资源简介

2．3　简单的三角恒等变换
最新课程标准
1.了解三角函数的半角公式、万能公式、积化和差与和差化积公式的推导过程．
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换．
学科核心素养
1.会推导三角函数的半角公式、积化和差与和差化积公式．(逻辑推理)
2．能灵活运用以上公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
第1课时　半角公式
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　半角公式
状元随笔　巧记“半角公式”
无理半角常戴帽，象限确定帽前号；
数1余弦加减连，角小值大用加号．
“角小值大用加号”即y＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号．
要点二 　万能公式
sin α＝，cosα＝，tanα＝.
状元随笔　(1)万能公式是恒等式，只要使等式两边都有意义的角都成立．
(2)万能公式的“万能”在于它能将角α的所有三角函数值用tan来表示，是处理三角函数问题的一个重要公式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos ＝.(　　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)
2．sin ＝(　　)
A． B．
C．2－ D．
3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C．± D．±
4．已知sin x＝＜x＜π，则tan ＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　半角公式的应用
例1　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .
方法归纳
利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan ＝＝计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
跟踪训练1　已知sin α＝－，π＜α＜，则sin ＝________，cos ＝________．
题型二　万能公式的应用
例2　若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
方法归纳
利用万能公式求得tan ，这是解题的关键．
跟踪训练2　若tan α＝－，则sin ＝________．
题型三　三角恒等式的证明
例3　求证：＝sin 2α.
方法归纳
三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
跟踪训练3　求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
易错辨析　忽视角的范围，错选公式致误
例4　已知sin α＝－，则tan ＝________.
解析：因为sin α＝－，所以cos α＝±.
若cos α＝，则tan ＝＝＝－；
若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2.
答案：－或－2
易错警示
易错原因 纠错心得
由半角公式tan ＝＝可知，tan 和sin α的符号相同．本题若直接运用半角公式tan ＝± 就会得到下面的错解： 因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝± ＝±＝±； 若cos α＝－，则tan ＝± ＝±＝±2. 在已知α的某个三角函数值求tan 时，直接运用tan ＝＝可回避运用公式tan ＝± 时对“±”的取舍问题．在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但最终结果应该是相同的，因此灵活、恰当地选择合适的公式是解决此类题目的关键．
课堂十分钟
1．已知180°＜α＜360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．已知cos θ＝－，π＜θ＜，则tan ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．若sin 74°＝m，则cos 8°＝(　　)
A. B．±
C. D．±
4．已知sin θ＝，θ∈，则cos ＝________．
5．已知＝，求cos θ的值．
温馨提示：请完成课时作业(十九)
2．3　简单的三角恒等变换
第1课时　半角公式
新知初探·课前预习
要点一
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：因为sin ＝± ，
所以sin ＝ ＝ ＝.
答案：B
3．解析：因为α∈(0，π)，所以∈.
所以cos ＝＝＝.
答案：A
4．解析：由已知得cos x＝－＝－，
所以tan ＝＝＝5＋2.
答案：5＋2
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，
sin ＝ ＝，
cos ＝－ ＝－，
tan ＝－ ＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－ ＝－，
cos ＝ ＝，
tan ＝－ ＝－.
跟踪训练1　解析：∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin ＝ ＝，cos ＝－ ＝－.
答案：　－
例2　解析：∵α是第三象限角，
∴是第二、四象限角，
∴tan ＜0.
∵cos α＝＝－，
∴tan＝－3，
∴＝＝－.
答案：A
跟踪训练2　解析：sin 2α＝＝＝－，
cos2α＝＝＝，
所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝－.
答案：－
例3　证明：方法一　左边＝
＝＝
＝cos αsin cos
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．
方法二　左边＝＝cos2α·＝
cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
方法三　左边＝＝
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
跟踪训练3　证明：方法一　－tan θ·tan 2θ
＝
＝
＝
＝＝＝1.
方法二　左边＝－tan θ·
＝＝1＝右边
所以原等式成立．
[课堂十分钟]
1．解析：因为180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，
所以cos＝－ .
答案：C
2．解析：由已知得sin θ＝－＝－，
则tan ＝＝＝－.
答案：C
3．解析：因为sin 74°＝m＝cos 16°，所以cos 8°＝
＝ .
答案：C
4．解析：因为θ∈，所以∈.
所以cos θ＝－＝－.
所以cos＝ ＝.
答案：
5．解析：由题意可得＝，解得tan ＝－4.
由万能公式有cos θ＝＝－.第3课时　辅助角公式
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　辅助角公式
a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)(ab≠0)，
其中cos φ＝，sin φ＝，0≤φ<2π.
