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2.1.1　两角和与差的余弦公式
课前预习
要点　两角和与差的余弦公式
名称 简单符号 公式 使用条件
两角差 的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝ ____________________
两角和 的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝ ____________________ α，β为任意角
状元随笔　公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意角α，β，都有cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　)
(2)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　)
(3)对任意角α，β，都有cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　)
(4)存在角α，β，使得cos (α＋β)＝cos α－cos β.(　　)
2．cos 105°＝(　　)
A． B．
C． D．
3．cos 45°·cos 15°－sin 45°·sin 15°等于(　　)
A． B．
C． D．
4．已知cos α＝，α∈，则cos ＝________．
题型探究
题型一　给角求值
例1　求值：
(1)cos 165°；
(2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 195°；
(3)cos (α＋45°)cos α＋sin (α＋45°)sin α；
(4)cos 15°＋sin 15°.
方法归纳
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1　(1)cos (45°－α)cos (15°＋α)－sin (45°－α)·sin (15°＋α)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°＝________．
题型二　给值求值
角度1　直接法求值
例2　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
角度2　拆角变换求值
例3　若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos ＝，求cos 的值．
方法归纳
将未知角拆分成已知角的和差，即将未知角用已知角表示出来，使之能直接代入已知条件．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，
＝(α－)－(－β)，α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，cos A＝且cos B＝，则cos C等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．
题型三　已知三角函数值求角
例4　已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，0<β<<α<，求α＋β.
方法归纳
(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
易错辨析　忽视角的取值范围致误
例5　已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α＋β)＝，求cos β.
解析：因为α为锐角，所以sin α＝.因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π.
又sin (α＋β)＝＜，所以0＜α＋β＜或＜α＋β＜π.
由cos α＝＜，得＜α＜，从而＜α＋β＜π，于是cos (α＋β)＝－，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝.
易错警示
易错原因 纠错心得
只考虑α，β为锐角，得0＜α＋β＜π.忽视角的隐含条件，导致结果出现了两解． 利用三角函数值求值时，不仅要注意有关角的范围，还要结合一些特殊角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，这样可以避免多解的情况．
课堂十分钟
1．cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°的值是(　　)
A． B．－ C． D．－
2．已知cos ＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　)
A． B． C． D．
3．已知α是锐角，sin α＝，则cos ＝________．
4．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且0＜β＜α＜，求β的值．
2．1　两角和与差的三角函数
2．1.1　两角和与差的余弦公式
新知初探·课前预习
要点
cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：cos 105°＝cos (60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝＝.
答案：C
3．解析：原式＝cos (45°＋15°)＝cos 60°＝.
答案：A
4．解析：因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝＝＝.
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°
＝－cos (45°－30°)＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－＝－.
(2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°
＝cos (75°＋15°)＝cos 90°＝0.
(3)cos (α＋45°)cos α＋sin (α＋45°)sin α
＝cos [(α＋45°)－α]
＝cos 45°＝.
(4)cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝cos (45°－α＋15°＋α)＝cos 60°＝.
(2) 解析：原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos (63°－33°)＝cos 30°＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：由sin α＝，α∈，
得cos α＝－＝－＝－，
又由cosβ＝－，β∈，得sin β＝－
＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝··＝－.
例3　解析：∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<<<，
又∵cos ＝，cos ＝，
∴sin ＝，sin ＝，
∴cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝
＝.
跟踪训练2　解析：(1)∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴C＝π－，又cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝，sin B＝，
∴cos C＝cos ＝－cos
＝－cos A cos B＋sin A sin B
＝··＝.
(2) 解析：因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos (α＋β)＝－，
得sin (α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－＝.
答案：(1)B　(2)见解析
例4　解析：∵0<β<<α<，
∴<2α－β<π，－<α－2β<，
∵cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，
∴sin (2α－β)＝，cos (α－2β)＝，
∴cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝＝，
又∵<α＋β<，
∴α＋β＝.
跟踪训练3　解析： ∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝＝.
又∵0<α<，0<β<，－<α－β<，
而sin α∴－<α－β<0，∴α－β＝－.
[课堂十分钟]
1．解析：原式＝cos (80°－35°)＝cos 45°＝.
答案：A
2．解析：因为θ∈，所以θ＋∈，
所以sin ＝ ＝.
所以cosθ＝cos []
＝cos cos ＋sin sin
＝＝.
答案：A
3．解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，
所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝＝.
答案：
4．解析：因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cos α＝，cos (α＋β)＝－，
得sin α＝，sin (α＋β)＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝.
所以β＝.

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