根，求k的值.
解:(1)当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实根，所以Δ=0，即(-12)2-4k=0,解得k=36.
此时方程为x2-12x+36=0,解得x1=x2=6.长为3,6,6的线段能构成等腰三角形.
(2)当3为等腰三角形的腰长时，则x=3是方程的根，把x=3代入方程，得9-36+k=0,所以k=27,所以方程为x2-12x+27=0,解得x1=3,x2=9.
因为3+3＜9，所以长为3,3,9的线段不能构成三角形，所以k=27不符合要求. 综上，k的值为36.
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课堂小结
1.下列一元二次方程中有两个相等实根的是（ ）
A.2x2-6x+1=0
B.3x2-x-5=0
C.x2+x=0
D.x2-4x+4=0
【解析】选项D中，Δ=0，所以有两个相等实数根.
D
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课堂小结
2.a,b,c为常数，且(a-c)2＞a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实根
B.有两个不相等的实根
C.无实根
D.有一根为0
【解析】因为(a-c)2＞a2+c2,
所以a2-2ac+c2 ＞a2+c2,
所以-2ac ＞0,所以Δ=b2-4ac＞0,
所以方程有两个不相等的实根.
B
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课堂小结
3.已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
解： (1)Δ=4m2-4(m-2)(m+3)＞0且m-2≠0，
解得m＜6且m≠2.
(2) m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，
∴a=3，b=10，c=8，Δ=b2-4ac=102-4×3×8=4＞0.
所以x==. ∴x1=-，x2=-2．
课 堂 小 结
4.5一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
根的判别式
Δ =b2-4ac
与根的关系
应用
Δ＞0 方程有两个不相等的实根
Δ=0 方程有两个相等的实根
Δ＜0 方程没有实根
不解方程确定方程根的情况
由根的情况确定字母的值或范围
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