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专项突破提升(四)　一次函数的性质及应用
(时间：90分钟　满分：136分)
类型一　一次函数与图象信息
1．(12分)某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1 h到达某活动中心参加实践活动．上午11：00他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在中午12：00前回到家．他即刻按照来活动中心时的路线，以5 km/h的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20 km处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x h后，到达离家y km的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．
(1)活动中心与小宇家相距　22　km，小宇在活动中心活动的时间为　2　h，他从活动中心返回家时，步行用了　0.4　h；
(2)求线段BC所表示的y(km)与x(h)之间的关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇能否在中午12：00前回到家，并说明理由．
解：(1)由题图知，活动中心与小宇家相距22 km，
小宇在活动中心活动的时间为3－1＝2(h)，
小宇从活动中心返回家时，步行所用时间为(22－20)÷5＝0.4(h)．
故答案为：22；2；0.4.
(2)根据题意，得y＝22－5(x－3)＝－5x＋37.
(3)能．理由如下：
因为爸爸从家开车接上小宇，立即保持原来的车速原路返回，
所以小宇从活动中心返回家所用时间为
0．4＋0.4＝0.8(h)．
因为0.8<1，
所以小宇能在中午12：00前回到家．
类型二　一次函数表达式与图象的性质
2．(12分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)若当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，请直接写出m的取值范围．
解：(1)因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，
所以k＝1.
将点(1，2)代入y＝x＋b，得1＋b＝2，
解得b＝1.
所以一次函数的表达式为y＝x＋1.
(2)把点(1，2)代入y＝mx，得m＝2.
因为当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x＋1的值，所以结合如图的图象可得m≥2.
类型三　一次函数与面积运算
3．(12分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角尺ABC放在第三象限，其中B，C两点在两坐标轴上，点C的坐标为(0，－4)，直角顶点B的坐标为(－1，0)，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，C，交x轴于点D.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：(1)如图，作AE⊥x轴，垂足为点E.
易知∠ABC＝90°，BA＝BC，BO＝1，OC＝4，所以∠ABE＋∠CBO＝90°.
在Rt△AEB中，因为∠ABE＋∠EAB＝90°，
所以∠CBO＝∠EAB.
在△AEB和△BOC中，
所以△AEB≌△BOC(AAS)．
所以AE＝BO＝1，BE＝OC＝4.
所以OE＝OB＋BE＝1＋4＝5.
所以点A的坐标为(－5，－1)．
(2)把点A(－5，－1)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得－5k＋b＝－1，b＝－4.
将b＝－4代入－5k＋b＝－1，得－5k－4＝－1，解得k＝－.
所以一次函数的表达式为y＝－x－4.
所以当y＝0时，x＝－.
所以点D的坐标为.
所以直线AC与两坐标轴围成的三角形的面积为OD·OC＝×4＝.
4．(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，C，与直线OA交于点A．已知点A的坐标为(－3，5)，OC＝4.
(1)分别求出直线AB，AO的表达式；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)设直线AO的表达式为y＝kx(k≠0)．
将点A(－3，5)代入y＝kx，得5＝－3k，
解得k＝－.
所以直线AO的表达式为y＝－x.
因为OC＝4，点C在y轴正半轴，
所以点C的坐标为(0，4)．
设直线AB的表达式为y＝mx＋n(m≠0)．
将点A(－3，5)，C(0，4)代入y＝mx＋n，得－3m＋n＝5，n＝4.
把n＝4代入－3m＋n＝5，解得m＝－.
所以直线AB的表达式为y＝－x＋4.
(2)当y＝0时，即－x＋4＝0，
解得x＝12.
所以OB＝12.
如图，过点A作AD⊥x轴于点D.
因为点A的坐标为(－3，5)，
所以AD＝5.
所以S△AOB＝OB·AD＝×12×5＝30.
类型四　一次函数与取值范围界定
5．(12分)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x＋b的图象与y轴交于点A(0，2)，与x轴交于点B.