状元随笔　利用辅助角公式可以把形如y ＝a sin α＋b cos α的函数，转化为一个角的一种三角函数形式，便于后面求三角函数的最小正周期、最值、单调区间等．
基础自测
1.sin ＋cos 的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．函数y＝sin x＋cos x的周期为________，最大值是________．
3．函数y＝a sin x＋b cos x(a，b均为正数)的最小值________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　利用辅助角公式化简
例1　化简下列各式：
(1)y＝－sin x－cos x；
(2)y＝ sin x＋cos x．
方法归纳
两角和与差的正弦公式的逆用是辅助角公式的一种特殊情形．
跟踪训练1　化简下列各式：
(1)sin x－cos x；
(2)sin cos .
题型二　利用辅助角研究三角函数的性质
例2　(1)已知函数f(x)＝sin x＋a cos x，当x＝时，f(x)取得最大值，则a的值为(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
(2)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x.
①求函数f(x)的单调递减区间；
②当x∈时，求函数f(x)的值域．
方法归纳
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝a sinx－b cos x在x＝处取到最大值，则f是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．关于点(π，0)中心对称
D．关于x＝轴对称
(2)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m(m∈R)．
①求f(x)的最小正周期；
②求f(x)的单调递增区间．
课堂十分钟
1．函数f(x)＝sinx－2cos x的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．3
2．将函数f(x)＝sin 2x＋a cos 2x(a≠0)的图象向右平移后关于点对称，则a＝(　　)
A． B．1
C． D．3
3．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝()，a·b＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
4．化简：cos x＋sin x＝________．
5．求函数f(x)＝sin x＋cos x的周期、最值、最值点．
温馨提示：请完成课时作业(二十一)
第3课时　辅助角公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．解析：sin ＋cos ＝＝sin ()＝sin ＝.
答案：B
2．解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin ，所以周期T＝2π，最大值为2.
答案：2π　2
3．解析：y＝a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，所以最小值是－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)y＝－＝
－sin ＝－sin .
(2)sin x＋cos x＝2
＝2sin .
跟踪训练1　解析：(1)sin x－cos x
＝
＝2
＝2sin .
(2)sin cos
＝
＝×2
＝
＝sin
＝sin .
例2　解析：(1)由题设，f(x)＝sin (x＋φ)且tan φ＝a，
∵x＝时，f(x)取得最大值，
∴sin ＝1，即＋φ＝2kπ＋，故φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴tan φ＝a＝1.
(2) 解析：①因为f(x)＝sin 2x＋1－cos 2x＝2sin (2x－)＋1，
令＋2kπ≤2x－＋2kπ，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z).
②∵x∈，∴2x∈，∴2x－∈，
利用正弦函数的图象与性质知sin ∈[－1，0]，
∴2sin ＋1∈[－1，1]
所以f(x)的值域为[－1，1].
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)因为f(x)＝a sin x－b cos x在x＝处取到最大值，
即f(x)＝sin (x－φ)，其中tan φ＝，
则sin ＝1，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，
所以f(x)＝sin ，
则f＝sin ＝cos x为偶函数．
(2) 解析：①因为f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋cos 2x＋m＋1＝2sin ＋m＋1.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
②由①知f(x)＝2sin ＋m＋1.又函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．
由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(1)B　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin (x－θ)(其中tan θ＝2)，
所以当sin (x－θ)＝1时，f(x)取最大值.
答案：C
2．解析：f(x)＝sin 2x＋a cos 2x＝sin (2x＋φ)，tan φ＝，
∵图象向右平移后关于点对称，
∴g(x)＝f＝sin ，
则g＝sin ＝0，
∴φ＝，故tan φ＝＝，即a＝1.
答案：B
3．解析：由a·b＝，得cos x＋sin x＝，
即cos x＋sin x＝，所以cos x cos ＋sin x sin ＝，
所以cos ＝.
答案：D
4．解析：根据两角和的正弦公式，可得：
cos x＋sin x＝·
＝·＝sin .
答案：sin
5．解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin ，
最小正周期为T＝2π，
x＋＝2kπ＋，即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝2，x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－2.第2课时　和差化积与积化和差公式
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　和差化积公式与积化和差公式
和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos
sin α－sin β＝2cos sin
cos α＋cos β＝2cos cos
cos α－cos β＝－2sin sin
积化和差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]
cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]
状元随笔　(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．
(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．
(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发现，y＝sin α±sin β与cos α±cos β的值域应为[－2, 2]而y＝sin αsin β等的值域应为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B．(　　)
(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B．(　　)
(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B．(　　)
(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B．(　　)
2．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为(　　)
A．sin 18°－sin 2° B．sin 18°＋cos 2°
C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2°
3．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为(　　)
A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5°
C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5°
4．cos 37.5°cos 22.5°＝______.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型一　和差化积公式的应用
例1　把下列各式化成积的形式．
(1)cos 3x＋cos x；
(2)cos 40°－cos 52°；
(3)sin 15°＋sin 35°；
(4)sin 6x－sin 2x.
