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第二章　三角恒等变换 章末复习课
考点一　三角函数求值
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、和差化积与积化和差公式、辅助角公式的正用、逆用以及推论的应用．
2．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A． B．或
C． D．2kπ＋(k∈Z)
(3)已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
跟踪训练1　(1)计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)若3cos 2α＝2sin ，且α∈，则sin 2α的值为(　　)
A． B．
C． D．
(3)若cos ＝，则sin ＝________．
考点二　三角函数式的化简
1．掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用．
2．通过三角函数式的化简，培养逻辑推理和数学运算素养．
例2　化简：
(1)；
(2).
跟踪训练2　化简：
(0<θ<π)．
考点三　三角恒等变换与解三角形的综合
1．三角恒等变换与解三角形的综合问题，通常是利用正、余弦定理求出三角形中的边和角的三角函数值，然后利用有关的三角函数公式(如二倍角公式，辅助角公式等)求一些比较复杂的三角函数式的值．
2.通过三角恒等变换与解三角形的综合运用培养逻辑推理和数学运算素养．
例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝.
(1)求b和sin A的值；
(2)求sin 的值．
跟踪训练3　已知△ABC的面积为4，A＝C，cos B＝－.求
(1)a和b的值；
(2)sin (A－B)的值．
考点四　三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用
1．三角函数与三角恒等变换综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式，辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k的形式，再研究三角函数的性质．当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解．
2．通过三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用培养逻辑推理和数学运算素养．
例4　已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a⊥b时，求x的值．
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在x∈上的最大值与最小值．
跟踪训练4　已知函数f＝cos4x＋2sinx cos x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合．
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专项培优②　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)原式＝＝＝＝.
(2)由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，
可知cos α＝，sin β＝，
故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝，
又0<α＋β<π，
故α＋β＝.
(3) 解析：因为α，β均为锐角，
所以0＜α＋β＜π，又cos (α＋β)＝－，
所以＜α＋β＜π，
且sin (α＋β)＝.因为tan α＝4，
所以sin α＝，cos α＝.
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝.
答案：(1)B　(2)C　(3)见解析
跟踪训练1　解析：(1)2sin 14°·cos 31°＋sin 17°＝2sin 14°·cos 31°＋sin (31°－14°)＝sin 14°·cos 31°＋cos 14°·sin 31°＝sin (31°＋14°)＝sin 45°＝.
(2)3cos 2α＝3sin ＝6sin cos ＝2sin ，
因为α∈，α＋∈，
所以sin ≠0，cos ＝，
cos ＝(cos α－sin α)＝，两边平方后得
(1－sin 2α)＝，解得：sin 2α＝.
(3)因为2α＋＝2，
则sin ＝cos 2＝2cos2－1＝－.
答案：(1)A　(2)C　(3)－
例2　解析：(1)＝＝＝＝1.
(2)∵<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，
＝
＝|cos θ|－|sin θ－cos θ|
＝－cos θ－sin θ＋cos θ
＝－sin θ.
跟踪训练2　解析：
原式＝
因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.
例3　解析：(1)在△ABC中，因为a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝13，所以b＝.
由正弦定理＝，得sin A＝＝，所以b的值为，sin A的值为.
(2)由(1)及a＜c，得cos A＝，
所以sin 2A＝2sin A cos A＝，
cos 2A＝1－2sin2A＝－.
故sin＝sin 2A cos ＋cos 2A sin
＝
＝.
跟踪训练3　解析：(1)由题意，∴S△ABC＝ac sinB＝4，可得a＝c＝3，
∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝64，则b＝8.
(2)由题意知：0∴S△ABC＝bc sin A＝4，
则sin A＝，故cos A＝，
∴sin (A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝－.
例4　解析：(1)因为a⊥b，
所以a·b＝0 sin x cos x＋×(－1)＝0 sin 2x＝1 2x＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝·(cos x，－1)＝sin 2x＋，
即f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin ＋1，
当x∈时，有－≤2x＋，
所以f(x)max＝＋1＝，f(x)min＝×(－1)＋1＝1－.
跟踪训练4　解析：(1)f(x)＝2sin x cos x＋(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝2sinx cos x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，
所以，函数f(x)的最小正周期T＝＝π；
(2)∵f(x)＝sin ，∴f(x)max＝，
此时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以，函数f(x)取得最大值时x的取值集合为.

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