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2．2　二倍角的三角函数
最新课程标准
1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换．
学科核心素养
1.能通过两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理、数学运算)
2．能灵活运用以上公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
第1课时　二倍角的三角函数(1)
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝____________ S2α
余弦 cos 2α＝____________ ＝________＝________ C2α
正切 tan 2α＝ T2α
状元随笔　细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函 数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α角，都有cos2α＝cos2α－sin2α.(　　)
(2)对任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．(　　)
(3)对于任意的角α，tan 2α＝.(　　)
(4)对于任意的角α，sin 4α＝2sin 2αcos 2α.(　　)
2． sin 15°cos 15°的值等于(　　)
A． B． C． D．
3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)
A． B． C． D．
4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　二倍角公式的直接应用
例1　(1)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．
C． D．
(3)已知sin (α－)＝，则cos (－2α)＝________．
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求得sin α、cos α、tan α的值，再利用二倍角公式求解．
跟踪训练1　(1)若sin (π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B． C． D．－
(2)已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．－2
(3)已知sin (-x)＝，0＜x＜，则cos 2x＝________．
题型二　二倍角公式的逆用
例2　(1)(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．1－2sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
(2)sin10°cos 20°cos 40°＝________．
方法归纳
逆用公式sin 2α＝2sin αcos α和tan 2α＝=时，注意右边的系数．
跟踪训练2　(1)cos4－sin4的值为(　　)
A．0 B． C．1 D．－
(2)sin 10°sin 50°sin 70°的值为________．
题型三　利用二倍角公式证明恒等式
例3　求证： ＝tan4A.
方法归纳
证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练3　求证： ·＝tan.
课堂十分钟
1．(cos-sin)(cos+sin)＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
2．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　)
A．2 B．－2 C． D．－
3．若角α的终边经过点P(－3，4)，则 的值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．
4．若sin＝，则cos α＝________，cos 2α＝________．
5．求证：cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.
温馨提示：请完成课时作业(十七)
2．2　二倍角的三角函数
第1课时　二倍角的三角函数(1)
新知初探·课前预习
要点
2sin αcos α　cos2α－sin2α　1－2sin2α　2cos2α－1
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：原式＝×2sin15°cos 15°＝×sin 30°＝.
答案：B
3．解析：1－2sin222.5°＝cos 45°＝.
答案：B
4．解析：因为α为第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
tanα＝，tan 2α＝＝＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵α是第三象限角，且cosα＝－，
∴sin α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝.
(2)∵sin α＝，且α为第二象限角，cos α＝－，
∴tan α＝－，∴tan 2α＝＝，选项ACD错误，选项B正确．
(3)因为sin ＝，
所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－＝.
答案：(1)D　(2)B　(3)
跟踪训练1　解析：(1)因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝±，因为≤α≤π，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝－.
(2) 解析：由题意可得tan α＝2，所以tan 2α＝＝－.
(3) 解析：因为x∈，所以－x∈，
又因为sin＝，所以cos ＝，
所以cos 2x＝sin ＝2sin cos
＝2×＝.
答案：(1)D　(2)A　(3)
例2　解析：(1)A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，1－2sin215°＝cos30°＝；C不符合，sin215°＋cos215°＝1；D符合，＝＝·tan30°＝.
(2) 解析：sin 10°cos 20°cos 40°＝＝＝＝＝.
答案：(1)BD　(2)
跟踪训练2　解析：(1)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos＝.
(2)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝·
＝·
＝·
＝·
＝·＝·＝.
答案：(1)B　(2)
例3　证明：∵左边＝
＝＝＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
∴＝tan4A.
跟踪训练3　证明：左边＝·
＝
＝
＝tan＝右边
所以·＝tan .
[课堂十分钟]
1．解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝.
答案：D
2．解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.
答案：D
3．解析：因为角α的终边经过点P(－3，4)，
所以tanα＝－，
则＝＝＝tan α＝－.
答案：A
4．解析：cos α＝1－2sin 2＝1－2×＝.
cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.
答案：　－
5．证明：方法一　左边＝cos2θ
＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．故原式得证．
方法二　右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．故原式得证．第2课时　二倍角的三角函数(2)
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　倍角公式的变换
(1)因式分解变换：
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)．
(2)配方变换：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝________．
(3)升幂缩角变换：
1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________．
(4)降幂扩角变换：
cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝____________．
状元随笔　(1)以上变形可作为公式用，三角函数的化简、求值、证明中均离不开这些公式．
(2)注意角的倍数和三角函数的幂次可以相互转化，这在三角恒等变换中是非常重要的思想．
基础自测
1.2sin215°－1的值是(　　)
A． B．－
C． D．－
2．函数y＝sin22x的最小正周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
3．若α∈，则＝(　　)
A．sin α＋cos α B．－sin α－cos α
C．sin α－cos α D．cos α－sin α
4．已知cos ＝，则cos ＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　利用倍角公式求值
角度1　给角求值
例1　求值：.
方法归纳
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式．
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式．
角度2　给值求值
例2　已知sin＝－，则sin ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
方法归纳
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos ＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin ＝sin
＝2sin cos .
