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创新考向集训
创新考向一　规律探究
1．(4分)用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为(　C　)
A．32 B． 34
C． 37 D． 41
2．(4分)将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，2 024应在(　C　)
A．A处 B． B处
C． C处 D． D处
解析：设第n个A位置的数为 An，第n个B位置的数为 Bn，第n个C位置的数为 Cn，第n个D位置的数为Dn，
观察，发现规律：A1＝2，B1＝3，C1＝4，D1＝5，A2＝6，B2＝7，C2＝8，D2＝9，A3＝10，…，
所以An＝4n－2，Bn＝4n－1，Cn＝4n，Dn＝4n＋1(n为自然数)．
因为2 024＝506×4，所以2 024应在C处．
3．(4分)观察下列单项式：，…，请写出第8个单项式：__－2_187x8__．
解析：因为n为偶数时，单项式为负数；n为奇数时，单项式为正数，x的指数为n，(－3)的指数为n－1，
所以依题意得第8个式子是(－3)7x8＝.
故答案为－2 187x8.
创新考向二　传统文化
4．(4分)中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图所示的方式摆放，则从左边看该立体图形得到的形状图为(　B　)
5．(4分)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，如表所示，后人也将此表称为“杨辉三角”．
则(a＋b)7展开式中所有项的系数和是(　A　)
A．128 B．256
C．512 D．1 024
创新考向三　新定义
6．(8分)我们定义一种新运算：a※b＝a－b＋ab．
(1)求3※(－2)的值；
(2)求(－5)※[1※(－2)]的值．
解：(1)原式＝3－(－2)＋3×(－2)＝3＋2－6＝－1.
(2)1※(－2)＝1－(－2)＋1×(－2)＝1＋2－2＝1，则原式＝(－5)※1＝－5－1＋(－5)×1＝－6－5＝－11.
7．(10分)有理数a，b，c在乘法运算中，满足①交换律：ab＝ba；②乘法对加法的分配律：c(a＋b)＝ca＋cb.现对a b这种新运算作如下定义，规定：a b＝ab＋a＋b．
(1)计算：(－2) 3和3 (－2)的值，想一想：这种运算是否满足交换律？
(2)举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？
解：(1)根据题中的新定义，得(－2) 3＝－2×3－2＋3＝－5，3 (－2)＝3×(－2)＋3－2＝－5.这种运算满足交换律．
(2)因为3 (－2＋1)＝3 (－1)＝3×(－1)＋3－1＝－1，3 (－2)＋3 1＝3×(－2)＋3－2＋3×1＋3＋1＝2，－1≠2，所以这种运算不满足对加法的分配律．
创新考向四　阅读感悟
8．(12分)给出定义如下：我们称使等式a－b＝ab＋1成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为(a，b)．
如：3－＝3×＋1，5－＝5×＋1，所以数对，都是“相伴有理数对”．
(1)在数对(－2，3)，(1，－1)中，是“相伴有理数对”的是__(－2，3)__；
(2) 若(a，b)是“相伴有理数对”，求3ab－a＋(a＋b－5ab)＋1的值．
解：(1)当a＝－2，b＝3时，
a－b＝－2－3＝－5，
ab＋1＝－2×3＋1＝－5，
则a－b＝ab＋1，
所以(－2，3)是“相伴有理数对”．
当a＝1，b＝－1时，
a－b＝1－(－1)＝1＋1＝2，
ab＋1＝1×(－1)＋1＝0，
则a－b≠ab＋1，
所以(1，－1)不是“相伴有理数对”．
所以在数对(－2，3)，(1，－1)中，是“相伴有理数对”的是 (－2，3)．
故答案为(－2，3)．
(2)3ab－a＋(a＋b－5ab)＋1
＝3ab－a＋a＋b－ab＋1
＝ab－a＋b＋1
＝ab－(a－b)＋1.
因为a－b＝ab＋1，
所以原式＝ab－(ab＋1)＋1
＝ab－ab－＋1
＝.
9．(10分)阅读材料：计算÷.
