资源简介

2．1.2　两角和与差的正弦公式
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝ ______________________ α，β∈R
两角差 的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝ ____________________ α，β∈R
状元随笔　公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
公式逆用：sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)，
sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)，
cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)，
cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)
(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)
(3)存在α，β角，使得sin (α－β)＝sin α＋sin β.(　　)
(4) α，β，有sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β.(　　)
2．sin35°cos 25°＋cos 35°sin 25°的值等于(　　)
A． B．
C． D．
3．sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　给角求值
例1　(1)化简sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°，得(　　)
A． B．sin 20°
C．cos 20° D．
(2)的值是________．
方法归纳
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式．
跟踪训练1　(1)化简：sin (x＋27°)cos (18°－x)＋sin (63°－x)·sin (18°－x)＝________．
(2)求值：＝________．
题型二　给值求值
角度1　直接法求值
例2　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin (α＋β)的值．
方法归纳
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，一定注意已知角的范围．
角度2　拆角变换求值
例3　已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求：sin 2α、sin 2β.
跟踪训练2　(1)已知α，β均为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－， 则sin β＝(　　)
A．
B．或
C．
D．
(2)已知θ是第二象限角且cos θ＝－，则sin ＝________.
题型三　已知三角函数值求角
例4　已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．
方法归纳
(1)要求一个角，一般可以先求这个角的某种三角函数值，具体求哪种三角函数值，应根据所求角的范围确定．
(2)考虑角的拼凑，注意到β＝α－(α－β)，故sin β＝sin [α－(α－β)]，或cos β＝cos [α－(α－β)].
(3)本题还可以将cos (α－β)展开，结合同角三角函数的关系求解，但比较复杂．
跟踪训练3　已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β.
课堂十分钟
1．sin 105°的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin ＝sin cos cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos
D．cos ＝cos －cos
3．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知sin A＝，且A∈，则sin ＝________．
5．已知：α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求角α的大小．
温馨提示：请完成课时作业(十五)
2．1.2　两角和与差的正弦公式
新知初探·课前预习
要点
sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由题得sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°＝sin (35°＋25°)＝sin 60°＝.
答案：D
3．解析：∵cos 225°＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°，
因此，sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝.
答案：C
4．解析：因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.
(2) 解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：(1)A　(2)
跟踪训练1　
解析：(1)因为sin (63°－x)＝sin [90°－(27°＋x)]＝cos (27°＋x)，所以，
原式＝sin (x＋27°)cos (18°－x)＋cos (27°＋x)sin (18°－x)
＝sin [(x＋27°)＋(18°－x)]
＝sin 45°
＝.
(2)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，
∴原式＝＝sin 30°＝.
答案：(1)　(2)
例2　解析：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋＝.
例3　解析：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<，
又∵cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，
∴sin (α－β)＝，cos (α＋β)＝－，
sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]
＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝－，
sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)＝－.
跟踪训练2　解析：(1)因为α，β均为锐角，故α＋β∈(0，π)，
因为cos α＝，cos (α＋β)＝－，
所以sin α＝ ＝，sin (α＋β)＝ ＝，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.
(2) 解析：∵θ是第二象限角且cos θ＝－，∴sin θ＝＝，
∴sin＝sin θcos ＋cos θsin
＝
＝－.
答案：(1)A　(2)－
例4　解析：由0＜β＜α＜可知，0＜α－β＜，故sin α＝，sin (α－β)＝.
故sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝
＝.
又0＜β＜，因此β＝.
跟踪训练3　解析：因为0<α<，cos α＝，
所以sin α＝.
又因为0<β<，所以0<α＋β<π.
因为sin (α＋β)＝所以sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝＝.
又因为0<β< ，所以β＝.
[课堂十分钟]
1．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝＝.
答案：D
2．解析：∵sin ＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos cos ，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos ＝cos ＝cos cos ，∴C正确；∵0＜cos ＝cos ≠cos －cos ＜0，∴D不正确．
答案：ABC
3．解析：方法一　cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝cos 16°cos 44°－sin 16°sin 44°＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.
方法二　cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin 74°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin (74°－44°)＝sin 30°＝.
答案：C
4．解析：因为sin A＝，且A∈，
所以cos A＝－＝－，
因此sin＝sin A cos ＋cos A sin
＝＝.
答案：
5．解析：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．
由cos (α－β)＝，知sin (α－β)＝.
由sin β＝－，知cos β＝.
所以sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β
＝＝.
又α∈，所以α＝.

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