方法归纳
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
跟踪训练1　把下列各式化成积的形式．
(1)cos 8＋cos 2；
(2)cos 100°－cos 20°；
(3)sin 40°＋sin 150°；
(4)sin (x＋2)－sin x．
题型二　积化和差的应用
例2　把下列各式化成和或差的形式．
(1)2sin 64°cos 10°；
(2)sin 80°cos 132°；
(3)cos cos ；
(4)sin 2sin 1.
方法归纳
积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注意三角函数名称的变化规律．
跟踪训练2　(1)sin 15°cos 165°的值是(　　)
A． B． C．－ D．－
(2)sin cos 化成和差的形式为(　　)
A．sin (α＋β)＋cos (α－β)
B．cos (α＋β)＋sin (α－β)
C．sin (α＋β)＋sin (α－β)
D．cos (α＋β)＋cos (α－β)
题型三　和差化积与积化和差公式的综合应用
角度1　化简与求值
例3　＝________．
方法归纳
当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再求解．
角度2　证明恒等式
例4　求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝sin 3α.
方法归纳
当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简．
跟踪训练3　(1)计算：＝________．
(2)求证：·tan 25°＝.
课堂十分钟
1．sin 75°－sin 15°的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．－
2．cos 72°－cos 36°的值为(　　)
A．3－2 B．
C．－ D．3＋2
3．sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)
A． B． C． D．
4．求证：sin 15°sin 30°sin 75°＝.
温馨提示：请完成课时作业(二十)
第2课时　和差化积与积化和差公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：2sin10°cos 8°＝sin (10°＋8°)＋sin (10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°.
答案：C
3．解析：sin 15°＋sin 5°＝2sin cos ＝2sin 10°cos 5°.
答案：D
4．解析：cos 37.5°cos 22.5°＝(cos 60°＋cos 15°)
＝cos 15°＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)cos 3x＋cos x＝2cos cos
＝2cos 2x cos x.
(2)cos 40°－cos 52°＝－2sin sin
＝－2sin 46°sin (－6°)＝2sin 46°sin 6°.
(3)sin 15°＋sin 35°＝2sin cos
＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°.
(4)sin 6x－sin 2x＝2cos sin
＝2cos 4x sin 2x.
跟踪训练1　解析：(1)cos 8＋cos 2＝2cos cos ＝2cos 5cos 3.
(2)cos 100°－cos 20°＝－2sin sin ＝－2sin 60°sin 40°＝－sin 40°.
(3)sin 40°＋sin 150°＝2sin cos
＝2sin 95°cos (－55°)＝2cos 5°cos 55°.
(4)sin (x＋2)－sin x＝2cos sin ＝2cos (x＋1)sin 1.
例2　解析：(1)2sin 64°cos 10°＝sin (64°＋10°)＋sin (64°－10°)
＝sin 74°＋sin 54°.
(2)sin 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°
＝[sin (132°＋80°)－sin (132°－80°)]＝(sin 212°－sin 52°)
＝－(sin 32°＋sin 52°)．
(3)cos cos ＝
＝＝.
(4)sin 2sin 1＝－[cos (2＋1)－cos (2－1)]
＝－(cos 3－cos 1)．
跟踪训练2　解析：(1)sin 15°cos 165°＝[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝sin 180°－sin 150°＝－.
(2)sin cos
＝
＝
＝cos (α＋β)＋sin (α－β)．
答案：(1)C　(2)B
例3　解析：原式＝
＝
＝＝＝2cos 30°＝.
答案：
例4　证明：左边＝sin α·(cos 120°－cos 2α)
＝sin α＋sin αcos 2α
＝sin α＋[sin 3α＋sin (－α)]
＝sin α＋sin 3α－sin α＝sin 3α＝右边．
跟踪训练3　解析：(1)
＝
＝
＝2sin 60°＝.
(2)证明：
左边＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边
所以原等式成立．
[课堂十分钟]
1．解析：sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2×＝.
答案：B
2．解析：原式＝－2sin sin
＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72°
＝－2·＝－
＝－＝－.
答案：C
3．解析：sin 37.5°cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)＝＝.
答案：C
4．证明： sin 15°sin 30°sin 75°
＝sin 15°sin 75°
＝－[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]
＝－(cos 90°－cos 60°)
＝－＝.

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