分析：利用通分计算的过程很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
÷
＝×30
＝×30－×30＋×30－×30
＝10．
故原式＝．
请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：
÷.
解：原式的倒数是
÷
＝×48
＝4－9＋10＋32
＝37.
故原式＝.
10．(12分)[阅读材料]用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除．
方法：三位数 割掉末位数字c得两位数 ，再用 减去c的2倍所得的差为 －2c.若 －2c是7的倍数，则 能被7整除．
举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，36－4×2＝28.因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
[类比解决](1)尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
[推理验证]已知三位数 .
(2)请用含a，b，c的代数式表示 和 －2c.
(3)现在对材料中的判断方法“若 －2c是7的倍数，则 能被7整除”进行验证，下面是思路分析．
分析：要证 能被7整除，需把 表示成7的倍数．
已知 ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c.①
因为 －2c是7的倍数，可设 －2c＝7k(k为整数)．②
只需把②式变形代入①式即可验证．
请根据上述分析写出验证过程．
解：(1)能．理由如下：
对于三位数455，割掉末位数字5得45，45－5×2＝35.
因为35是7的倍数，
所以455能被7整除．
(2)＝100a＋10b＋c，
－2c＝10a＋b－2c.
(3)设 －2c＝10a＋b－2c＝7k，
所以10a＋b＝7k＋2c.
所以 ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c＝10(7k＋2c)＋c＝70k＋21c＝7(10k＋3c)．
所以 能被7整除．
创新考向五　方案设计
11．(10分)某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．店庆期间，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买10台微波炉，x台电磁炉(x＞10)．
(1)若该客户按方案一购买，需付款__(200x＋6_000)__元；若该客户按方案二购买，需付款__(180x＋7_200)__元．(均用含x的代数式表示)
(2)若x＝30，请通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
(3)当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出需付款多少元．
解：(2)当x＝30时，方案一：200×30＋6 000＝12 000(元)；
方案二：180×30＋7 200＝12 600(元)．
因为12 000＜12 600，
所以按方案一购买较为合算．
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，共需付款10×800＋200×20×90%＝11 600(元).
12．(10分)王叔叔10月的工资为8 000元，超过5 000元的部分需要缴3%的个人所得税．
(1)王叔叔10月税后的工资是多少元？
(2)王叔叔将该月税后工资的一半存入银行，然后打算用余额购买一部定价为3 000元的某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，若该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？
(3)某家超市正在开展促销活动，促销方案如下：
商品原价 优惠方案
不超过500元 不打折
超过500元但不超过800元的部分 打八折
超过800元的部分 打七五折
若王叔叔在此次促销活动中付款980元，问：他购买的商品原价是多少？
解： (1)5 000＋(8 000－5 000)×(1－3%)＝7 910(元)．
答：王叔叔10月税后的工资是7 910元．
(2)7 910×＝3 955(元)，
3 955－3 000×80%＝1 555(元)．
答：买完手机后还剩下1 555元．
(3)超过500元但不超过800元部分的商品折后价格为(800－500)×0.8＝240(元)，
故王叔叔购物超过800元部分的商品折后价格为980－500－240＝240(元)，
王叔叔购物超过800元部分的商品原价为240÷0.75＝320(元)，
故王叔叔购买的商品原价为800＋320＝1 120(元).
答：他购买的商品原价是1 120元．
创新考向六　探究开放
13．(6分)代数式10x＋5y可以表示什么？请举例说明．
解：10x＋5y可以表示门票的总费用，如：某景点的门票价格为成人票每张10元，学生票每张5元，一个旅游团有成人x人，学生y人，则该旅游团应付门票费用为(10x＋5y)元；
10x＋5y还可以表示购物的总费用，如：钢笔每支10元，笔记本每本5元，则购买x支钢笔和y本笔记本的费用为(10x＋5y)元．
(答案不唯一)
14．(10分)至少写出两个只含有字母x，y的多项式，且满足下列条件：
(1)是五次三项式；
(2)每一项的系数均为1或－1；
(3)每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母；
(4)不含常数项．
解：x3y2－x2y2＋xy2；－x2y3－xy－xy2．(答案不唯一)
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