(1)求b的值；
(2)若M是直线AB上的一个动点，将点M向下平移4个单位长度得到点N.若线段MN与x轴有一个公共点，设点M的横坐标为m，求m的取值范围．
解：(1)因为一次函数y＝x＋b的图象与y轴交于点A(0，2)，
所以b＝2.
(2)由(1)知一次函数的表达式为y＝x＋2.
因为M是直线AB上一个动点，
所以设点M的坐标为(m，m＋2)．
根据平移，得点N的坐标为(m，m－2)．
当点M在x轴上时，m＋2＝0，
解得m＝－2.
当点N在x轴上时，m－2＝0，
解得m＝2.
所以MN与x轴有一个公共点时，m的取值范围是－2≤m≤2.
类型五　一次函数与几何变换
6．(12分)如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4.
(1)求AC所在直线的函数表达式；
(2)求点E的坐标．
解：(1)因为OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，CB＝8，AB＝4.
所以点A(8，0)，C(0，4)．
设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b.
把点A(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b，得8k＋b＝0，b＝4.
将b＝4代入8k＋b＝0，得8k＋4＝0，解得k＝－.
所以直线AC的函数表达式为y＝－x＋4.
(2)因为纸片OABC是长方形，
所以BC∥OA．
所以∠BCA＝∠CAO.
因为∠BCA＝∠ACD，
所以∠ACD＝∠CAO.
所以CE＝AE.
设CE＝AE＝x，则OE＝8－x.
在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2＋OE2＝CE2，即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.
则OE＝8－5＝3，
所以点E的坐标为(3，0)．
类型六　一次函数与最短距离
7．(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋8的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，使AC＝BC，连接BC.
(1)求点C的坐标和直线BC的函数表达式；
(2)在线段AB上取一点D，若点D的横坐标为2，请在x轴上找一点P，使得PD＋PC的值最小，并求出此时点P的坐标．
解：(1)当x＝0时，y＝－2x＋8＝8，
所以点A的坐标为(0，8)．
当y＝0时，即－2x＋8＝0，解得x＝4.
所以点B的坐标为(4，0)．
设点C的坐标为(0，t)，
则OC＝t，AC＝BC＝8－t.
在Rt△OBC中，根据勾股定理，得
42＋t2＝(8－t)2，解得t＝3.
所以点C的坐标为(0，3)．
设直线BC的函数表达式为y＝mx＋n.
把点B(4，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得4m＋n＝0，n＝3.
将n＝3代入4m＋n＝0，得4m＋3＝0，
解得m＝－.
所以直线BC的函数表达式为y＝－x＋3.
(2)如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接DC′交x轴于点P.
因为PC＝PC′，
所以PC＋PD＝PC′＋PD＝DC′.
所以此时PD＋PC的值最小．
当x＝2时，y＝－2x＋8＝4，
所以点D的坐标为(2，4)．
因为点C′与点C(0，3)关于x轴对称，
所以点C′的坐标为(0，－3)．
设直线DC′的函数表达式为y＝kx＋b.
把点C′(0，－3)，D(2，4)分别代入y＝kx＋b，得b＝－3，2k＋b＝4.
将b＝－3代入2k＋b＝4，
得2k－3＝4，
解得k＝.
所以直线DC′的函数表达式为y＝x－3.
当y＝0时，x－3＝0，
解得x＝.
所以点P的坐标为.
类型七　一次函数与图形存在性问题
8．(14分)已知y＋2与x－1成正比，当x＝2时，y＝0.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图象；
(3)设上述函数图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，点C在x轴上，直接写出以AB为腰的△ABC为等腰三角形时，点C的坐标．
解：(1)因为y＋2与x－1成正比，
所以设y＋2＝k(x－1)．
因为当x＝2时，y＝0，
所以2＝k(2－1)，解得k＝2.
所以y与x之间的关系式为y＋2＝2(x－1)，
即y与x之间的关系式为y＝2x－4.
(2)y与x之间的函数图象如图中直线l所示．
(3)在y＝2x－4中，令x＝0，则y＝－4，令y＝0，则x＝2，
所以点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－4).
所以OA＝2，OB＝4.
