资源简介

2．1.3　两角和与差的正切公式
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 tan (α＋β)＝__________________ T(α＋β) α，β，α＋β≠ kπ＋(k∈Z)
两角差 的正切 tan (α－β)＝__________________ T(α－β) α，β，α－β≠ kπ＋(k∈Z)
状元随笔　公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
同号
tan (α ＋β)＝
异号　　　同号
tan (α －β)＝
异号　
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝.(　　)
(2)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(3)tan 能根据公式tan (α＋β)直接展开．(　　)
2．tan 75°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
3．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．若tan ＝－5，则tan α＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　给角求值
例1　(1)的值为(　　)
A． B． C．1 D．
(2)求值：tan 72°＋tan 48°－tan 72°tan 48°＝________．
方法归纳
(1)注意两角和与差的正切公式的特点，逆用公式求值．
(2)第(1)小题用到了“1”的变换，即将常数1转化为tan 45°，这种技巧在解三角函数问题中经常用到．
跟踪训练1　(1)＝(　　)
A． B．
C．tan 6° D．
(2)的值等于________．
题型二 　给值求值
角度1　直接法求值
例2　已知cos α＝－，α∈，则tan (＋α)＝(　　)
A． B．3 C．－3 D．－
方法归纳
由三角函数定义与同角三角函数的基本关系式求已知角的正切值，再运用两角和与差的正切公式求解．
角度2　拆角变换求值
例3　已知sin α＝，α∈，且tan (α＋β)＝－，求tan β的值．
跟踪训练2　(1)以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P(2，4)，则tan ＝(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
(2)如果tan (α＋β)＝，tan ＝，那么tan 的值为(　　)
A． B．
C． D．
题型三　已知三角函数值求角
例4　已知tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
方法归纳
选取函数的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
跟踪训练3　设α，β∈且tan α＝，tan β＝，则α－β＝________．
易错辨析　忽略条件中隐含的角的范围出错
例5　已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
解析：由题意知
∴tan α＜0，tan β＜0(*)
又α，β∈(0，π)，∴α∈，β∈
∴α＋β∈(π，2π)，∴tan (α＋β)＝＝＝1.
∴α＋β＝π.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略(*)这一隐含条件． 一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．
课堂十分钟
1．tan 525°＝(　　)
A．－2＋ B．－2－
C．2－ D．2＋
2．若α，β∈且tan α＝，tan β＝，则tan (α－β)＝(　　)
A．－ B．1
C． D．
3．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A tan B，则C等于(　　)
A． B．
C． D．
4．计算(1＋tan 10°)(1＋tan 35°)＝________．
5．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan 的值．
温馨提示：请完成课时作业(十六)
2．1.3　两角和与差的正切公式
新知初探·课前预习
要点
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝＝2＋.
答案：D
3．解析：tan (α＋β)＝＝＝－.
答案：B
4．解析：tan ＝＝－5，解得tan α＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)＝＝tan 30°＝.
(2) 解析：由tan 120°＝tan (72°＋48°)＝＝－，
整理得tan 72°＋tan 48°＝－tan 72°tan 48°，
所以tan 72°＋tan 48°－tan 72°tan 48°＝－.
答案：(1)B　(2)－
跟踪训练1　
解析：(1)＝tan (27°＋33°)＝tan 60°＝，所以＝＝.
(2) 解析：因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
所以原式
＝
＝－.
答案：(1)A　(2)－
例2　解析：∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝
∴tan α＝－2，
tan ＝＝＝－.
答案：D
例3　解析：∵α∈，sin α＝
∴cos α＝－＝－
∴tanα＝－
∴tan β＝tan [(α＋β)－α]
＝
＝＝－.
跟踪训练2　解析：(1)由题意知：tan θ＝2，而tan ＝＝＝.
(2) 解析：∵tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，
∴tan ＝tan
＝＝＝.
答案：(1)C　(2)C
例4　解析：tan α＝tan [(α－β)＋β]＝
＝＝.
又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈.
tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1.
因为tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以α－β∈(－π，0)．
由tan (α－β)＝>0，得α－β∈，又∵α∈
所以2α－β∈(－π，0)．
又tan (2α－β)＝1，
所以2α－β＝－.
跟踪训练3　
解析：∵α，β∈，∴α－β∈，
又tan α＝，tan β＝，
∴tan (α－β)＝
＝＝1，
∵α－β∈，
∴α－β＝.
答案：
[课堂十分钟]
1．解析：tan 525°＝tan (360°＋165°)＝tan 165°＝tan (180°－15°)＝－tan 15°＝－tan (45°－30°)＝－＝－＝－2＋.
答案：A
2．解析：tan (α－β)＝＝＝.
答案：C
3．解析：因为tan (A＋B)＝，
故tan (A＋B)＋＝
＝；
根据题意可知，tan A＋tan B＋tan A tan B＝0，
故tan (A＋B)＋＝0，因为C＝π－A－B，故tan (A＋B)＝－tan C，所以tan C＝，因为在三角形中0答案：A
4．解析：∵tan 45°＝tan (10°＋35°)＝＝1，
∴tan 10°＋tan 35°＝1－tan 10°tan 35°
∴(1＋tan 10°)(1＋tan 35°)＝1＋tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝2.
答案：2
5．解析：因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan ＝tan
＝＝＝.

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