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专题大招2 一元二次方程的特殊解法
大招1 十字相乘法
十字相乘法实际是因式分解法的一种.下面用例题 讲解怎么使用十字相乘法.将从左到右各项标为A=a ,B=3a,C=-4.
(1)将A 项进行拆解，就例题来说，A项的拆解过程比较简单，只要拆解为a·a；
(2)接下来拆解C项，此例题C项为—4，可拆解为—1×4、—2×2和—4×1这三种情况，碰到这种情况，至于要取哪种拆解结果，就要看接下来的计算结果，看哪种结果符合我们的拆解要求；
(3)这个步骤是十字相乘法的核心，十字相乘法这个名字的由来也是因为这个步骤，我们需要将在第1，第 2步骤的拆解结果进行十字相乘再相加，看计算结果哪个恰好等于 B 项，那么这个拆解结果就是我们想要的拆解情况.本例题我们所要的拆解情况就是A项为a·a,C项为-1×4.如图,
(4)将我们得到的数据带回到原方程中，这道题我们可以得到(a+4)(a-1)=0，由此即可得到方程的解.注意事项：十字相乘法熟练使用，对于数值比较小的题目，其速度优势会很明显，换句话说，当碰到数值很大的数据，并不建议使用这个方法，最好使用公式法.从考试中看，十字相乘法是解一元二次方程必要掌握方法，基本都会设置使用该方法的题目，所以很有必要掌握此种方法.
1.利用十字相乘法解方程：
(1)(2025·河南驻马店期末)
(2)(2025·广东梅州乐昌期末))
2.利用十字相乘法解方程：
(1)(2025·湖北咸宁赤壁期中
(2)(2025·海南琼中期中
大招2 换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，当某个代数式几次出现时，用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.
3.(2025·河南南阳南召期中)阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设
原式=y(y+2)+1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
问题：
(1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果 ；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式 进行因式分解；
(3)若( 求 y 的值.
4.(2025·山东济宁梁山期中)阅读下列材料：
解方程： 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 那么 于是原方程可变为
解这个方程得
当y=1时,
当y=5时,
所以原方程有四个根：
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.
(1)解方程( 时，若设 则原方程可转化为 ；
(2)若( 则 ;
(3)参照上面解题的思想方法解方程：
专题大招2 一元二次方程的特殊解法
1.(1)x -2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,解得
(2)x -2x-15=0,∴(x-5)(x+3)=0,
∴x-5=0或x+3=0,解得
2.(1)3x -5x-2=0,∴(x-2)(3x+1)=0,
∴x-2=0或3x+1=0,解得
(2)2x -7x+5=0,∴(2x-5)(x-1)=0,
∴2x-5=0,x-1=0,解得
3.(1)(x+1) [解析]由题知
(2)令 ，则原式=
(3)令 则由 得(m+1)(m-1)=63,解得m=±8.
因为 所以m=8,则
(2)4 [解析]设 则原方程可变为t(t-1)=12,解得t =4,t =-3(舍去)，
设 则 原方程变形为
∴y -4y+4=0,∴(y-2) =0,解得
去分母，得
解得
经检验 和 是上述分式方程的根，
∴原方程的解为

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