跟踪训练1　(1)化简－2cos 20°所得的结果是(　　)
A． B． C． D．2
(2)已知sin ＝，0＜x＜，则cos 2x＝________．
题型二　利用倍角公式化简三角函数式
例3　化简：.
方法归纳
(1)化简三角函数式与求三角函数式的值，解题思路上没有大的区别，只是化简到最后的答案不一定是具体的数字．
(2)本题方法一是将分母都化为同一个角－α的三角函数，再利用倍角公式进行转化，而方法二则是直接利用公式将分母化为角α的正余弦函数，再进行化简．两种思路各有其特点，在解决这类问题时，要注意灵活选择，灵活处理．
跟踪训练2　化简：.
题型三　二倍角公式的综合应用
角度1　与三角函数的综合应用
例4　已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
方法归纳
此类问题的一般思路是先利用二倍角公式与和差公式，将函数化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式，再讨论函数的有关性质．
角度2　倍角公式的实际应用
例5　点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
方法归纳
解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围．
跟踪训练3　(1)函数y＝sin2x＋2sinx·cos x＋3cos2x的最大值是________．
(2)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
易错辨析　忽视角的范围致误
例6　化简：(2π＜α＜3π)．
解析：∵2π＜α＜3π，∴π＜＜＜＜，
∴＝＝＝＝2sin.
易错警示
易错原因 纠错心得
去根号时，只是机械地套用公式，忽视角的范围，导致错误． 利用二倍角化简＝＝时，要根据的终边所在的象限确定sin ，cos 的符号，从而去掉绝对值，达到化简的目的．
课堂十分钟
1．函数f(x)＝cos22x－sin22x的最小正周期是(　　)
A． B．π C．2π D．4π
2．计算：4cos10°－＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
3．已知α∈，则 等于(　　)
A．sin B．cos C．－sin D．－cos
4．已知sin ＝，则sin ＝________．
5．已知tan (－α)＝－2.
(1)求的值；
(2)求的值．
温馨提示：请完成课时作业(十八)
第2课时　二倍角的三角函数(2)
新知初探·课前预习
要点
(2)(sinα±cos α)2　(3)2cos2α　2sin2α　(4)(1－cos2α)
[基础自测]
1．解析：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－.
答案：D
2．解析：∵f(x)＝sin22x＝cos4x，
即ω＝4，
∴T＝＝＝.
答案：A
3．解析：由α∈，可得cos α>0，sin α<0，
又由＝＝＝cos α－sin α.
答案：D
4．解析：依题意cos ＝cos
＝2cos2－1＝－1＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：
＝
＝
＝
＝
＝－4.
例2　解析：由2θ－＝2θ－，
则sin ＝－cos ，
又cos ＝1－2sin2＝，
∴sin＝－.
答案：B
跟踪训练1　解析：(1)－2cos 20°＝－2cos 20°＝
＝＝
＝
＝＝＝.
(2)因为x∈，所以－x∈，
又因为sin ＝，所以cos ＝，
所以cos 2x＝sin ＝2sin cos
＝2×＝.
答案：(1)B　(2)
例3　解析：方法一　原式＝
＝＝＝1.
方法二　原式＝
＝
＝
＝＝1.
跟踪训练2　解析：
＝(1＋)
＝·
＝sin x·＝tan x．
例4　解析：(1)因为f(x)＝sin2x＋sinx cos x－
＝sin 2x－＝(sin 2x－cos 2x)
＝sin ，
故f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得：kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为：(k∈Z)．
(2)因为f(α)＝，则sin ＝，
即sin ＝，
因为α∈，所以2α－∈，
则cos ＝＝＝，
所以sin2α＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝＝.
例5　解析：
如图所示，∵AB为直径，
∴ ∠APB＝，又AB＝1，
∴PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin .
∵0<α<，∴－<2α－<π，
∴当2α－＝，
即α＝π时，S四边形ABTP最大．
跟踪训练3　解析：(1)函数y＝sin2x＋2sinx·cos x＋3cos2x＝sin2x＋2cos2x＋1＝sin2x＋cos 2x＋2＝2sin (2x＋)＋2，
当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝4.
(2) 解析：由题意可得
在三角形OCB中，OC＝1，∠COP＝α，
所以 BC＝sin α，OB＝cos α
在三角形OAD中，∠AOD＝，AD＝BC＝sin α
所以OA＝sin α 所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α
则，矩形ABCD的面积为S，则S＝BC·AB
＝sin α·＝sin α·cos α－sin α·sin α
＝sin 2α＋cos 2α－＝sin
所以矩形ABCD面积的最大值为.
此时2α＋＝，∴α＝.
答案：(1)4　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：依题意f(x)＝cos 4x，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝.
答案：A
2．解析：原式＝＝
＝
＝
＝＝－.
答案：C
3．解析：∵α∈，∴∈，∴cos <0，
∴＝＝＝－cos .
答案：D
4．解析：sin ＝sin
＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×＝.
答案：
5．解析：(1)因为tan＝－2，所以＝－2，即＝－2，解得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝，所以＝＝－，
(2)＝＝＝.

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