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专项突破提升
巧解有理数及整式
类型一　巧解有理数加法
1．(4分)计算(－100)＋3＋100＋，比较合适的解法是(　A　)
A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合
B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合
C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合
D．把第一、二、四这三个加数结合
2．(8分)在下列各题横线上填上恰当的数，使等式成立．
(1)＋6＋＝＋____＋__6__＝__0__；
(2)(－12.7)＋(－8)＋(－7.3)＝(－12.7)＋__(－7.3)__＋__(－8)__＝__－28__；
(3)－3.6＋4＋(－6.4)＝[(－3.6)＋__(－6.4)__]＋4＝__－6__．
3．(8分)计算：
(1)4.7＋(－0.8)＋5.3＋(－8.2)；
(2).
解：(1)原式＝4.7－0.8＋5.3－8.2
＝(4.7＋5.3)－(0.8＋8.2)
＝10－9
＝1.
(2)原式＝－
＝－
＝.
类型二　巧解绝对值算式
4．(4分)计算的结果为(　A　)
A．0 B．
C．2 D．
5．(4分)＝____．
6．(12分)已知＝1，求÷的值．
解：因为＝±1，＝±1，＝±1，且＝1，
所以a，b，c三个数中一定有两个正数，一个负数．
所以abc＜0，所以＝－1.
因为＝，a2b2c2＞0，
所以＝1.
所以原式＝(－1)2 025÷1＝－1．
类型三　巧解有理数的加减混合运算
7．(12分)计算：
(1)(－2.4)＋(－3.7)＋(－4.6)＋5.7；
(2)＋(＋8.5)－；
(3)－(－2.75)；
(4)38＋27－49－996＋2 006＋28.
解：(1)原式＝(－2.4)＋(－4.6)＋(－3.7)＋5.7
＝[(－2.4)＋(－4.6)]＋[(－3.7)＋5.7]
＝－7＋2
＝－5.
(2)原式＝＋(＋8.5)＋
＝
＝0＋9－
＝8.
(3)原式＝－1－2＋2.75
＝0.4－1.5－2.25＋2.75
＝0.4－1.5＋(2.75－2.25)
＝0.4－1.5＋0.5
＝0.4－(1.5－0.5)
＝0.4－1
＝－0.6.
(4)原式＝(40－2)＋(30－3)＋(－50＋1)＋(－1 000＋4)＋(2 000＋6)＋(30－2)
＝(40＋30－50－1 000＋2 000＋30)＋(－2－3＋1＋4＋6－2)
＝1 050＋4
＝1 054.
8．(8分)计算：2＋2－4＋6－8＋10－12＋…＋98－100．
解：原式＝2＋(2－4)＋(6－8)＋(10－12)＋…＋(98－100)＝2＋25×(－2)＝－48．
类型四　巧解有理数的乘法、乘方
9．(4分)×(－6)＝×[5×(－6)]应用了(　B　)
A．乘法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律和结合律
D．乘法对加法的分配律
10．(4分)32 024×＝__－__．
11．(12分)利用运算律有时能进行简便计算．
例1：98×12＝(100－2)×12＝1 200－24＝1 176；
例2：－16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233．
请你参照例题的解法，用运算律进行简便计算：
(1)999×(－15)；
(2)99×118＋99×－99×18．
解：(1)999×(－15)
＝(1 000－1)×(－15)
＝1 000×(－15)＋15
＝－15 000＋15
＝－14 985.
(2)99×118＋99×－99×18
＝99×
＝99×100
＝9 900.
类型五　巧解代数式
12．(4分)如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m是最大的负整数，那么2 024(a＋b)＋3|m|－3xy的值是(　C　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
13．(4分)若a，b互为相反数，且ab≠0，c，d互为倒数，m是数轴上到原点的距离为2的点表示的数，则(a＋b)2＋－3cd＋m2的值为__0__．
14．(10分)已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，x的绝对值为3，求x2＋(ab＋c＋d)x＋(－ab)2 025＋(c＋d)2 024的值．
解：根据题意，得ab＝1，c＋d＝0，x＝3或－3.
当x＝3时，
原式＝9＋(1＋0)×3＋(－1)2 025＋0＝11；
当x＝－3时，
原式＝9＋(1＋0)×(－3)＋(－1)2 025＋0＝5．
类型六　巧解分数运算
15．(12分)观察下列等式，回答问题．
①＝；
②＝；
③＝；
……
(1)通过观察上面的三个算式，请写出一个类似的算式：__＝(答案不唯一)__；
(2)通过观察，计算的值为____；(直接写出结果)
(3)探究上述的运算规律，试计算＋…＋的值．
解：(3)＋…＋
＝
＝
＝.
16．(12分)阅读第①小题的计算方法，再类比计算第②小题．
(1)①－5＋17.
解：原式＝
＋
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋＋
＝0＋＝－1.
上面这种方法叫作拆项法．
②计算：
＋4 047.
(2)①1－＝，1－＝，1－＝……
上面这种方法叫作裂项法．
②计算：
×…×.
解：(1)②＋4 047
＝ ＋
＋＋4 047
＝[(－2 024)＋(－2 024)＋(－1)＋4 047]＋
＝－2＋(－2)
＝－4.
(2)②×…×
＝×…×
＝
＝.
类型七　巧解化简求值
17．(4分)已知a2＋b2＝6，ab＝－2，则代数式(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)＝(　A　)
A．－34 B．－14
C．－2 D．2
18．(4分)“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m＋n＝－2，mn＝－4，则2(mn－3m)－3(2n－mn)的值为__－8__．
19．(12分)山山在学习多项式运算时，将“针对式子3m2n－n－2(m2n＋n)＋3n进行化简求值”题目中的已知条件“m＝－1，n＝1”抄成了“m＝1，n＝1”，但他的计算结果与小伙伴西西算的正确答案一样，这是为什么呢？请说明理由．
解：3m2n－n－2(m2n＋n)＋3n＝3m2n－n－2m2n－2n＋3n＝m2n.
因为(－1)2＝12，所以m的符号对代数式3m2n－n－2(m2n＋n)＋3n的值并无影响．
故当“m＝－1，n＝1”或“m＝1，n＝1”时，代数式的值都是1．
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