所以AB＝＝.
当AC＝AB＝时，△ABC是等腰三角形，
所以OC＝－2(图中点C2位置)或OC＝2＋(图中点C3位置)．
所以点C(2－，0)或(2＋，0)．
当AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，
因为OB⊥AC，
所以OA＝OC＝2.
所以点C的坐标为(－2，0)(图中点C1位置)．
综上，点C的坐标为(2－，0)或(2＋，0)或(－2，0)．
类型八　一次函数与角度
9．(12分)如图，直线y＝kx＋b与直线y＝－x＋4相交于点A(2，2)，与y轴交于点B(0，－2)．
(1)求直线y＝kx＋b的函数表达式；
(2)若直线y＝－x＋4与y轴交于点D，点P在直线y＝－x＋4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
解：(1)把点B(0，－2)，A(2，2)分别代入y＝kx＋b，得b＝－2，2k＋b＝2.
将b＝－2代入2k＋b＝2，得2k－2＝2，
解得k＝2.
所以直线y＝kx＋b的函数表达式为y＝2x－2.
(2)①如图1，当点P在y轴右侧时．
图1
因为∠ABO＝∠POD，
所以OP∥AB.
因为直线AB的函数表达式为y＝2x－2，
所以直线OP的函数表达式为y＝2x.
令－x＋4＝2x，解得x＝.
把x＝代入y＝2x，得y＝.
所以点P的坐标为.
②如图2，当点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥y轴于点M，交OP于点N，设AB交x轴于点C，
图2
所以∠OMN＝∠BOC＝90°.
因为点A的坐标为(2，2)，
所以点M的坐标为(0，2)．
因为点B的坐标为(0，－2)，
所以OM＝BO＝2.
因为∠ABO＝∠POD，
所以△CBO≌△NOM(ASA)．
所以MN＝OC.
因为直线AB的函数表达式为y＝2x－2，
所以点C的坐标为(1，0)．
所以OC＝1.
所以MN＝1.
所以点N的坐标为(－1，2)．
设直线ON的函数表达式为y＝mx.
所以－m＝2，
解得m＝－2.
所以直线ON的函数表达式为y＝－2x.
令－x＋4＝－2x，
解得x＝－4.
把x＝－4代入y＝－2x，得y＝8.
所以点P的坐标为(－4，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－4，8)．
类型九　一次函数与方案确定
10．(12分)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，根据图象，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y甲、y乙与x之间的关系式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
解：(1)设y甲＝k1x.根据题意，得5k1＝100，解得k1＝20.
所以y甲＝20x.
设y乙＝k2x＋100.
根据题意，得20k2＋100＝300，解得k2＝10.
所以y乙＝10x＋100.
(2)当y甲＝y乙，即20x＝10x＋100时，
解得x＝10.
根据题中图象可知，①当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用相同；
③当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
11．(14分)某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费．
(1)分别写出两个印刷厂的收费y(元)与印刷数量x(份)之间的关系式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)如果旅行社要印刷2 400份宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？
(4)旅行社拟拿出2 000元用于印刷宣传材料，那么选择哪家印刷厂印刷的宣传材料多？多多少份？
解：(1)根据题意，得y甲＝0.2x＋500；
y乙＝0.4x.
(2)当x＝0时，y甲＝500，y乙＝0.
当x＝2 500时，y甲＝1 000，y乙＝1 000.
描点画出函数图象如图所示．
(3)选择乙印刷厂比较合算．理由如下：
当x＝2 400时，
甲印刷厂印刷费为0.2x＋500＝0.2×2 400＋500＝980(元)，
乙印刷厂印刷费为0.4x＝0.4×2 400＝960(元).
因为980＞960，
所以选择乙印刷厂比较合算．
(4)根据(1)中的式子，得
甲印刷厂：0.2x＋500＝2 000，解得x＝7 500.
乙印刷厂：0.4x＝2 000，解得x＝5 000.
因为7 500－5 000＝2 500(份)，
所以选择甲印刷厂印刷的宣传材料多，多2 500份．
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