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专项突破提升(三)　实数的综合运用
(时间：90分钟　满分：130分)
类型一　实数与转化思想
1．(12分)如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为16时，y的值为　　．
(2)是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一．如果不唯一，请写出其中的两个．
解：(2)存在．因为0，1的算术平方根是0，1，是有理数，所以当x的值为0，1时，始终输不出y值．
(3)x的值不唯一．如x＝3或x＝9.
2．(12分)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形(图1、图2)．
(1)拼成的正方形的面积是　5　，边长是　　．
(2)如图3，你能在3×3的正方形方格中，连接4个点组成面积为5的正方形吗？若能，请画出示意图．
(3)如图4，你能把这10个小正方形组成的图形，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，请画出示意图，并写出正方形的边长．
图1　　　 图2
图3　　　　图4
解：(2)能．如图3.
(3)能．如图4，正方形的边长为.
类型二　实数与数形结合思想
3．(4分)实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a－b|－的结果是(　C　)
A．2a－b　 B．b
C．－b D．－2a＋b
解析：由数轴可得a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
所以原式＝a－b－|a|＝a－b－a
＝－b.
4．(10分)已知有理数a和b的对应点在数轴上如图所示．
(1)比较大小：a，－a，b，－b，用“＜”连接；
(2)化简：|a＋b|－|a－b|－2|b－1|.
解：(1)根据数轴上点的特点，得
a＜－b＜b＜－a.
(2)根据数轴给出的数据，得
a＋b＜0，a－b＜0，b－1＜0，
则|a＋b|－|a－b|－2|b－1|＝－a－b－(b－a)－2(1－b)＝－a－b－b＋a－2＋2b＝－2.
类型三　实数与分类讨论思想
5．(8分)已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为4.若点A在数轴上表示的数是3，求点B表示的数．
解：设点B表示的数为x.
由题意，得|x－3|＝4，
则x－3＝4或x－3＝－4，
所以x＝7或x＝－.
所以点B表示的数为7或－.
类型四　实数的大小比较
6．(10分)比较大小：
(1)比较与0.5的大小；
(2)比较3，4，的大小．
解：(1)因为＜＜，
所以2＜＜3.
所以－1＞1.
所以＞0.5.
(2)易知＝4.
因为，
所以3＜＜4.
类型五　实数的化简求值
7．(8分)若6－的整数部分为x，小数部分为y，求(2x＋)y的值．
解：因为9＜13＜16，
所以3＜＜4.
所以2＜6－＜3.
所以x＝2，y＝4－.
所以(2x＋)y
＝(4＋)(4－)
＝42－()2
＝16－13
＝3.
8．(10分)已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是的整数部分．求：
(1)a，b，c的值；
(2)3a－b＋c的平方根．
解：(1)因为5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，
所以5a＋2＝27，3a＋b－1＝16.
所以a＝5，b＝2.
因为3＜＜4，c是的整数部分，
所以c＝3.
(2)易知3a－b＋c＝15－2＋3＝16，16的平方根是±4，即3a－b＋c的平方根是±4.
类型六　实数的实际应用
9．(8分)已知电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量(单位：J)，I为电流(单位：A)，R为导线电阻(单位：Ω)，t为通电时间(单位：s)．若导线电阻为5 Ω，通电2 s导线产生40 J的热量，求电流的值．
解：由题意，得R＝5 Ω，t＝2 s，Q＝40 J，
所以40＝I2×5×2.
所以I2＝4.
所以I＝±2(负值不符合实际情况，舍去)．
所以电流的值是2 A．
10．(8分)交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是v2＝256(df＋1)，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦系数，f＝1.25.在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得d＝19.2 m，求肇事汽车的速度大约是多少．
解：将d＝19.2，f＝1.25代入v2＝256(df＋1)，得v2＝256×(19.2×1.25＋1)＝6 400，
所以v＝＝80.
所以肇事汽车的速度大约是80 km/h.
11．(8分)某市决定在一块面积为1 100 m2的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540 m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1 m宽的空地．请通过计算说明这块空地能否成功建一个符合规定的足球场．
解：设足球场的宽为x m，则长为x m.
由题意，得x2＝540，
解得x＝18或x＝－18(舍去)．
则x＝×18＝30，
即足球场的长为30 m，宽为18 m.
因为正方形空地的面积为1 100 m2，
所以正方形的边长为 m.
因为332＝1 089，342＝1 156，
所以33＜＜34.
因为30＋2＝32＜33，
所以这块空地可以建一个符合规定的足球场．
12．(10分)小李同学想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为384 cm2的长方形纸片，使它的长、宽之比为3∶2.他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用这块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)这块长方形纸片的长和宽分别是多少？
(2)你同意小于同学的说法吗？请说明理由．
解：(1)设长方形纸片的长为3x(x＞0) cm，则宽为2x cm.
由题意，得3x·2x＝384，
解得x＝8或x＝－8(舍去)．
则3x＝3×8＝24，2x＝2×8＝16.
所以这块长方形纸片的长是24 cm，宽是16 cm.
(2)不同意小于同学的说法．理由如下：
因为由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20 cm.
因为24＞20，
即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，所以不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
类型七　实数与规律探究
13．(12分)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
＝＝3；
＝＝4；
＝＝5；
＝＝6；
……
(1)观察算式规律，计算：＝　7　，＝　21　；
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：　＝＝n＋2　；
(3)计算：＋…＋.
解：(1)＝＝7，
＝＝21.
故答案为：7；21.
(3)＋…＋
＝3－4＋5－6＋…＋2 023
＝(－1)×1 010＋2 023
＝－1 010＋2 023
＝1 013.
14．(10分)对于非负实数a，我们规定：用符号[]表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数，例如，[]＝3，[]＝3.
(1)仿照以上方法计算：[]＝　2　；[]＝　5　．
(2)若[]＝1，写出满足题意的x的一个整数值：　2(答案不唯一)　．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如，对10连续求根整数2次，[]＝3→[]＝1，这时候结果为1.
(3)对100连续求根整数，　3　次之后结果为1.
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的数是　255　．
解：(3)[]＝10，[]＝3，[]＝1.
故答案为：3.
(4)因为[]＝15，[]＝3，[]＝1，所以对255需进行3次操作后变为1.
因为[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，所以对256需进行4次操作后变为1.
所以只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的数是255.
故答案为：255.
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